高中數(shù)學(xué)排列與組合（一）典型分類講解一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步計(jì)數(shù)原理得練習(xí)題:7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問(wèn)有多少不同的種法？二.相鄰元素捆綁策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題,可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.練習(xí)題:某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為 20 三.不相鄰問(wèn)題插空策略例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種不同的方法,由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有 種元素相離問(wèn)題可先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 30四.定序問(wèn)題倍縮空位插入策略例4. 7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:(倍縮法)對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是： (空位法)設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有 1種坐法，則共有種方法。 思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎? （插入法)先排甲乙丙三個(gè)人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有 方法定序問(wèn)題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理練習(xí)題:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？ 五.重排問(wèn)題求冪策略例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有 7 種分法.把第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種分依此類推,由分步計(jì)數(shù)原理共有種不同的排法允許重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地n不同的元素沒(méi)有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為種練習(xí)題：1 某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為 42 2. 某8層大樓一樓電梯上來(lái)8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法六.環(huán)排問(wèn)題線排策略例6. 8人圍桌而坐,共有多少種坐法?解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒(méi)有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）！種排法即！ 一般地,n個(gè)不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作圓形排列共有練習(xí)題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈 120七.多排問(wèn)題直排策略例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.個(gè)特殊元素有種,再排后4個(gè)位置上的特殊元素丙有種,其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有種,則共有種一般地,元素分成多排的排列問(wèn)題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究. 練習(xí)題：有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 346 八.排列組合混合問(wèn)題先選后排策略例8.有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有種方法.再把4個(gè)元素(包含一個(gè)復(fù)合元素)裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有解決排列組合混合問(wèn)題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?練習(xí)題：一個(gè)班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長(zhǎng)各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長(zhǎng)有且只有1人參加,則不同的選法有 192 種九.小集團(tuán)問(wèn)題先整體后局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾1,在兩個(gè)奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？解：把,當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與排隊(duì)共有種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有種排法 .練習(xí)題：.計(jì)劃展出10幅不同的畫(huà),其中1幅水彩畫(huà),幅油畫(huà),幅國(guó)畫(huà), 排成一行陳列,要求同一 品種的必須連在一起，并且水彩畫(huà)不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為2. 5男生和女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有種十.元素相同問(wèn)題隔板策略例10.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7個(gè)班，每班至少一個(gè),有多少種分配方案？ 