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圓錐曲線的七種常考題型 題型一：定義的應(yīng)用 1、 圓錐曲線的定義： （1）橢圓 （2）雙曲線 （3）拋物線 2、定義的應(yīng)用 （1）尋找符合條件的等量關(guān)系 （2）等價轉(zhuǎn)換，數(shù)形結(jié)合 3、定義的適用條件： 典型例題 例1、動圓M與圓C1：內(nèi)切,與圓C2：外切,求圓心M的軌跡方程。 例2、方程表示的曲線是 題型二：圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）： 1、 橢圓：由分母的大小決定，焦點在分母大的坐標(biāo)軸上。 2、 雙曲線：由系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上； 3、 拋物線：焦點在一次項的坐標(biāo)軸上，一次項的符號決定開口方向。 典型例題 例1、已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是 例2、當(dāng)k為何值時,方程表示的曲線： (1)是橢圓；(2)是雙曲線. 題型三：圓錐曲線焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形）問題 1、 常利用定義和正弦、余弦定理求解 2、 ，四者的關(guān)系在圓錐曲線中的應(yīng)用 典型例題 例1、橢圓上一點P與兩個焦點的張角， 求的面積。 例2、已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1、F2是左右焦點，P為雙曲線上一點，且，．求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題型四：圓錐曲線中離心率，漸近線的求法 1、a,b,c三者知道任意兩個或三個的相等關(guān)系式，可求離心率，漸進線的值； 2、a,b,c三者知道任意兩個或三個的不等關(guān)系式，可求離心率，漸進線的最值或范圍； 3、注重數(shù)形結(jié)合思想不等式解法 典型例題 例1、已知、是雙曲線（）的兩焦點，以線段為邊作正三角形，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ） A. 　　B. 　　C. 　　D. 例2、雙曲線的兩個焦點為F1、F2,若P為其上一點，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為 A. (1，3) B. C.(3,+) D. 例3、橢圓：的兩焦點為，橢圓上存在 點使. 求橢圓離心率的取值范圍； 例4、已知雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線 與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是 （A）　　　?。˙）　　　?。–）　　　　（D） 題型五：點、直線與圓錐的位置關(guān)系判斷 1、 點與橢圓的位置關(guān)系 點在橢圓內(nèi) 點在橢圓上 點在橢圓外 2、直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題： >0相交 =0相切 （需要注意二次項系數(shù)為0的情況） <0相離 3、弦長公式： 4、圓錐曲線的中點弦問題： 1、 韋達定理： 2、 點差法： （1） 帶點進圓錐曲線方程，做差化簡 （2） 得到中點坐標(biāo)比值與直線斜率的等式關(guān)系 典型例題 例1、雙曲線x2－4y2=4的弦AB－被點M(3,-1)平分,求直線AB的方程. 例2、已知中心在原點，對稱軸在坐標(biāo)軸上的橢圓與直線l:x+y=1交于A,B兩點，C是AB的中點，若|AB|=2，O為坐標(biāo)原點，OC的斜率為，求橢圓的方程。 題型六：動點軌跡方程： 1、求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點、列式、化簡、確定點的范圍；? 2、求軌跡方程的常用方法： （1）直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系； 例1、如已知動點P到定點F(1,0)和直線的距離之和等于4，求P的軌跡方程． （2） 待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程――先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。 例2、如線段AB過x軸正半軸上一點M（m，0），端點A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三點作拋物線，則此拋物線方程為????????????????? 　 (3) 定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程； 例3、由動點P向圓作兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，∠APB=600，則動點P的軌跡方程為??????? ??????????? 例4、點M與點F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1，則點M的軌跡方程是_______ 例5、一動圓與兩圓⊙M：和⊙N：都外切，則動圓圓心的軌跡為????? ?? ? (4) 代入轉(zhuǎn)移法：動點依賴于另一動點的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用的代數(shù)式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程: 例6、如動點P是拋物線上任一點，定點為,點M分所成的比為2，則M的軌跡方程為__________ ? (5)參數(shù)法：當(dāng)動點坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考慮將均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）。 