圓錐曲線的七種常考題型題型一：定義的應(yīng)用1、 圓錐曲線的定義：（1）橢圓 （2）雙曲線 （3）拋物線 2、定義的應(yīng)用（1）尋找符合條件的等量關(guān)系（2）等價轉(zhuǎn)換，數(shù)形結(jié)合3、定義的適用條件：典型例題例1、動圓M與圓C1：內(nèi)切,與圓C2：外切,求圓心M的軌跡方程。例2、方程表示的曲線是 題型二：圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然后再判斷）：1、 橢圓：由分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。2、 雙曲線：由系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐標軸上；3、 拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。典型例題例1、已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是 例2、當k為何值時,方程表示的曲線：(1)是橢圓；(2)是雙曲線.題型三：圓錐曲線焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形）問題1、 常利用定義和正弦、余弦定理求解2、 ，四者的關(guān)系在圓錐曲線中的應(yīng)用典型例題例1、橢圓上一點P與兩個焦點的張角，求的面積。 例2、已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1、F2是左右焦點，P為雙曲線上一點，且，求該雙曲線的標準方程題型四：圓錐曲線中離心率，漸近線的求法1、a,b,c三者知道任意兩個或三個的相等關(guān)系式，可求離心率，漸進線的值；2、a,b,c三者知道任意兩個或三個的不等關(guān)系式，可求離心率，漸進線的最值或范圍；3、注重數(shù)形結(jié)合思想不等式解法典型例題例1、已知、是雙曲線（）的兩焦點，以線段為邊作正三角形，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ）A. B. C. D. 例2、雙曲線的兩個焦點為F1、F2,若P為其上一點，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為A. (1，3)B.C.(3,+)D.例3、橢圓：的兩焦點為，橢圓上存在點使. 求橢圓離心率的取值范圍；例4、已知雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（A）（B）（C）（D）題型五：點、直線與圓錐的位置關(guān)系判斷1、 點與橢圓的位置關(guān)系點在橢圓內(nèi)點在橢圓上點在橢圓外2、直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題：>0相交=0相切 （需要注意二次項系數(shù)為0的情況）<0相離3、弦長公式： 4、圓錐曲線的中點弦問題：1、 韋達定理：2、 點差法：（1） 帶點進圓錐曲線方程，做差化簡（2） 得到中點坐標比值與直線斜率的等式關(guān)系典型例題例1、雙曲線x24y2=4的弦AB被點M(3,-1)平分,求直線AB的方程.例2、已知中心在原點，對稱軸在坐標軸上的橢圓與直線l:x+y=1交于A,B兩點，C是AB的中點，若|AB|=2，O為坐標原點，OC的斜率為，求橢圓的方程。題型六：動點軌跡方程：1、求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點、列式、化簡、確定點的范圍； 2、求軌跡方程的常用方法：（1）直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系；例1、如已知動點P到定點F(1,0)和直線的距離之和等于4，求P的軌跡方程（2） 待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。例2、如線段AB過x軸正半軸上一點M（m，0），端點A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三點作拋物線，則此拋物線方程為                 (3) 定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；例3、由動點P向圓作兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，APB=600，則動點P的軌跡方程為                    例4、點M與點F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1，則點M的軌跡方程是_ 例5、一動圓與兩圓M：和N：都外切，則動圓圓心的軌跡為          (4) 代入轉(zhuǎn)移法：動點依賴于另一動點的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用的代數(shù)式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程:例6、如動點P是拋物線上任一點，定點為,點M分所成的比為2，則M的軌跡方程為_ (5)參數(shù)法：當動點坐標之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考慮將均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）。