解：因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成個(gè)空隙。在個(gè)空檔中選個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成份，對(duì)應(yīng)地分給個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有種分法。將n個(gè)相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個(gè)元素,可以用m-1塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為練習(xí)題：1 10個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中,每盒至少一有多少裝法？ 2 .求這個(gè)方程組的自然數(shù)解的組數(shù) 十一.正難則反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的 取法有多少種？解：這問(wèn)題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法。這十個(gè)數(shù)字中有5個(gè)偶數(shù)5個(gè)奇數(shù),所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有,只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有,和為偶數(shù)的取法共有。再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的取法共有有些排列組合問(wèn)題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷,可以先求出它的反面,再?gòu)恼w中淘汰.練習(xí)題：我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書(shū)記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?十二.平均分組問(wèn)題除法策略例12. 6本不同的書(shū)平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？ 解: 分三步取書(shū)得種方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書(shū)為ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法 ,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有種分法。平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(為均分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。練習(xí)題：1 將13個(gè)球隊(duì)分成3組,一組5個(gè)隊(duì),其它兩組4個(gè)隊(duì), 有多少分法？（）2.10名學(xué)生分成3組,其中一組4人, 另兩組3人但正副班長(zhǎng)不能分在同一組,有多少種不同的分組方法 （1540）3.某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為_(kāi) （）十三. 合理分類與分步策略例13.在一次演唱會(huì)上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會(huì)跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法解：10演員中有5人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究只會(huì)唱的5人中沒(méi)有人選上唱歌人員共有種,只會(huì)唱的5人中只有1人選上唱歌人員種,只會(huì)唱的5人中只有2人選上唱歌人員有種，由分類計(jì)數(shù)原理共有 種。解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過(guò)程的始終。練習(xí)題：1.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座 談會(huì)，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有34 2. 3成人2小孩乘船游玩,1號(hào)船最多乘3人, 2號(hào)船最多乘2人,3號(hào)船只能乘1人,他們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨(dú)乘一只船, 這3人共有多少乘船方法. （27） 本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：*以3個(gè)全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)*以3個(gè)全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)*以只會(huì)跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)都可經(jīng)得到正確結(jié)果十四.構(gòu)造模型策略例14. 馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3個(gè)不亮的燈有 種一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型等，可使問(wèn)題直觀解決練習(xí)題：某排共有10個(gè)座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？（120）十五.實(shí)際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,有多少投法解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有種還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下3,4,5號(hào)球, 3,4,5號(hào)盒3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí)，則4,5號(hào)球有只有1種裝法，同理3號(hào)球裝5號(hào)盒時(shí),4,5號(hào)球有也只有1種裝法,由分步計(jì)數(shù)原理有種 3號(hào)盒 4號(hào)盒 5號(hào)盒 對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫(huà)出樹(shù)狀圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果練習(xí)題：1.