高考圓錐曲線題型歸類總結.doc
圓錐曲線的七種??碱}型
題型一:定義的應用
1、 圓錐曲線的定義:
(1)橢圓
(2)雙曲線
(3)拋物線
2、定義的應用
(1)尋找符合條件的等量關系
(2)等價轉換,數(shù)形結合
3、定義的適用條件:
典型例題
例1、動圓M與圓C1:內切,與圓C2:外切,求圓心M的軌跡方程。
例2、方程表示的曲線是
題型二:圓錐曲線焦點位置的判斷(首先化成標準方程,然后再判斷):
1、 橢圓:由分母的大小決定,焦點在分母大的坐標軸上。
2、 雙曲線:由系數(shù)的正負決定,焦點在系數(shù)為正的坐標軸上;
3、 拋物線:焦點在一次項的坐標軸上,一次項的符號決定開口方向。
典型例題
例1、已知方程表示焦點在y軸上的橢圓,則m的取值范圍是
例2、當k為何值時,方程表示的曲線:
(1)是橢圓;(2)是雙曲線.
題型三:圓錐曲線焦點三角形(橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形)問題
1、 常利用定義和正弦、余弦定理求解
2、 ,四者的關系在圓錐曲線中的應用
典型例題
例1、橢圓上一點P與兩個焦點的張角,
求的面積。
例2、已知雙曲線的離心率為2,F(xiàn)1、F2是左右焦點,P為雙曲線上一點,且,.求該雙曲線的標準方程
題型四:圓錐曲線中離心率,漸近線的求法
1、a,b,c三者知道任意兩個或三個的相等關系式,可求離心率,漸進線的值;
2、a,b,c三者知道任意兩個或三個的不等關系式,可求離心率,漸進線的最值或范圍;
3、注重數(shù)形結合思想不等式解法
典型例題
例1、已知、是雙曲線()的兩焦點,以線段為邊作正三角形,若邊的中點在雙曲線上,則雙曲線的離心率是( )
A. B. C. D.
例2、雙曲線的兩個焦點為F1、F2,若P為其上一點,且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為
A. (1,3) B. C.(3,+) D.
例3、橢圓:的兩焦點為,橢圓上存在
點使. 求橢圓離心率的取值范圍;
例4、已知雙曲線的右焦點為F,若過點F且傾斜角為的直線
與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線離心率的取值范圍是
(A) ?。˙) ?。–) ?。―)
題型五:點、直線與圓錐的位置關系判斷
1、 點與橢圓的位置關系
點在橢圓內
點在橢圓上
點在橢圓外
2、直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題:
>0相交
=0相切 (需要注意二次項系數(shù)為0的情況)
<0相離
3、弦長公式:
4、圓錐曲線的中點弦問題:
1、 韋達定理:
2、 點差法:
(1) 帶點進圓錐曲線方程,做差化簡
(2) 得到中點坐標比值與直線斜率的等式關系
典型例題
例1、雙曲線x2-4y2=4的弦AB-被點M(3,-1)平分,求直線AB的方程.
例2、已知中心在原點,對稱軸在坐標軸上的橢圓與直線l:x+y=1交于A,B兩點,C是AB的中點,若|AB|=2,O為坐標原點,OC的斜率為,求橢圓的方程。
題型六:動點軌跡方程:
1、求軌跡方程的步驟:建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍;
2、求軌跡方程的常用方法:
(1)直接法:直接利用條件建立之間的關系;
例1、如已知動點P到定點F(1,0)和直線的距離之和等于4,求P的軌跡方程.
(2) 待定系數(shù)法:已知所求曲線的類型,求曲線方程――先根據(jù)條件設出所求曲線的方程,再由條件確定其待定系數(shù)。
例2、如線段AB過x軸正半軸上一點M(m,0),端點A、B到x軸距離之積為2m,以x軸為對稱軸,過A、O、B三點作拋物線,則此拋物線方程為
(3) 定義法:先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線,再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程;
例3、由動點P向圓作兩條切線PA、PB,切點分別為A、B,∠APB=600,則動點P的軌跡方程為
例4、點M與點F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1,則點M的軌跡方程是_______
例5、一動圓與兩圓⊙M:和⊙N:都外切,則動圓圓心的軌跡為
(4) 代入轉移法:動點依賴于另一動點的變化而變化,并且又在某已知曲線上,則可先用的代數(shù)式表示,再將代入已知曲線得要求的軌跡方程:
例6、如動點P是拋物線上任一點,定點為,點M分所成的比為2,則M的軌跡方程為__________
(5)參數(shù)法:當動點坐標之間的關系不易直接找到,也沒有相關動點可用時,可考慮將均用一中間變量(參數(shù))表示,得參數(shù)方程,再消去參數(shù)得普通方程)。
例7、過拋物線的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點,則弦AB的中點M的軌跡方程是
題型七:(直線與圓錐曲線常規(guī)解題方法)
一、設直線與方程;(提醒:①設直線時分斜率存在與不存在;②設為y=kx+b與x=my+n的區(qū)別)
二、設交點坐標;(提醒:之所以要設是因為不去求出它,即“設而不求”)
三、聯(lián)立方程組;
四、消元韋達定理;(提醒:拋物線時經(jīng)常是把拋物線方程代入直線方程反而簡單)
五、根據(jù)條件重轉化;常有以下類型:
①“以弦AB為直徑的圓過點0”(提醒:需討論K是否存在)
②“點在圓內、圓上、圓外問題”
“直角、銳角、鈍角問題” “向量的數(shù)量積大于、等于、小于0問題”
>0;
③“等角、角平分、角互補問題” 斜率關系(或);
④“共線問題”
(如: 數(shù)的角度:坐標表示法;形的角度:距離轉化法);
(如:A、O、B三點共線直線OA與OB斜率相等);
⑤“點、線對稱問題” 坐標與斜率關系;
⑥“弦長、面積問題”
轉化為坐標與弦長公式問題(提醒:注意兩個面積公式的合理選擇);
六、化簡與計算;
七、細節(jié)問題不忽略;
①判別式是否已經(jīng)考慮;②拋物線問題中二次項系數(shù)是否會出現(xiàn)0.
