Chapter13 Energy Method,第十三章 能量法,2,第十三章 能量法 (Energy Methods),13-1 概述（Introduction),13-2 桿件變形能的計(jì)算( Calculation of strain energy for various types of loading ),13-3 互等定理（Reciprocal theorems),13-4 單位荷載法 莫爾定理(Unit-load method ,若先在 C 截面加 F2, 然后在 B 截面加 F1.,分別計(jì)算兩種加力方法拉桿的應(yīng)變能.,22,（1）先在 B 截面加 F1,然后在 C 截面加 F2,（a）在 B 截面加 F1, B截面的位移為,外力作功為,（b）再在C上加 F2,C截面的位移為,F2 作功為,23,（c）在加F2 后,B截面又有位移,在加 F2 過程中 F1 作功（常力作功）,所以應(yīng)變能為,24,（2）若先在C截面加F2 ,然后B截面加F1.,（a）在C截面加F2 后,F2 作功,（b） 在B截面加F1后,F1作功,25,（c）加 F1引起 C 截面的位移,在加F1過程中F2作功（常力作功）,所以應(yīng)變能為,注意：,（1） 計(jì)算外力作功時(shí),注意變力作功與常力作功的區(qū)別.,（2）應(yīng)變能V只與外力的最終值有關(guān),而與加載過程和加載次序無關(guān).,26,解: 梁中點(diǎn)的撓度為:,梁右端的轉(zhuǎn)角為:,梁的變形能為:,例題5,以彎曲變形為例證明 應(yīng)變能V只與外力的最 終值有關(guān),而與加載過程 和加載次序無關(guān).,27,先加力 F 后,再加力偶 Me,（1）先加力F后,C 點(diǎn)的位移,力F 所作的功為,（2）力偶由零增至最后值 Me,B 截面的轉(zhuǎn)角為,力偶 Me 所作的功為,28,先加上的力F所作的功為,C截面的位移為,F與力偶Me所作的功為,29,兩力作用點(diǎn)沿力作用方向的位移分別為,F1 ,F2,（1）設(shè)在線彈性結(jié)構(gòu)上作用力,1 ,2,一、功的互等定理（ Reciprocal work theorem ）,13-3 互等定理（Reciprocal Theorems ),30,F1 和 F2 完成的功應(yīng)為,（2）在結(jié)構(gòu)上再作用有力,F3 ,F4,沿 F3和 F4方向的相應(yīng)位移為,3 , 4,F3 和 F4 完成的功應(yīng)為,31,（3）在 F3和 F4的作用下,F1 和F2 的作用點(diǎn)又有位移,F1 和 F2 在 1和 2上完成的功應(yīng)為,因此,按先加 F1,F2 后F3,F4 的次序加力,結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為,1和 2,32,若按先加F3 ,F4 后加F1, F2 的次序加力,又可求得結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為,由于應(yīng)變能只決定于力和位移的最終值,與加力的次序無關(guān),故,33,功的互等定理（reciprocal work theorem）:第一組力在第二組力引起的位移上所作的功,等于第二組力在第一組力引起的位移上所作的功.,二、位移互等定理（Reciprocal displacement theorem),若第一組力 F1,第二組力只有 F3,則,如果 F1= F3,則有,34,位移互等定理（reciprocal work theorem）： F1作用點(diǎn)沿 F1 方向因作用 F3而引起的位移等于F3 作用點(diǎn)沿 F3 方向因作用 F1而引起的位移.