同一寢室4人,每人寫(xiě)一張賀年卡集中起來(lái),然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？ (9)2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū) 域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有 72種十六. 分解與合成策略例16. 30030能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13，依題意可知偶因數(shù)必先取2,再?gòu)钠溆?個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積，所有的偶因數(shù)為：練習(xí):正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對(duì)異面直線解：我們先從8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四體共有體共,每個(gè)四面體有3對(duì)異面直線,正方體中的8個(gè)頂點(diǎn)可連成對(duì)異面直線分解與合成策略是排列組合問(wèn)題的一種最基本的解題策略,把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成幾個(gè)小問(wèn)題逐一解決,然后依據(jù)問(wèn)題分解后的結(jié)構(gòu),用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問(wèn)題合成,從而得到問(wèn)題的答案 ,每個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題都要用到這種解題策略十七.化歸策略例17. 25人排成5×5方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？解：將這個(gè)問(wèn)題退化成9人排成3×3方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉，如此繼續(xù)下去.從3×3方隊(duì)中選3人的方法有種。再?gòu)?×5方陣選出3×3方陣便可解決問(wèn)題.從5×5方隊(duì)中選取3行3列有選法所以從5×5方陣選不在同一行也不在同一列的3人有選法。處理復(fù)雜的排列組合問(wèn)題時(shí)可以把一個(gè)問(wèn)題退化成一個(gè)簡(jiǎn)要的問(wèn)題，通過(guò)解決這個(gè)簡(jiǎn)要的問(wèn)題的解決找到解題方法，從而進(jìn)下一步解決原來(lái)的問(wèn)題練習(xí)題:某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形區(qū)組成其中實(shí)線表示馬路，從A走到B的最短路徑有多少種？()十八.數(shù)字排序問(wèn)題查字典策略例18由0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)的比324105大的數(shù)？解:數(shù)字排序問(wèn)題可用查字典法,查字典的法應(yīng)從高位向低位查,依次求出其符合要求的個(gè)數(shù),根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理求出其總數(shù)。 練習(xí):用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)的四位偶數(shù),將這些數(shù)字從小到大排列起來(lái),第71個(gè)數(shù)是 3140 十九.樹(shù)圖策略例19人相互傳球,由甲開(kāi)始發(fā)球,并作為第一次傳球,經(jīng)過(guò)次傳求后,球仍回到甲的手中,則不同的傳球方式有_ 對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，樹(shù)圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果練習(xí): 分別編有1，2，3，4，5號(hào)碼的人與椅，其中號(hào)人不坐號(hào)椅（）的不同坐法有多少種？二十.復(fù)雜分類問(wèn)題表格策略例20有紅、黃、蘭色的球各5只,分別標(biāo)有A、B、C、D、E五個(gè)字母,現(xiàn)從中取5只,要求各字母均有且三色齊備,則共有多少種不同的取法紅111223黃123121蘭321211取法 解:一些復(fù)雜的分類選取題,要滿足的條件比較多, 無(wú)從入手,經(jīng)常出現(xiàn)重復(fù)遺漏的情況,用表格法,則分類明確,能保證題中須滿足的條件,能達(dá)到好的效果.二十一：住店法策略解決“允許重復(fù)排列問(wèn)題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.例21.七名學(xué)生爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有 .分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作7家“店”，五項(xiàng)冠軍看作5名“客”，每個(gè)“客”有7種住宿法，由乘法原理得7種.排列組合易錯(cuò)題正誤解析1沒(méi)有理解兩個(gè)基本原理出錯(cuò)排列組合問(wèn)題基于兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問(wèn)題的前提.例1 從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺(tái),其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái),則不同的取法有 種.誤解：因?yàn)榭梢匀?臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是3臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)，所以只有2種取法.