Chapter 4 Internal forces in beams,第四章 彎曲內(nèi)力,4-1 基本概念及工程實例 (Basic concepts and example problems),第四章 彎曲內(nèi)力 (Internal forces in beams),4-3剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖 (Shear-force shear-force 彎矩圖向上為正.,5.梁上的FSmax發(fā)生在全梁或各梁段的邊界截面處;梁上的Mmax發(fā)生在全梁或各梁段的邊界截面,或FS = 0 的截面處.,小 結(jié),3.梁上集中力作用處左、右兩側(cè)橫截面上,剪力（圖）有突變,突變值等于集中力的數(shù)值.在此處彎矩圖則形成一個尖角.,4.梁上集中力偶作用處左、右兩側(cè)橫截面上的彎矩（圖） 有突變,其突變值等于集中力偶矩的數(shù)值.但在此處剪力圖 沒有變化.,例題9 一簡支梁受移動荷載 F 的作用如圖所示.試求梁的最大彎矩為極大時荷載 F 的位置.,解 :先設(shè)F 在距左支座 A 為 x 的任意位置.求此情況下梁的最大彎矩為極大.,荷載在任意位置時，支反力為,當荷載 F 在距左支座為 x 的任意位置 C 時，梁的彎矩為,令,此結(jié)果說明，當移動荷載 F 在簡支梁的跨中時，梁的最大彎矩為極大.,得最大彎矩值,設(shè)梁上作用有任意分布荷載 其集度,4-4 剪力、彎矩與分布荷載集度間的關(guān)系 (Relationships between load,shear force,and bending moment),一、彎矩、剪力與分布荷載集度間的微分關(guān)系(Differential relationships between load,shear force,and bending moment),q = q (x),規(guī)定 q (x)向上為正.,將 x 軸的坐標原點取在梁的左端.,假想地用坐標為 x 和 x+dx的兩橫截面m-m和n-n從梁中取出dx 微段.,x+dx 截面處 則分別為 FS(x)+dFS(x) ， M(x)+dM(x) . 由于dx很小，略去q(x) 沿dx的變化.,m-m截面上內(nèi)力為 FS(x) ,M(x),寫出微段梁的平衡方程,得到,略去二階無窮小量即得,公式的幾何意義,（1）剪力圖上某點處的切線斜率等于該點處荷載集度的大小;,（2）彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點處剪力的大小;,（3）根據(jù)q(x)0或q(x) 0來判斷彎矩圖的凹凸性.,M(x)圖為一向上凸的二次拋物線.,FS(x)圖為一向右下方傾斜的直線.,二、q(x)、FS(x)圖、M（x）圖三者間的關(guān)系 (Relationships between load,shear force,and bending moment diagrams),1.梁上有向下的均布荷載,即 q(x) < 0,2.梁上無荷載區(qū)段，q(x) = 0,剪力圖為一條水平直線.,彎矩圖為一斜直線.,當 FS(x) 0 時,向右上方傾斜.,當 FS(x) < 0 時,向右下方傾斜.,5. 最大剪力可能發(fā)生在集中力所在截面的一側(cè);或分布載荷發(fā)生變化的區(qū)段上. 梁上最大彎矩 Mmax可能發(fā)生在FS(x) = 0 的截面上; 或發(fā)生在集中力所在的截面上;或集中力偶作用處的一側(cè).,3. 在集中力作用處剪力圖有突變,其突變值等于集中力的值.彎矩圖有轉(zhuǎn)折.,4. 