圓錐曲線經(jīng)典題型一選擇題（共10小題）1直線y=x1與雙曲線x2=1（b0）有兩個不同的交點，則此雙曲線離心率的范圍是（）A（1，）B（，+）C（1，+）D（1，）（，+）2已知M（x0，y0）是雙曲線C：=1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的左、右兩個焦點，若0，則y0的取值范圍是（）ABCD3設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線（a0，b0）的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使得，其中O為坐標原點，且，則該雙曲線的離心率為（）ABCD4過雙曲線=1（a0，b0）的右焦點F作直線y=x的垂線，垂足為A，交雙曲線左支于B點，若=2，則該雙曲線的離心率為（）AB2CD5若雙曲線=1（a0，b0）的漸近線與圓（x2）2+y2=2相交，則此雙曲線的離心率的取值范圍是（）A（2，+）B（1，2）C（1，）D（，+）6已知雙曲線C：的右焦點為F，以F為圓心和雙曲線的漸近線相切的圓與雙曲線的一個交點為M，且MF與雙曲線的實軸垂直，則雙曲線C的離心率為（）ABCD27設點P是雙曲線=1（a0，b0）上的一點，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點，已知PF1PF2，且|PF1|=2|PF2|，則雙曲線的一條漸近線方程是（）ABCy=2xDy=4x8已知雙曲線的漸近線與圓x2+（y2）2=1相交，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A（，+）B（1，）C（2+）D（1，2）9如果雙曲線經(jīng)過點P（2，），且它的一條漸近線方程為y=x，那么該雙曲線的方程是（）Ax2=1B=1C=1D=110已知F是雙曲線C：x2=1的右焦點，P是C上一點，且PF與x軸垂直，點A的坐標是（1，3），則APF的面積為（）ABCD二填空題（共2小題）11過雙曲線的左焦點F1作一條l交雙曲線左支于P、Q兩點，若|PQ|=8，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點，則PF2Q的周長是 12設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使，O為坐標原點，且，則該雙曲線的離心率為 三解答題（共4小題）13已知點F1、F2為雙曲線C：x2=1的左、右焦點，過F2作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線C于點M，MF1F2=30°（1）求雙曲線C的方程；（2）過雙曲線C上任意一點P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為P1、P2，求的值14已知曲線C1：=1（a0，b0）和曲線C2：+=1有相同的焦點，曲線C1的離心率是曲線C2的離心率的倍（）求曲線C1的方程；（）設點A是曲線C1的右支上一點，F(xiàn)為右焦點，連AF交曲線C1的右支于點B，作BC垂直于定直線l：x=，垂足為C，求證：直線AC恒過x軸上一定點15已知雙曲線：的離心率e=，雙曲線上任意一點到其右焦點的最小距離為1（）求雙曲線的方程；（）過點P（1，1）是否存在直線l，使直線l與雙曲線交于R、T兩點，且點P是線段RT的中點？若直線l存在，請求直線l的方程；若不存在，說明理由16已知雙曲線C：的離心率e=，且b=（）求雙曲線C的方程；（）若P為雙曲線C上一點，雙曲線C的左右焦點分別為E、F，且=0，求PEF的面積一選擇題（共10小題）1直線y=x1與雙曲線x2=1（b0）有兩個不同的交點，則此雙曲線離心率的范圍是（）A（1，）B（，+）C（1，+）D（1，）（，+）【解答】解：直線y=x1與雙曲線x2=1（b0）有兩個不同的交點，1b0或b1e=1且e故選：D2已知M（x0，y0）是雙曲線C：=1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的左、右兩個焦點，若0，則y0的取值范圍是（）ABCD【解答】解：由題意，=（x0，y0）（x0，y0）=x023+y02=3y0210，所以y0故選：A3設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線（a0，b0）的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使得，其中O為坐標原點，且，則該雙曲線的離心率為（）ABCD【解答】解：取PF2的中點A，則，O是F1F2的中點OAPF1，PF1PF2，|PF1|=3|PF2|，2a=|PF1|PF2|=2|PF2|，|PF1|2+|PF2|2=4c2，10a2=4c2，e=故選C4過雙曲線=1（a0，b0）的右焦點F作直線y=x的垂線，垂足為A，交雙曲線左支于B點，若=2，則該雙曲線的離心率為（）AB2CD【解答】解：設F（c，0），則直線AB的方程為y=（xc）代入雙曲線漸近線方程y=x得A（，），由=2，可得B（，），把B點坐標代入雙曲線方程=1，即=1，整理可得c=a，即離心率e=故選：C5若雙曲線=1（a0，b0）的漸近線與圓（x2）2+y2=2相交，則此雙曲線的離心率的取值范圍是（）A（2，+）B（1，2）C（1，）D（，+）【解答】解：雙曲線漸近線為bx±ay=0，與圓（x2）2+y2=2相交圓心到漸近線的距離小于半徑，即b2a2，c2=a2+b22a2，e=e11e故選C6已知雙曲線C：的右焦點為F，以F為圓心和雙曲線的漸近線相切的圓與雙曲線的一個交點為M，且MF與雙曲線的實軸垂直，則雙曲線C的離心率為（）ABCD2【解答】解：設F（c，0），漸近線方程為y=x，可得F到漸近線的距離為=b，即有圓F的半徑為b，令x=c，可得y=±b=±，由題意可得=b，即a=b，c=a，即離心率e=，故選C7設點P是雙曲線=1（a0，b0）上的一點，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點，已知PF1PF2，且|PF1|=2|PF2|，則雙曲線的一條漸近線方程是（）ABCy=2xDy=4x【解答】解：由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