（The deflection at A due to a load acting at B is equal to the deflection at B due to the same load acting at A ),三、注意（Notice）,（1）力和位移都應(yīng)理解為廣義的.,（2）這里是指結(jié)構(gòu)不可能發(fā)生剛性位移的情況下,只是由變形引起的位移.,35,13-4 單位荷載法 莫爾定理 （Unit-load method ,（3）所加廣義單位力與所求廣義位移之積,必須為功的量綱;,40,A,例題5 抗彎剛度為EI的等截面簡支梁受均布荷載作用,用單位載荷法求梁中點(diǎn)的撓度 wC 和支座A截面的轉(zhuǎn)角.剪力對(duì)彎曲的影響不計(jì).,q,B,C,l,l/2,解:,在實(shí)際荷載作用下,任一 x 截面的彎矩為,41,A,A,B,C,（1）求C 截面的撓度,在C點(diǎn)加一向下的單位力,任一 x 截面的彎矩為,q,B,C,l,l/2,ql/2,ql/2,42,ql/2,A,A,B,（2）求A截面的轉(zhuǎn)角,在 A 截面加一單位力偶,引起的 x 截面的彎矩為,q,C,l,l/2,（順時(shí)針）,ql/2,43,B,例題6 圖示外伸梁,其抗彎剛度為 EI. 用單位載荷法求C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角.,A,C,q,F=qa,a,2a,44,B,A,A,B,C,a,2a,解：,AB:,（1）求截面的撓度（在C 處加一單位力“1”）,C,q,F=qa,a,2a,45,BC:,B,A,A,B,C,a,2a,C,q,F=qa,a,2a,FRA,1/2,46,B,A,BC:,AB:,（2）求C 截面的轉(zhuǎn)角（在C處加一單位力偶）,A,B,C,a,2a,C,q,F=qa,a,2a,FRA,47,例題7 剛架的自由端A作用集中力F.剛架各段的抗彎剛度已于圖中標(biāo)出. 不計(jì)剪力和軸力對(duì)位移的影響. 計(jì)算A點(diǎn)的垂直位移及B截面的轉(zhuǎn)角.,A,B,C,F,EI1,EI2,解:（1）計(jì)算A點(diǎn)的垂直位移,在A點(diǎn)加垂直向下的單位力,48,AB:,BC:,a,A,B,C,F,l,A,B,C,l,a,49,（2）計(jì)算B截面的轉(zhuǎn)角,在B上加一個(gè)單位力偶矩,AB:,BC:,A,B,C,F,l,x,a,A,B,C,l,x,a,50,例題8 圖示剛架,兩桿的 EI 和 EA 分別相同,試求C點(diǎn)的水平位移.,解:在 C點(diǎn)加一水平單位力,51,F,a,a,A,B,B,A,C,C,CB :,AB :,52,F,a,a,A,B,B,A,C,C,53,例題9 圖示為一水平面內(nèi)的曲桿，B 處為一剛性節(jié)點(diǎn)， ABC=90在 C 處承受豎直力F，設(shè)兩桿的抗彎剛度和抗扭剛度分別是 EI 和 GIp ，求C點(diǎn)豎向的位移.,54,解:在 C點(diǎn)加豎向單位力,BC:,A,B,C,a,b,AB:,55,56,例題10 由三桿組成的剛架,B,C為剛性節(jié)點(diǎn),三桿的抗彎剛度都是EI,試用單位載荷法求A1,A2兩點(diǎn)的相對(duì)位移.,57,解：在A1,A2 處加一對(duì)水平單位力.,B,C 兩支座的反力均為零.,A1B：,BC：,CA2：,A1,A2,B,C,l,58,例題11 剛架受力如圖,求A截面的垂直位移,水平位移及轉(zhuǎn)角.,59,AB：,BC：,解:求A點(diǎn)鉛垂位移（在A點(diǎn)加豎向單位力）,60,求A點(diǎn)水平位移（在A點(diǎn)加水平單位力）,AB：,BC：,61,求A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角（在A點(diǎn)加一單位力偶）,AB:,BC：,62,例題12 圖示為一簡單桁架,其各桿的EA相等. 