基本解題思想:
1、“常規(guī)求值”問題:需要找等式,“求范圍”問題需要找不等式;
2、“是否存在”問題:當作存在去求,若不存在則計算時自然會無解;
3、證明定值問題的方法:⑴常把變動的元素用參數(shù)表示出來,然后證明計算結果與參數(shù)無關;⑵也可先在特殊條件下求出定值,再給出一般的證明。
4、處理定點問題的方法:⑴常把方程中參數(shù)的同次項集在一起,并令各項的系數(shù)為零,求出定點;⑵也可先取參數(shù)的特殊值探求定點,然后給出證明
5、求最值問題時:將對象表示為變量的函數(shù),幾何法、配方法(轉化為二次函數(shù)的最值)、三角代換法(轉化為三角函數(shù)的最值)、利用切線的方法、利用均值不等式的方法等再解決;
6、轉化思想:有些題思路易成,但難以實施。這就要優(yōu)化方法,才能使計算具有可行性,關鍵是積累“轉化”的經(jīng)驗;
7、思路問題:大多數(shù)問題只要忠實、準確地將題目每個條件和要求表達出來,即可自然而然產(chǎn)生思路。
典型例題:
例1、已知點,直線:,為平面上的動點,過點作直線的垂線,垂足為,且.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)已知圓過定點,圓心在軌跡上運動,且圓與軸交于、兩點,設,,求的最大值.
例2、如圖半圓,AB為半圓直徑,O為半圓圓心,且OD⊥AB,Q為線段OD的中點,已知|AB|=4,曲線C過Q點,動點P在曲線C上運動且保持|PA|+|PB|的值不變.
(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?,求曲線C的方程;
(2)過D點的直線l與曲線C相交于不同的兩點M、N,且M在D、N之間,設=λ,求λ的取值范圍.
例3、設、分別是橢圓:的左右焦點。
(1)設橢圓上點到兩點、距離和等于,寫出橢圓的方程和焦點坐標;
(2)設是(1)中所得橢圓上的動點,求線段的中點的軌跡方程;
(3)設點是橢圓上的任意一點,過原點的直線與橢圓相交于,兩點,當直線 , 的斜率都存在,并記為, ,試探究的值是否與點及直線有關,并證明你的結論。
例4、已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在軸上,橢圓上的點到焦點距離的最大值為,最小值為.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓相交于,兩點(不是左右頂點),且以為直徑的圓過橢圓的右頂點,求證:直線過定點,并求出該定點的坐標.
例5、已知橢圓兩焦點、在軸上,短軸長為,離心率為,是橢圓在第一
象限弧上一點,且,過P作關于直線F1P對稱的兩條直線PA、PB分別交橢圓
于A、B兩點。
(1)求P點坐標;
(2)求證直線AB的斜率為定值;
典型例題:
例1、
由①、②解得,.
不妨設,,
∴,.
∴
, ③
當時,由③得,.
當且僅當時,等號成立.
當時,由③得,.
故當時,的最大值為.
例2、解:(1)以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸,O為原點,建立平面直角坐標系,
∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2>|AB|=4.
∴曲線C為以原點為中心,A、B為焦點的橢圓.
設其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,∴a=,c=2,b=1.
∴曲線C的方程為+y2=1.
(2)設直線l的方程為y=kx+2,
代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.
Δ=(20k)2-4×15(1+5k2)>0,得k2>.由圖可知=λ
由韋達定理得
將x1=λx2代入得
兩式相除得
①
M在D、N中間,∴λ<1 ②
又∵當k不存在時,顯然λ= (此時直線l與y軸重合)
綜合得:1/3 ≤λ<1.
例3、解:(1)由于點在橢圓上,得2=4, …2分
橢圓C的方程為 ,焦點坐標分別為 ……4分
(2)設的中點為B(x, y)則點 ………………………5分
把K的坐標代入橢圓中得……………7分
線段的中點B的軌跡方程為 ………………………8分
(3)過原點的直線L與橢圓相交的兩點M,N關于坐標原點對稱
設,
在橢圓上,應滿足橢圓方程,得 ……10分
== ……………………………13分
故:的值與點P的位置無關,同時與直線L無關, ………………14分
例4、解:(Ⅰ)橢圓的標準方程為. …………(5分)
(Ⅱ)設,,
聯(lián)立得,
又,
因為以為直徑的圓過橢圓的右焦點,
,即,
,,
.
解得:,,且均滿足,
1、當時,的方程為,直線過定點,與已知矛盾;
2、當時,的方程為,直線過定點.
所以,直線過定點,定點坐標為. …………(14分)
例5、解(1)。 ,設
則
點在曲線上,則
從而,得,則點的坐標為
(2)由(1)知軸,直線PA、PB斜率互為相反數(shù),設PB斜率為,
則PB的直線方程為: 由得
設則
同理可得,則
所以:AB的斜率為定值
例6、 解:(1)由,
得……………………3分
∴夾角的取值范圍是()……6分
(2)
………8分
………………10分
∴當且僅當
或 …………12分
橢圓長軸
或
故所求橢圓方程為.或 …………14分