在集中力偶作用處彎矩圖有突變，其突 變值等于集中力偶的值，但剪力圖無變化.,無荷載,集中力,F,C,集中力偶,M,C,向下傾斜的直線,上凸的二次拋物線,在FS=0的截面,水平直線,一般斜直線,或,在C處有轉(zhuǎn)折,在剪力突變的截面,在緊靠C的某一側(cè)截面,一段梁上的外力情況,剪力圖 的特征,彎矩圖 的特征,Mmax所在 截面的可 能位置,表 4-1 在幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征,向下的均布荷載,在C處有突變,在C處有突變,在C處無變化,三、分布荷載集度、剪力和彎矩之間的積分關(guān)系(Integral relationships between load, shear force, and bending moment),若在 x=x1 和 x= x2 處兩個橫截面無集中力則,等號右邊積分的幾何意義是x1 , x2兩橫截面間分布荷載圖的面積.,若橫截面x= x1，x=x2 間無集中力偶作用則得,式中 M(x1)，M(x2)分別為在x=x1 和 x= x2處兩個橫截面上的彎矩.,等號右邊積分的幾何意義是 x1 , x2兩個橫截面間剪力圖的面積.,式中， 分別為在 x=x1 和 x= x2 處兩個橫截面上的剪力.,例題10 一簡支梁受兩個力F作用,如圖所示.已知 F= 25.3kN, 有關(guān)尺寸如圖所示.試用本節(jié)所述關(guān)系作剪力圖和彎矩圖.,解：（1）求梁的支反力,將梁分為 AC、CD、DB 三段. 每一段均屬無載荷區(qū)段.,（2）剪力圖,每段梁的剪力圖均為水平直線,AC段,DB段,最大剪力發(fā)生在DB段中的任一橫截面上,CD段,最大彎矩發(fā)生在 C 截面,（3）彎矩圖,每段梁的彎矩圖均為斜直線.且梁上無集中力偶.,（4）對圖形進行校核,在集中力作用的C,D 兩點剪力圖發(fā)生突變,突變值F=25.3kN.而彎矩圖有尖角.,在AC段剪力為正值，彎矩圖為向上傾斜的直線.,在CD和DB段，剪力為負值，彎矩圖為向下傾斜的直線.,最大彎矩發(fā)生在剪力改變正、負號的 C截面處.說明剪力圖和彎矩圖是正確的.,例題11 一簡支梁受均布荷載作用，其集度 q=100kN/m ,如圖 所示.試用簡易法作此梁的剪力圖和彎矩圖.,解： （1） 計算梁的支反力,將梁分為 AC、CD、DB 三段. AC和DB上無荷載，CD 段有向下的 均布荷載.,（2）剪力圖,AC段 水平直線,CD段 向右下方的斜直線,DB段 水平直線,最大剪力發(fā)生在 AC 和 DB 段的任一橫截面上.,例題12 作梁的內(nèi)力圖.,解： （1）支座反力為,將梁分為AC、CD、 DB、BE 四段.,（2）剪力圖,AC段 向下斜的直線(),CD段 向下斜的直線 ( ),DB段 水平直線 (-),EB段 水平直線 (-),AC段 向下斜的直線(),CD段 向下斜的直線 ( ),F點剪力為零,令其距 A截面的距離為x,x = 5m,（3）彎矩圖,CD段,AC段,BE段,（4）校核,解： 支座反力為,FRA = 81 kN FRB = 29 kN MA = 96.5 kNm,例題13 用簡易法作組合梁的剪力圖和彎矩圖.,將梁分為 AE，EC， CD，DK，KB 五段。,(1) 剪力圖,AE段 水平直線,FSA右 = FSE左 = FRA = 81kN,ED 段 水平直線,DK 段 向右下方傾斜的直線,FSK= -FRB = - 29kN,FSE右 = FRA - F = 31kN,KB 段 水平直線,FSB左= - FRB = - 29 kN,設(shè)距K截面為 x 的截面上剪力 FS = 0.即,（2）彎矩圖,AE，EC，CD 梁段均為向上傾斜的直線,KB 段 向下傾斜的直線,DK段 向上凸的二次拋物線,在 FS= 0 的截面上彎矩有極值,中間鉸鏈傳遞剪力(鉸鏈左,右兩側(cè)的剪力相等)；但不傳遞彎矩(鉸鏈處彎矩必為零).,+,例題14 已知簡支梁的剪力圖,作梁的彎矩圖和荷載圖.已知梁上沒有集中力偶作用.,AB 段 沒有荷載，在B處有集中力,BC 段 無荷載,CD 段 有均布荷載 q ( ),(2)彎矩圖,AB段 向右上傾斜的直線,BC段 向右下傾斜的直線.,CD段 向上凸的二次拋物線.