在圖示荷載作用下A、C 兩節(jié)點(diǎn)間的相對(duì)位移.,63,桁架求位移的單位荷載法為,64,A,C兩點(diǎn)間的距離縮短.,65,例題13 計(jì)算圖（a）所示開口圓環(huán)在F力作用下切口的張開量AB. EI=常數(shù).,66,B,A,R,P,(b),B,A,R,P,(c),解：,O,O,67,設(shè)彈性結(jié)構(gòu)在支座的約束下無任何剛性位移.,作用有外力:,F1 ,F2 , ,Fi , ,相應(yīng)的位移為：,1 , 2 , , i , ,13-5 卡氏定理(Castiglianos Theorem),結(jié)構(gòu)的變形能,68,只給 Fi 一個(gè)增量 Fi .,引起所有力的作用點(diǎn)沿力方向的位移增量為,在作用Fi 的過程中, Fi 完成的功為,原有的所有力完成的功為,結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的增量為,69,如果把原來的力看作第一組力,而把 Fi 看作第二組力.,根椐互等定理,略去高階微量,或者,當(dāng) Fi 趨于零時(shí),上式為,這就是卡氏第二定理（Castiglianos Second Theorem）（卡氏定理）（Castiglianos Theorem）,70,（1）卡氏第二定理只適用于線性彈性體,說明（Directions）：,（2）Fi 為廣義力，i為相應(yīng)的位移,71,（3）卡氏第二定理的應(yīng)用,（a） 軸向拉伸與壓縮,（b） 扭轉(zhuǎn),（c） 彎曲,72,（4） 平面桁架,（5） 組合變形,73,例題14 外伸梁受力如圖所示,已知彈性模量EI.梁材料為線彈性體.求梁C截面的撓度和A截面的轉(zhuǎn)角.,F,A,B,C,l,a,FRA,74,AB:,BC:,A,B,C,l,a,FRA,F,解:,75,A,B,C,l,a,FRA,F,76,例題15 剛架結(jié)構(gòu)如圖所示 .彈性模量EI已知。材料為線彈性. 不考慮軸力和剪力的影響，計(jì)算C截面的轉(zhuǎn)角和D截面的水平位移.,A,B,C,D,a,a,2a,Me,解 : 在C截面虛設(shè)一力偶 Ma , 在D截面虛設(shè)一水平力F.,77,CD:,CB:,AB:,A,B,C,D,a,a,2a,Me,78,2a,A,B,C,D,a,a,Me,79,例題16 圓截面桿ABC,（ABC=90）位于水平平面內(nèi),已知桿截面直徑 d 及材料的彈性常數(shù) E ,G .求C 截面處的鉛垂位移.不計(jì)剪力的影響.,80,BC:彎曲變形,A,B,l,AB:彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形,（扭轉(zhuǎn)變形）,（彎曲變形）,81,82,例題17 圖示剛架各段的抗彎剛度均為 EI .不計(jì)軸力和剪力的影響. 用卡氏第二定理求截面 D 的水平位移 D 和轉(zhuǎn)角 D .,F1,解:在D點(diǎn)虛設(shè)一力偶矩 Ma,CD:彎曲變形,83,但是軸力不計(jì),因此橫截面上 的內(nèi)力只計(jì)彎矩.,F1,A,B,C,將力 F 向C 簡化得：,力 F（產(chǎn)生拉伸變形）,力偶矩 2Fl（產(chǎn)生彎曲變形）,Ma（產(chǎn)生彎曲變形）,AC產(chǎn)生拉伸與彎曲的組合變形. 橫截面上的內(nèi)力有軸力和彎矩.,F1,將Ma向C簡化得:,84,BC段：,BA段：,85,13-6 計(jì)算莫爾積分的圖乘法 (The method of moment areas for the mohrs integration),等直桿的情況下,莫爾積分中的EI為常量,可提到積分號(hào)外面,只需計(jì)算:,86,C,M(x),87,設(shè)在桿長為 l 的一段內(nèi)M（x）圖是曲線,設(shè)直線方程是,為 l 段內(nèi)圖 M(x) 的面積,88,M(x),x,l,x,C,C 為圖M(x)的形心,xC為其坐標(biāo),為圖M(x)對(duì) y 