例7、過拋物線的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，則弦AB的中點M的軌跡方程是 題型七：（直線與圓錐曲線常規(guī)解題方法）一、設(shè)直線與方程；（提醒：設(shè)直線時分斜率存在與不存在；設(shè)為y=kx+b與x=my+n的區(qū)別）二、設(shè)交點坐標；（提醒:之所以要設(shè)是因為不去求出它,即“設(shè)而不求”）三、聯(lián)立方程組；四、消元韋達定理；（提醒：拋物線時經(jīng)常是把拋物線方程代入直線方程反而簡單）五、根據(jù)條件重轉(zhuǎn)化；常有以下類型： “以弦AB為直徑的圓過點0”（提醒：需討論K是否存在） “點在圓內(nèi)、圓上、圓外問題” “直角、銳角、鈍角問題” “向量的數(shù)量積大于、等于、小于0問題” >0； “等角、角平分、角互補問題” 斜率關(guān)系（或）； “共線問題”（如： 數(shù)的角度：坐標表示法；形的角度：距離轉(zhuǎn)化法）；（如：A、O、B三點共線直線OA與OB斜率相等）； “點、線對稱問題” 坐標與斜率關(guān)系； “弦長、面積問題” 轉(zhuǎn)化為坐標與弦長公式問題（提醒：注意兩個面積公式的合理選擇）；六、化簡與計算；七、細節(jié)問題不忽略；判別式是否已經(jīng)考慮；拋物線問題中二次項系數(shù)是否會出現(xiàn)0.基本解題思想：1、“常規(guī)求值”問題：需要找等式，“求范圍”問題需要找不等式；2、“是否存在”問題：當作存在去求，若不存在則計算時自然會無解；3、證明定值問題的方法：常把變動的元素用參數(shù)表示出來，然后證明計算結(jié)果與參數(shù)無關(guān)；也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。4、處理定點問題的方法：常把方程中參數(shù)的同次項集在一起，并令各項的系數(shù)為零，求出定點；也可先取參數(shù)的特殊值探求定點，然后給出證明5、求最值問題時：將對象表示為變量的函數(shù)，幾何法、配方法（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值）、三角代換法（轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值）、利用切線的方法、利用均值不等式的方法等再解決；6、轉(zhuǎn)化思想：有些題思路易成，但難以實施。這就要優(yōu)化方法，才能使計算具有可行性，關(guān)鍵是積累“轉(zhuǎn)化”的經(jīng)驗；7、思路問題：大多數(shù)問題只要忠實、準確地將題目每個條件和要求表達出來，即可自然而然產(chǎn)生思路。典型例題：例1、已知點，直線：，為平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，且（1）求動點的軌跡的方程；（2）已知圓過定點，圓心在軌跡上運動，且圓與軸交于、兩點，設(shè)，求的最大值例2、如圖半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且ODAB，Q為線段OD的中點，已知|AB|=4，曲線C過Q點，動點P在曲線C上運動且保持|PA|+|PB|的值不變.(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担笄€C的方程；(2)過D點的直線l與曲線C相交于不同的兩點M、N，且M在D、N之間，設(shè)=，求的取值范圍.例3、設(shè)、分別是橢圓：的左右焦點。（1）設(shè)橢圓上點到兩點、距離和等于，寫出橢圓的方程和焦點坐標；（2）設(shè)是（1）中所得橢圓上的動點，求線段的中點的軌跡方程；（3）設(shè)點是橢圓上的任意一點，過原點的直線與橢圓相交于，兩點，當直線 ， 的斜率都存在，并記為， ，試探究的值是否與點及直線有關(guān)，并證明你的結(jié)論。例4、已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為（）求橢圓的標準方程；（）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標例5、已知橢圓兩焦點、在軸上，短軸長為，離心率為，是橢圓在第一象限弧上一點，且，過P作關(guān)于直線F1P對稱的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點。（1）求P點坐標；（2）求證直線AB的斜率為定值； 典型例題：例1、由、解得， 不妨設(shè)， ， 當時，由得， 當且僅當時，等號成立當時，由得， 故當時，的最大值為 例2、解：(1)以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點，建立平面直角坐標系， |PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2|AB|=4.曲線C為以原點為中心，A、B為焦點的橢圓.設(shè)其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,a=,c=2,b=1.曲線C的方程為+y2=1.(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+2, 代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.=(20k)24×15(1+5k2)0,得k2.由圖可知= 由韋達定理得將x1=x2代入得兩式相除得 M在D、N中間，1又當k不存在時，顯然= (此時直線l與y軸重合)綜合得：1/3 1.例3、解：（1）由于點在橢圓上，得2=4, 2分 橢圓C的方程為 ，焦點坐標分別為 4分（2）設(shè)的中點為B（x, y）則點 5分把K的坐標代入橢圓中得7分線段的中點B的軌跡方程為 8分（3）過原點的直線L與橢圓相交的兩點M，N關(guān)于坐標原點對稱 設(shè), 在橢圓上，應(yīng)滿足橢圓方程，得 10分= 13分故：的值與點P的位置無關(guān)，同時與直線L無關(guān)， 14分例4、解：（）橢圓的標準方程為 （5分）（）設(shè)，聯(lián)立得，又，因為以為直徑的圓過橢圓的右焦點，即，解得：，且均滿足，1、當時，的方程為，直線過定點，與已知矛盾；2、當時，的方程為，直線過定點所以，直線過定點，定點坐標為 （14分）例5、解（1）。 ，設(shè)則 點在曲線上，則 從而，得，則點的坐標為（2）由（1）知軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù)，設(shè)PB斜率為，則PB的直線方程為： 由得設(shè)則 同理可得，則 所以：AB的斜率為定值例6、 解：（1）由，得3分 夾角的取值范圍是（）6分（2） 8分10分當且僅當或 12分橢圓長軸 或故所求橢圓方程為.或 14分