例7、過拋物線的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，則弦AB的中點M的軌跡方程是 題型七：（直線與圓錐曲線常規(guī)解題方法） 一、設(shè)直線與方程；（提醒：①設(shè)直線時分斜率存在與不存在；②設(shè)為y=kx+b與x=my+n的區(qū)別） 二、設(shè)交點坐標(biāo)；（提醒:之所以要設(shè)是因為不去求出它,即“設(shè)而不求”） 三、聯(lián)立方程組； 四、消元韋達定理；（提醒：拋物線時經(jīng)常是把拋物線方程代入直線方程反而簡單） 五、根據(jù)條件重轉(zhuǎn)化；常有以下類型： ①“以弦AB為直徑的圓過點0”（提醒：需討論K是否存在） ②“點在圓內(nèi)、圓上、圓外問題” “直角、銳角、鈍角問題” “向量的數(shù)量積大于、等于、小于0問題” >0； ③“等角、角平分、角互補問題” 斜率關(guān)系（或）； ④“共線問題” （如： 數(shù)的角度：坐標(biāo)表示法；形的角度：距離轉(zhuǎn)化法）； （如：A、O、B三點共線直線OA與OB斜率相等）； ⑤“點、線對稱問題” 坐標(biāo)與斜率關(guān)系； ⑥“弦長、面積問題” 轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)與弦長公式問題（提醒：注意兩個面積公式的合理選擇）； 六、化簡與計算； 七、細節(jié)問題不忽略； ①判別式是否已經(jīng)考慮；②拋物線問題中二次項系數(shù)是否會出現(xiàn)0. 基本解題思想： 1、“常規(guī)求值”問題：需要找等式，“求范圍”問題需要找不等式； 2、“是否存在”問題：當(dāng)作存在去求，若不存在則計算時自然會無解； 3、證明定值問題的方法：⑴常把變動的元素用參數(shù)表示出來，然后證明計算結(jié)果與參數(shù)無關(guān)；⑵也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。 4、處理定點問題的方法：⑴常把方程中參數(shù)的同次項集在一起，并令各項的系數(shù)為零，求出定點；⑵也可先取參數(shù)的特殊值探求定點，然后給出證明 5、求最值問題時：將對象表示為變量的函數(shù)，幾何法、配方法（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值）、三角代換法（轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值）、利用切線的方法、利用均值不等式的方法等再解決； 6、轉(zhuǎn)化思想：有些題思路易成，但難以實施。這就要優(yōu)化方法，才能使計算具有可行性，關(guān)鍵是積累“轉(zhuǎn)化”的經(jīng)驗； 7、思路問題：大多數(shù)問題只要忠實、準(zhǔn)確地將題目每個條件和要求表達出來，即可自然而然產(chǎn)生思路。 典型例題： 例1、已知點，直線：，為平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，且． （1）求動點的軌跡的方程； （2）已知圓過定點，圓心在軌跡上運動，且圓與軸交于、兩點，設(shè)，，求的最大值． 例2、如圖半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點，已知|AB|=4，曲線C過Q點，動點P在曲線C上運動且保持|PA|+|PB|的值不變. (1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程； (2)過D點的直線l與曲線C相交于不同的兩點M、N，且M在D、N之間，設(shè)=λ，求λ的取值范圍. 例3、設(shè)、分別是橢圓：的左右焦點。 （1）設(shè)橢圓上點到兩點、距離和等于，寫出橢圓的方程和焦點坐標(biāo)； （2）設(shè)是（1）中所得橢圓上的動點，求線段的中點的軌跡方程； （3）設(shè)點是橢圓上的任意一點，過原點的直線與橢圓相交于，兩點，當(dāng)直線 ， 的斜率都存在，并記為，?，試探究的值是否與點及直線有關(guān)，并證明你的結(jié)論。 例4、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為． （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)． 例5、已知橢圓兩焦點、在軸上，短軸長為，離心率為，是橢圓在第一 象限弧上一點，且，過P作關(guān)于直線F1P對稱的兩條直線PA、PB分別交橢圓 于A、B兩點。 （1）求P點坐標(biāo)； （2）求證直線AB的斜率為定值； 典型例題： 例1、 由①、②解得，． 不妨設(shè)，， ∴，． ∴ ， ③ 當(dāng)時，由③得，． 當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立． 當(dāng)時，由③得，． 故當(dāng)時，的最大值為． 例2、解：(1)以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點，建立平面直角坐標(biāo)系， ∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4. ∴曲線C為以原點為中心，A、B為焦點的橢圓. 設(shè)其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,∴a=,c=2,b=1. ∴曲線C的方程為+y2=1. (2)設(shè)直線l的方程為y=kx+2, 代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0. Δ=(20k)2－4×15(1+5k2)＞0,得k2＞.由圖可知=λ 由韋達定理得 將x1=λx2代入得 兩式相除得 ① M在D、N中間，∴λ＜1 ② 又∵當(dāng)k不存在時，顯然λ= (此時直線l與y軸重合) 綜合得：1/3 ≤λ＜1. 例3、解：（1）由于點在橢圓上，得2=4, …2分 橢圓C的方程為 ，焦點坐標(biāo)分別為 ……4分 （2）設(shè)的中點為B（x, y）則點 ………………………5分 把K的坐標(biāo)代入橢圓中得……………7分 線段的中點B的軌跡方程為 ………………………8分 （3）過原點的直線L與橢圓相交的兩點M，N關(guān)于坐標(biāo)原點對稱 設(shè), 在橢圓上，應(yīng)滿足橢圓方程，得 ……10分 == ……………………………13分 故：的值與點P的位置無關(guān)，同時與直線L無關(guān)， ………………14分 例4、解：（Ⅰ）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． …………（5分） （Ⅱ）設(shè)，， 聯(lián)立得， 又， 因為以為直徑的圓過橢圓的右焦點， ，即， ，， ． 解得：，，且均滿足， 1、當(dāng)時，的方程為，直線過定點，與已知矛盾； 2、當(dāng)時，的方程為，直線過定點． 所以，直線過定點，定點坐標(biāo)為． …………（14分） 例5、解（1）。 ，設(shè) 則 點在曲線上，則 從而，得，則點的坐標(biāo)為 （2）由（1）知軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù)，設(shè)PB斜率為， 則PB的直線方程為： 由得 設(shè)則 同理可得，則 所以：AB的斜率為定值 例6、 解：（1）由， 得……………………3分 ∴夾角的取值范圍是（）……6分 （2） ………8分 ………………10分 ∴當(dāng)且僅當(dāng) 或 …………12分 橢圓長軸 或 故所求橢圓方程為.或 …………14分