錯(cuò)因分析：誤解的原因在于沒(méi)有意識(shí)到“選取2臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是3臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)”是完成任務(wù)的兩“類”辦法，每類辦法中都還有不同的取法.正解：由分析，完成第一類辦法還可以分成兩步：第一步在原裝計(jì)算機(jī)中任意選取2臺(tái)，有種方法；第二步是在組裝計(jì)算機(jī)任意選取3臺(tái)，有種方法，據(jù)乘法原理共有種方法.同理，完成第二類辦法中有種方法.據(jù)加法原理完成全部的選取過(guò)程共有種方法.例2 在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有（ ）種.（A）          （B）       （C）         （D）誤解：把四個(gè)冠軍，排在甲、乙、丙三個(gè)位置上，選A.正解：四項(xiàng)比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項(xiàng)冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有種.說(shuō)明：本題還有同學(xué)這樣誤解，甲乙丙奪冠均有四種情況，由乘法原理得.這是由于沒(méi)有考慮到某項(xiàng)冠軍一旦被一人奪得后，其他人就不再有4種奪冠可能.2判斷不出是排列還是組合出錯(cuò)在判斷一個(gè)問(wèn)題是排列還是組合問(wèn)題時(shí)，主要看元素的組成有沒(méi)有順序性，有順序的是排列，無(wú)順序的是組合.例3 有大小形狀相同的3個(gè)紅色小球和5個(gè)白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？誤解：因?yàn)槭?個(gè)小球的全排列，所以共有種方法.錯(cuò)因分析：誤解中沒(méi)有考慮3個(gè)紅色小球是完全相同的，5個(gè)白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法.正解：8個(gè)小球排好后對(duì)應(yīng)著8個(gè)位置，題中的排法相當(dāng)于在8個(gè)位置中選出3個(gè)位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這3個(gè)紅球完全相同，所以沒(méi)有順序，是組合問(wèn)題.這樣共有：排法. 3重復(fù)計(jì)算出錯(cuò)在排列組合中常會(huì)遇到元素分配問(wèn)題、平均分組問(wèn)題等，這些問(wèn)題要注意避免重復(fù)計(jì)數(shù)，產(chǎn)生錯(cuò)誤。例4 5本不同的書(shū)全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（ ）（A）480 種         （B）240種       （C）120種         （D）96種誤解：先從5本書(shū)中取4本分給4個(gè)人，有種方法，剩下的1本書(shū)可以給任意一個(gè)人有4種分法，共有種不同的分法，選A.錯(cuò)因分析：設(shè)5本書(shū)為、，四個(gè)人為甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表2： 乙丙丁甲表1乙丙丁甲表2表1是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得，最后一本書(shū)給甲的情況；表2是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得，最后一本書(shū)給甲的情況.這兩種情況是完全相同的，而在誤解中計(jì)算成了不同的情況。正好重復(fù)了一次.正解：首先把5本書(shū)轉(zhuǎn)化成4本書(shū)，然后分給4個(gè)人.第一步：從5本書(shū)中任意取出2本捆綁成一本書(shū)，有種方法；第二步：再把4本書(shū)分給4個(gè)學(xué)生，有種方法.由乘法原理，共有種方法，故選B.例5 某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）種.（A）5040          （B）1260       （C）210         （D）630誤解：第一個(gè)人先挑選2天，第二個(gè)人再挑選2天，剩下的3天給第三個(gè)人，這三個(gè)人再進(jìn)行全排列.共有：，選B.錯(cuò)因分析：這里是均勻分組問(wèn)題.比如：第一人挑選的是周一、周二，第二人挑選的是周三、周四；也可能是第一個(gè)人挑選的是周三、周四，第二人挑選的是周一、周二，所以在全排列的過(guò)程中就重復(fù)計(jì)算了.正解：種.01，34遺漏計(jì)算出錯(cuò)在排列組合問(wèn)題中還可能由于考慮問(wèn)題不夠全面，因?yàn)檫z漏某些情況，而出錯(cuò)。例6 用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有（ ）（A）36個(gè)        （B）48個(gè)     （C）66個(gè)       （D）72個(gè)誤解：如右圖，最后一位只能是1或3有兩種取法，又因?yàn)榈?位不能是0，在最后一位取定后只有3種取法，剩下3個(gè)數(shù)排中間兩個(gè)位置有種排法，共有個(gè).錯(cuò)因分析：誤解只考慮了四位數(shù)的情況，而比1000大的奇數(shù)還可能是五位數(shù).正解：任一個(gè)五位的奇數(shù)都符合要求，共有個(gè)，再由前面分析四位數(shù)個(gè)數(shù)和五位數(shù)個(gè)數(shù)之和共有72個(gè)，選D.5忽視題設(shè)條件出錯(cuò)在解決排列組合問(wèn)題時(shí)一定要注意題目中的每一句話甚至每一個(gè)字和符號(hào)，不然就可能多解或者漏解.13254例7 如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種.（以數(shù)字作答）誤解：先著色第一區(qū)域，有4種方法，剩下3種顏色涂四個(gè)區(qū)域，即有一種顏色涂相對(duì)的兩塊區(qū)域，有種，由乘法原理共有：種.錯(cuò)因分析：沒(méi)有看清題設(shè)“有4種顏色可供選擇”，不一定需要4種顏色全部使用，用3種也可以完成任務(wù).正解：當(dāng)使用四種顏色時(shí)，由前面的誤解知有48種著色方法；當(dāng)僅使用三種顏色時(shí)：從4種顏色中選取3種有種方法，先著色第一區(qū)域，有3種方法，剩下2種顏色涂四個(gè)區(qū)域，只能是一種顏色涂第2、4區(qū)域，另一種顏色涂第3、5區(qū)域，有2種著色方法，由乘法原理有種.