第八章 多元函數(shù)微積分學(xué),8.1 預(yù)備知識(shí),8.2 多元函數(shù)的概念,8.3 偏導(dǎo)數(shù)與全微分,8.5 多元函數(shù)的極值與最值,8.6 二重積分,8.4 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法,區(qū)域,（1）鄰域,,,連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域,（2）區(qū)域,,8.1 預(yù)備知識(shí),,平面方程,一般式：,截距式：,球面方程,標(biāo)準(zhǔn)式：,一般式：,練 習(xí) 一,例1：已知平面與 軸、 軸、 軸的截距依次,為3，4，5，則平面方程為。,,例2: 球心為（3，4，5）半徑為6的球面方,程為。,8.2 多元函數(shù)的概念,一、 多元函數(shù)的定義 二、 二元函數(shù)的極限 三、二元函數(shù)的連續(xù)性,一、多元函數(shù)的定義,定義,類似地可定義三元及三元以上函數(shù),,1.求下列函數(shù)的定義域,練 習(xí) 二,, 則,2. 設(shè),_______.,二、二元函數(shù)的極限,說明：,（1）定義中 的方式是任意的；,（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限,（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似,定義 . 設(shè)二元函數(shù),定義在 D 上,,如果函數(shù)在 D 上各點(diǎn)處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上,如果存在,否則稱為不連續(xù),,此時(shí),稱為間斷點(diǎn) .,則稱 二元函數(shù),連續(xù).,連續(xù),,三、二元函數(shù)的連續(xù)性,8.3 偏導(dǎo)數(shù)與全微分,一、 偏導(dǎo)數(shù) 二、 全微分,一、偏導(dǎo)數(shù)（重點(diǎn)）,,1、,,解,例1 求,在點(diǎn),處的偏導(dǎo)數(shù).,例2 求函數(shù),的偏導(dǎo)數(shù).,解,2、高階偏導(dǎo)數(shù),純偏導(dǎo),混合偏導(dǎo),定義 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).,,解,例3設(shè),求,例4. 求函數(shù),解 :,的二階偏導(dǎo)數(shù).,二、全微分概念,例5. 計(jì)算函數(shù),在點(diǎn) (2,1) 處的全微分.,解:,例6. 計(jì)算函數(shù),的全微分.,解:,練 習(xí) 三,求,1、設(shè),2、已知,求,3、,求,設(shè),,思考：多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可 微三者之間的關(guān)系？,,,多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系,8.4 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法,一、 鏈鎖法則 二、 隱函數(shù)求導(dǎo)法則,一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（鏈?zhǔn)椒▌t）（重點(diǎn)）,以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為全導(dǎo)數(shù).,,,,,解,,,,,,,,,,,,,,,,,解,,例9. 設(shè),,,求全導(dǎo)數(shù),解:,練 習(xí) 四,練習(xí)四答案,隱函數(shù)的求導(dǎo)公式,二、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則（重點(diǎn)）,,解,令,則,,解,令,則,,1、設(shè),, 求,練 習(xí) 四,2、求由方程,確定的隱函數(shù),的偏導(dǎo)數(shù),8.5 多元函數(shù)的極值與最值,一、 多元函數(shù)的極值與最值 二、無條件極值 （重點(diǎn)）,1、二元函數(shù)極值的定義,,一、多元函數(shù)的極值與最值,(1),(2),(3),例1,例,例,2、多元函數(shù)取得極值的條件,仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).,駐點(diǎn),極值點(diǎn),,問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？,注意：,練 習(xí) 五,1、,3、最值應(yīng)用問題,,函數(shù) f 在閉域上連續(xù),函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值,,最值可疑點(diǎn),駐點(diǎn),邊界上的最值點(diǎn),特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個(gè)極值點(diǎn)P 時(shí),,為極小 值,,為最小 值,(大),(大),依據(jù),二、條件極值,極值問題,無條件極值:,條 件 極 值 :,對(duì)自變量只有定義域限制,對(duì)自變量除定義域限制外,,還有其它條件限制,,練 習(xí) 六,例1、設(shè)某廠生產(chǎn)兩產(chǎn)品，產(chǎn)量為 總利潤(rùn)為 已知這兩種產(chǎn)品每千件均消耗原料2000公斤，現(xiàn)有原料12000公斤，問兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時(shí)，總利潤(rùn)達(dá)最大？ （3.8，2.2）,,,例2、設(shè)企業(yè)在雇用 名技術(shù)人員、名非技術(shù)人員時(shí)，產(chǎn)品的產(chǎn)量 若企業(yè)只能雇傭230人，那么該雇傭多少技術(shù)人員、多少非技術(shù)人員才能使產(chǎn)量最大？（90，140）,