該段內(nèi)彎矩沒有極值.,例題15 已知簡支梁的彎矩圖,作出梁的剪力圖和荷載圖.,AB段 因為 M(x) = 常量,剪力圖為水平直線,且 FS(x) = 0 .,BC段 FS(x) = 常量 , 剪力圖為水平直線,CD段 剪力圖為水平直線,且FS(x) = 0,AB段 無荷載,在A處有集中力偶,(2)作荷載圖,F = 20kN (),B 處有集中力.,集中力,BC段 無荷載 C處有集中力,集中力 F = 20kN ( ),CD段 無荷載,4-5 按疊加原理作彎矩圖 (Drawing bending-moment diagram by superposition method),一、疊加原理 (Superposition principle) 多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力等于每個載荷單獨 作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力的代數(shù)和.,二、適用條件 (Application condition) 所求參數(shù)（內(nèi)力、應(yīng)力、位移）必然與荷載滿足線性關(guān)系.即在彈性限度內(nèi)滿足胡克定律.,三、步驟 (Procedure) （1）分別作出各項荷載單獨作用下梁的彎矩圖; （2）將其相應(yīng)的縱坐標疊加即可（注意：不是圖形的簡單拼湊）,例16 懸臂梁受集中荷載 F 和均布荷載 q 共同作用,試按疊加原理作此梁的彎矩圖,解: 懸臂梁受集中荷載 F 和均布荷載 q 共同作用， 在距左端為 x 的任一橫截面上的彎矩為,F 單獨作用,q單獨作用,F,q 作用該截面上的彎矩等于F, q 單獨作用該截面上的彎矩的代數(shù)和,+,-,例題17 圖示一外伸梁，a = 425mm , F1、 F2 、 F3 分別為 685 kN,575 kN,506 kN.試按疊加原理作此梁的彎矩圖,求梁的最大彎矩.,解：將梁上荷載分開,1.平面剛架的內(nèi)力 (Internal forces for plane frame members) 剪力 (shear force );彎矩 (bending moment);軸力 (axial force).,平面剛架是由在同一平面內(nèi),不同取向的桿件,通過桿端 相互剛性連結(jié)而組成的結(jié)構(gòu).,一、平面剛架的內(nèi)力圖 (Internal diagrams for plane frame members),彎矩圖 (bending moment diagram) 畫在各桿的受壓側(cè),不注明正、負號.,剪力圖及軸力圖 (shear force and axial force diagrams) 可畫在剛架軸線的任一側(cè)(通常正值畫在 剛架的外側(cè)). 注明正,負號.,2、內(nèi)力圖符號的規(guī)定 (Sign convention for internal force diagrams),例題18 圖示為下端固定的剛架.在其軸線平面內(nèi)受集中力F1 和 F2 作用，作此剛架的彎矩圖和軸力圖.,解：將剛架分為 CB，AB 兩段,CB 段,FN (x) = 0,M(x) = F1x (0 x a),FS(x) = F1 (+) (0<x < a),BA 段,FN(x) = F1 （） ( 0 x l ),M(x) = F1a+F2 x ( 0 x l ),FS(x) = F2 (+) ( 0< x <l ),二、平面曲桿 (Plane curved bars),軸力 引起拉伸的軸力為正；,彎矩 使曲桿的曲率增加（即外側(cè)受拉）的彎矩為正.,剪力 對所考慮的一端曲桿內(nèi)一點取矩 產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)動 趨勢的剪力為正;,1、平面曲桿 (Plane curved bars) 軸線為一平面曲線的桿件.內(nèi)力情況及繪制方法與平面剛架相同.,2、內(nèi)力符號的確定 (Sign convention for internal force),例19 如圖所示的半圓環(huán)半徑為R,在自由端受到載荷F 的作用 . 試繪制FS圖、M圖和FN圖.,解：建立極坐標系,O為極點,OB極軸,q 表示截面m-m的位置.,第四章結(jié)束,