綜上共有：種.例8 已知是關(guān)于的一元二次方程，其中、，求解集不同的一元二次方程的個(gè)數(shù).誤解：從集合中任意取兩個(gè)元素作為、，方程有個(gè)，當(dāng)、取同一個(gè)數(shù)時(shí)方程有1個(gè)，共有個(gè).錯(cuò)因分析：誤解中沒(méi)有注意到題設(shè)中：“求解集不同的”所以在上述解法中要去掉同解情況，由于同解、同解，故要減去2個(gè)。 正解：由分析，共有個(gè)解集不同的一元二次方程.6未考慮特殊情況出錯(cuò)在排列組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會(huì)出錯(cuò).例9 現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（ ）(A)1024種(B)1023種(C)1536種(D)1535種誤：因?yàn)楣灿腥嗣駧?0張，每張人民幣都有取和不取2種情況，減去全不取的1種情況，共有種.錯(cuò)因分析：這里100元面值比較特殊有兩張，在誤解中被計(jì)算成 4 種情況，實(shí)際上只有不取、取一張和取二張3種情況.正解：除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，100元人民幣的取法有3種情況，再減去全不取的1種情況，所以共有種.7題意的理解偏差出錯(cuò) 例10 現(xiàn)有8個(gè)人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（ ）種.（A）   （B）  （C）   （D）誤解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有種排法，5人排好后產(chǎn)生6個(gè)空檔，插入甲、乙、丙三人有種方法，這樣共有種排法，選A.錯(cuò)因分析：誤解中沒(méi)有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義，得到的結(jié)果是“甲、乙、丙三人互不相鄰”的情況.“甲、乙、丙三人不能相鄰”是指甲、乙、丙三人不能同時(shí)相鄰，但允許其中有兩人相鄰.正解：在8個(gè)人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù)，即，故選B.8解題策略的選擇不當(dāng)出錯(cuò)例10 高三年級(jí)的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級(jí)去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（ ）.（A）16種 （B）18種 （C）37種 （D）48種誤解：甲工廠先派一個(gè)班去，有3種選派方法，剩下的2個(gè)班均有4種選擇，這樣共有種方案.錯(cuò)因分析：顯然這里有重復(fù)計(jì)算.如：班先派去了甲工廠，班選擇時(shí)也去了甲工廠，這與班先派去了甲工廠，班選擇時(shí)也去了甲工廠是同一種情況，而在上述解法中當(dāng)作了不一樣的情況，并且這種重復(fù)很難排除.正解：用間接法.先計(jì)算3個(gè)班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無(wú)人去的情況，即：種方案.（二）典型例題講解例1 用0到9這10 個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？ 分析：這一問(wèn)題的限制條件是：沒(méi)有重復(fù)數(shù)字；數(shù)字“0”不能排在千位數(shù)上；個(gè)位數(shù)字只能是0、2、4、6、8、，從限制條件入手，可劃分如下： 如果從個(gè)位數(shù)入手，四位偶數(shù)可分為：個(gè)位數(shù)是“0”的四位偶做，個(gè)位數(shù)是2、4、6、8的四位偶數(shù)（這是因?yàn)榱悴荒芊旁谇粩?shù)上）由此解法一與二 如果從千位數(shù)入手四位偶數(shù)可分為：千位數(shù)是1、3、5、7、9和千位數(shù)是2、4、6、8兩類，由此得解法三 如果四位數(shù)劃分為四位奇數(shù)和四位偶數(shù)兩類，先求出四位個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)，用排除法，得解法四 解法1：當(dāng)個(gè)位數(shù)上排“0”時(shí)，千位，百位，十位上可以從余下的九個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)來(lái)排列，故有個(gè)； 當(dāng)個(gè)位上在“2、4、6、8”中任選一個(gè)來(lái)排，則千位上從余下的八個(gè)非零數(shù)字中任選一個(gè)，百位，十位上再?gòu)挠嘞碌陌藗€(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)來(lái)排，按乘法原理有（個(gè)） 沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有 個(gè) 解法2：當(dāng)個(gè)位數(shù)上排“0”時(shí)，同解一有個(gè)；當(dāng)個(gè)位數(shù)上排2、4、6、8中之一時(shí)，千位，百位，十位上可從余下9個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)的排列數(shù)中減去千位數(shù)是“0”排列數(shù)得：個(gè) 沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有 個(gè) 解法3：千位數(shù)上從1、3、5、7、9中任選一個(gè)，個(gè)位數(shù)上從0、2、4、6、8中任選一個(gè)，百位，十位上從余下的八個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)作排列有 個(gè)干位上從2、4、6、8中任選一個(gè)，個(gè)位數(shù)上從余下的四個(gè)偶數(shù)中任意選一個(gè)（包括0在內(nèi)），百位，十位從余下的八個(gè)數(shù)字中任意選兩個(gè)作排列，有個(gè) 沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有 個(gè) 解法4：將沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)字劃分為兩類：四位奇數(shù)和四位偶數(shù) 沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個(gè)其中四位奇數(shù)有個(gè) 沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有個(gè)說(shuō)明：這是典型的簡(jiǎn)單具有限制條件的排列問(wèn)題，上述四種解法是基本、常見(jiàn)的解法、要認(rèn)真體會(huì)每種解法的實(shí)質(zhì)，掌握其解答方法，以期靈活運(yùn)用典型例題二例2 三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排 （1）如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？ （2）如果女生必須全分開(kāi)，可有多少種不同的排法？ （3）如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？ （4）如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？解：（1）（捆綁法）因?yàn)槿齻€(gè)女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個(gè)整體，這樣同五個(gè)男生合一起共有六個(gè)元素，然成一排有種不同排法對(duì)于其中的每一種排法，三個(gè)女生之間又都有對(duì)種不同的排法，因此共有種不同的排法 （2）（插空法）要保證女生全分開(kāi)，可先把五個(gè)男生排好，每?jī)蓚€(gè)相鄰的男生之間留出一個(gè)空檔這樣共有4個(gè)空檔，加上兩邊兩個(gè)男生外側(cè)的兩個(gè)位置，共有六個(gè)位置，再把三個(gè)女生插入這六個(gè)位置中，只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)女生，就能保證任意兩個(gè)女生都不相鄰由于五個(gè)男生排成一排有種不同排法，對(duì)于其中任意一種排法，從上述六個(gè)位置中選出三個(gè)來(lái)讓三個(gè)女生插入都有種方法，因此共有種不同的排法 （3）解法1：（位置分析法）因?yàn)閮啥瞬荒芘排?，所以兩端只能挑選5個(gè)男生中的2個(gè)，有種不同的排法，對(duì)于其中的任意一種排法，其余六位都有種排法，所以共有種不同的排法 解法2：（間接法）3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排共有種不同的排法，從中扣除女生排在首位的種排法和女生排在末位的種排法，但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時(shí)被扣去一次，在扣除女生排在未位的情況時(shí)又被扣去一次，所以還需加一次回來(lái)，由于兩端都是女生有種不同的排法，所以共有種不同的排法解法3：（元素分析法）從中間6個(gè)位置中挑選出3個(gè)來(lái)讓3個(gè)女生排入，有種不同的排法，對(duì)于其中的任意一種排活，其余5個(gè)位置又都有種不同的排法，所以共有種不同的排法，（4）解法1：因?yàn)橹灰髢啥瞬欢寂排?，所以如果首位排了男生，則未位就不再受條件限制了，這樣可有種不同的排法；如果首位排女生，有種排法，這時(shí)末位就只能排男生，有種排法，首末兩端任意排定一種情況后，其余6位都有種不同的排法，這樣可有種不同排法因此共有種不同的排法解法2：3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排有種排法，從中扣去兩端都是女生排法種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)因此共有種不同的排法 說(shuō)明：解決排列、組合（下面將學(xué)到，由于規(guī)律相同，順便提及，以下遇到也同樣處理）應(yīng)用問(wèn)題最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法若以位置為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位置，有兩個(gè)以上約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)要兼顧其它條件若以元素為主，需先滿足特殊元素要求再處理其它的元素 間接法有的也稱做排除法或排異法，有時(shí)用這種方法解決問(wèn)題來(lái)得簡(jiǎn)單、明快 捆綁法、插入法對(duì)于有的問(wèn)題確是適用的好方法，要認(rèn)真搞清在什么條件下使用典型例題三例3 排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。 （1）任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？ （2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？ 解：（1）先排歌唱節(jié)目有種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)位子，從中選4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有中方法，所以任兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：43200. （2）先排舞蹈節(jié)目有中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個(gè)空位，恰好供5個(gè)歌唱節(jié)目放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：2880種方法。 說(shuō)明：對(duì)于“間隔”排列問(wèn)題，我們往往先排個(gè)數(shù)較少的元素，再讓其余元素插空排列。否則，若先排個(gè)數(shù)較多的元素，再讓其余元素插空排時(shí)，往往個(gè)數(shù)較多的元素有相鄰情況。如本題（2）中，若先排歌唱節(jié)目有，再排舞蹈節(jié)目有，這樣排完之后，其中含有歌唱節(jié)目相鄰的情況，不符合間隔排列的要求。