RTPF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，則b2=4a2即b=2a，雙曲線=1一條漸近線方程：y=2x；故選：C8已知雙曲線的漸近線與圓x2+（y2）2=1相交，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A（，+）B（1，）C（2+）D（1，2）【解答】解：雙曲線漸近線為bx±ay=0，與圓x2+（y2）2=1相交圓心到漸近線的距離小于半徑，即13a2b2，c2=a2+b24a2，e=2故選：C9如果雙曲線經(jīng)過點P（2，），且它的一條漸近線方程為y=x，那么該雙曲線的方程是（）Ax2=1B=1C=1D=1【解答】解：由雙曲線的一條漸近線方程為y=x，可設雙曲線的方程為x2y2=（0），代入點P（2，），可得=42=2，可得雙曲線的方程為x2y2=2，即為=1故選：B10已知F是雙曲線C：x2=1的右焦點，P是C上一點，且PF與x軸垂直，點A的坐標是（1，3），則APF的面積為（）ABCD【解答】解：由雙曲線C：x2=1的右焦點F（2，0），PF與x軸垂直，設（2，y），y0，則y=3，則P（2，3），APPF，則丨AP丨=1，丨PF丨=3，APF的面積S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理當y0時，則APF的面積S=，故選D二填空題（共2小題）11過雙曲線的左焦點F1作一條l交雙曲線左支于P、Q兩點，若|PQ|=8，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點，則PF2Q的周長是20【解答】解：|PF1|+|QF1|=|PQ|=8雙曲線x2=1的通徑為=8PQ=8PQ是雙曲線的通徑PQF1F2，且PF1=QF1=PQ=4由題意，|PF2|PF1|=2，|QF2|QF1|=2|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12PF2Q的周長=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案為2012設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使，O為坐標原點，且，則該雙曲線的離心率為【解答】解：取PF2的中點A，則，2=0，OA是PF1F2的中位線，PF1PF2，OA=PF1 由雙曲線的定義得|PF1|PF2|=2a，|PF1|=|PF2|，|PF2|=，|PF1|=PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，（）2+（）2=4c2，e=故答案為：三解答題（共4小題）13已知點F1、F2為雙曲線C：x2=1的左、右焦點，過F2作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線C于點M，MF1F2=30°（1）求雙曲線C的方程；（2）過雙曲線C上任意一點P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為P1、P2，求的值【解答】解：（1）設F2，M的坐標分別為，因為點M在雙曲線C上，所以，即，所以，在RtMF2F1中，MF1F2=30°，所以（3分）由雙曲線的定義可知：故雙曲線C的方程為：（6分）（2）由條件可知：兩條漸近線分別為（8分）設雙曲線C上的點Q（x0，y0），設兩漸近線的夾角為，則點Q到兩條漸近線的距離分別為，（11分）因為Q（x0，y0）在雙曲線C：上，所以，又cos=，所以=（14分）14已知曲線C1：=1（a0，b0）和曲線C2：+=1有相同的焦點，曲線C1的離心率是曲線C2的離心率的倍（）求曲線C1的方程；（）設點A是曲線C1的右支上一點，F(xiàn)為右焦點，連AF交曲線C1的右支于點B，作BC垂直于定直線l：x=，垂足為C，求證：直線AC恒過x軸上一定點【解答】（）解：由題知：a2+b2=2，曲線C2的離心率為（2分）曲線C1的離心率是曲線C2的離心率的倍，=即a2=b2，（3分）a=b=1，曲線C1的方程為x2y2=1； （4分）（）證明：由直線AB的斜率不能為零知可設直線AB的方程為：x=ny+ （5分）與雙曲線方程x2y2=1聯(lián)立，可得（n21）y2+2ny+1=0設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=，y1y2=，（7分）由題可設點C（，y2），由點斜式得直線AC的方程：yy2=（x） （9分）令y=0，可得x= （11分）直線AC過定點（，0） （12分）15已知雙曲線：的離心率e=，雙曲線上任意一點到其右焦點的最小距離為1（）求雙曲線的方程；（）過點P（1，1）是否存在直線l，使直線l與雙曲線交于R、T兩點，且點P是線段RT的中點？若直線l存在，請求直線l的方程；若不存在，說明理由【解答】解：（）由題意可得e=，當P為右頂點時，可得PF取得最小值，即有ca=1，解得a=1，c=，b=，可得雙曲線的方程為x2=1；（）過點P（1，1）假設存在直線l，使直線l與雙曲線交于R、T兩點，且點P是線段RT的中點設R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12=1，x22=1，兩式相減可得（x1x2）（x1+x2）=（y1y2）（y1+y2），由中點坐標公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直線l的斜率為k=2，即有直線l的方程為y1=2（x1），即為y=2x1，代入雙曲線的方程，可得2x24x+3=0，由判別式為164×2×3=80，可得二次方程無實數(shù)解故這樣的直線l不存在16已知雙曲線C：的離心率e=，且b=（）求雙曲線C的方程；（）若P為雙曲線C上一點，雙曲線C的左右焦點分別為E、F，且=0，求PEF的面積【解答】解：（）C：的離心率e=，且b=，=，且b=，a=1，c=雙曲線C的方程；（）令|PE|=p，|PF|=q由雙曲線定義：|pq|=2a=2平方得：p22pq+q2=4=0，EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|PF|=2第14頁（共14頁）