軸坐標(biāo)的靜矩,89,M(x),x,l,x,C,對(duì)于等直桿有,當(dāng)M圖為正彎矩時(shí),w應(yīng)代以正號(hào).,當(dāng)M圖為負(fù)彎矩時(shí), w應(yīng)代以負(fù)號(hào).,90,b,幾中常見圖形的面積和形心的計(jì)算公式,a,l,h,三角形,C,C,l,h,頂點(diǎn),二次拋物線,91,l,h,頂點(diǎn),c,N 次拋物線,l,h,頂點(diǎn),c,二次拋物線,3l/4,l/4,92,例題18 均布荷載作用下的簡支梁,其 EI 為常數(shù). 求跨中點(diǎn)的撓度.,93,A,B,C,F,94,例題19 圖示梁,抗彎剛度為EI,承受均布載荷q及集中力F作用. 用圖乘法求: （1）集中力作用端撓度為零時(shí)的F值； （2）集中力作用端轉(zhuǎn)角為零時(shí)的F值.,F,C,A,B,a,q,95,F,C,A,B,解：,a,a,q,96,例題20 圖示開口剛架,EI為常數(shù).求A和B兩截面的相對(duì)角位移qAB和沿F力作用線方向的相對(duì)線位移AB .,a,a,a/2,a/2,A,B,F,F,97,解：,Fa/2,a/2,Fa/2,Fa/2,a/2,a/2,98,例題21 圖示剛架,EI為常數(shù). 求A截面的水平位移AH 和轉(zhuǎn)角qA .,B,A,a,a,99,a,qa2/2,解：,a,1,qa2/2,100,例題22 拐桿如圖,A處為一軸承,允許桿在軸承內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng),但不能上下移動(dòng),已知:E=210GPa,G=0.4E,求B點(diǎn)的垂直位移.,5,A,300,B,500,解:（1）畫單位載荷圖,5,A,300,B,500,101,（3）變形,（2）求內(nèi)力,102,質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的虛位移原理:質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系處于平衡狀態(tài)的充要條件是,作用在其上的力對(duì)于虛位移所作的總功為零.,13-7 虛功原理 （Principle of virtual work）,一、虛功原理 （Principle of virtual work）,作用在桿件上的力分為外力和內(nèi)力,外力:荷載和支座反力,內(nèi)力:截面上各部分間的相互作用力,對(duì)于處于平衡狀態(tài)的桿件,其外力和內(nèi)力對(duì)任意給定的虛位移所作的總虛功等于零.,103,桿件的約束條件:,（1）支座約束條件,（2）各單元體變形的幾何相容條件,桿件在荷載作用下所發(fā)生的位移都滿足上述兩類約束條件,且為微小量,即符合虛位移的基本要求. 所以,可以把桿件由荷載作用產(chǎn)生的微小實(shí)位移當(dāng)作虛位移.,104,梁上荷載:,F1, F2, F3, F4, FRA, FRB,給梁任一虛位移,荷載作用點(diǎn)沿其作用方向的相應(yīng)虛位移（支座處沒有虛位移）為,1, 2, 3, 4,（1） 梁的外力虛功,A,l,B,外力虛功為,105,（2） 梁的內(nèi)力虛功,彎矩虛功,（受拉）,106,剪力虛功,107,（1） 該微段的外力虛功,M,FS應(yīng)看作該微段的外力,該微段的外力虛功為（略去二階小量）,108,（2）該微段的內(nèi)力虛功 dWi,由該微段的虛位移原理,（3）梁的內(nèi)力虛功,梁的虛位移原理為,109,若橫截面上不僅有彎矩 M 和剪力FS, 還有軸力FN和扭矩T,則桿的虛位移原理為,（a）i 為 Fi 力作用點(diǎn)沿Fi方向的相應(yīng)虛位移,d,d,d,d 分別為與彎矩M,剪力FS,軸力FN 和扭矩T相對(duì)應(yīng)虛位移；,（b）虛位移原理既不限定于線性問題,也不限定于彈性問題.,第十三章結(jié)束,