典型例題四例4 某一天的課程表要排入政治、語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排課程表的方法分析與解法1：6六門課總的排法是，其中不符合要求的可分為：體育排在第一書(shū)有種排法，如圖中；數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)有種排法，如圖中；但這兩種排法，都包括體育排在第一書(shū)數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，如圖中，這種情況有種排法，因此符合條件的排法應(yīng)是： （種） 分析與解法2：根據(jù)要求，課程表安排可分為4種情況： （1）體育、數(shù)學(xué)既不排在第一節(jié)也不排在最后一節(jié)，這種排法有種； （2）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)但體育不排在最后一節(jié)，有排法種； （3）體育排在最后一節(jié)但數(shù)學(xué)不排在第一節(jié)，有排法種； （4）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，體育排在最后一節(jié)，有排法 這四類排法并列，不重復(fù)也不遺漏，故總的排法有： （種） 分析與解法3：根據(jù)要求，課表安排還可分下述4種情況： （1）體育，數(shù)學(xué)既不在最后也不在開(kāi)頭一節(jié)，有種排法； （2）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，體育不排在最后一節(jié)，有4種排法； （3）體育在最后一書(shū)，數(shù)學(xué)木在第一節(jié)有4種排法； （4）數(shù)學(xué)在第一節(jié)，體育在最后一節(jié)有1種排法 上述 21種排法確定以后，僅剩余下四門課程排法是種，故總排法數(shù)為（種） 下面再提出一個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)予解答 問(wèn)題：有6個(gè)人排隊(duì)，甲不在排頭，乙不在排尾，問(wèn)并肩多少種不同的排法 請(qǐng)讀者完成此題 說(shuō)明：解答排列、組合問(wèn)題要注意一題多解的練習(xí)，不僅能提高解題能力，而且是檢驗(yàn)所解答問(wèn)題正確與否的行之有效的方法典型例題五例5現(xiàn)有輛公交車、位司機(jī)和位售票員，每輛車上需配位司機(jī)和位售票員問(wèn)車輛、司機(jī)、售票員搭配方案一共有多少種？分析：可以把輛車看成排了順序的三個(gè)空：，然后把名司機(jī)和名售票員分別填入因此可認(rèn)為事件分兩步完成，每一步都是一個(gè)排列問(wèn)題解：分兩步完成第一步，把名司機(jī)安排到輛車中，有種安排方法；第二步把名售票員安排到輛車中，有種安排方法故搭配方案共有種說(shuō)明：許多復(fù)雜的排列問(wèn)題，不可能一步就能完成而應(yīng)分解開(kāi)來(lái)考慮：即經(jīng)適當(dāng)?shù)胤诸惓煞只蚍植街螅瑧?yīng)用分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理原理去解決在分類或分步時(shí)，要盡量把整個(gè)事件的安排過(guò)程考慮清楚，防止分類或分步的混亂典型例題六例6下是表是高考第一批錄取的一份志愿表如果有所重點(diǎn)院校，每所院校有個(gè)專業(yè)是你較為滿意的選擇若表格填滿且規(guī)定學(xué)校沒(méi)有重復(fù)，同一學(xué)校的專業(yè)也沒(méi)有重復(fù)的話，你將有多少種不同的填表方法？分析：填寫(xiě)學(xué)校時(shí)是有順序的，因?yàn)檫@涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的問(wèn)題；同一學(xué)校的兩個(gè)專業(yè)也有順序，要區(qū)分出第一專業(yè)和第二專業(yè)因此這是一個(gè)排列問(wèn)題解：填表過(guò)程可分兩步第一步，確定填報(bào)學(xué)校及其順序，則在所學(xué)校中選出所并加排列，共有種不同的排法；第二步，從每所院校的個(gè)專業(yè)中選出個(gè)專業(yè)并確定其順序，其中又包含三小步，因此總的排列數(shù)有種綜合以上兩步，由分步計(jì)數(shù)原理得不同的填表方法有：種說(shuō)明：要完成的事件與元素的排列順序是否有關(guān)，有時(shí)題中并未直接點(diǎn)明，需要根據(jù)實(shí)際情景自己判斷，特別是學(xué)習(xí)了后面的“組合”之后這一點(diǎn)尤其重要“選而且排”（元素之間有順序要求）的是排列，“選而不排”（元素之間無(wú)順序要求）的是組合另外，較復(fù)雜的事件應(yīng)分解開(kāi)考慮典型例題七例5名同學(xué)排隊(duì)照相(1)若分成兩排照，前排人，后排人，有多少種不同的排法？(2)若排成兩排照，前排人，后排人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？(4)若排成一排照，人中有名男生，名女生，女生不能相鄰，有多少種不面的排法？分析：(1)可分兩步完成：第一步，從人中選出人排在前排，有種排法；第二步，剩下的人排在后排，有種排法，故一共有種排法事實(shí)上排兩排與排成一排一樣，只不過(guò)把第個(gè)位子看成第二排而已，排法總數(shù)都是，相當(dāng)于個(gè)人的全排列(2)優(yōu)先安排甲、乙(3)用“捆綁法”(4)用“插空法”解：(1) 種(2)第一步安排甲，有種排法；第二步安排乙，有種排法；第三步余下的人排在剩下的個(gè)位置上，有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理得，符合要求的排法共有種(3)第一步，將甲、乙、丙視為一個(gè)元素，有其余個(gè)元素排成一排，即看成個(gè)元素的全排列問(wèn)題，有種排法；第二步，甲、乙、丙三人內(nèi)部全排列，有種排法由分步計(jì)數(shù)原理得，共有種排法(4)第一步，名男生全排列，有種排法；第二步，女生插空，即將名女生插入名男生之間的個(gè)空位，這樣可保證女生不相鄰，易知有種插入方法由分步計(jì)數(shù)原理得，符合條件的排法共有：種說(shuō)明：(1)相鄰問(wèn)題用“捆綁法”，即把若干個(gè)相鄰的特殊元素“捆綁”為一個(gè)“大元素”，與其他普通元素全排列；最后再“松綁”，將這些特殊元素進(jìn)行全排列(2)不相鄰問(wèn)題用“插空法”，即先安排好沒(méi)有限制條件的元素，然后再將有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間典型例題八例8從五個(gè)數(shù)字中每次取出三個(gè)不同的數(shù)字組成三位數(shù)，求所有三位數(shù)的和分析：可以從每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)來(lái)分析，例如“”，當(dāng)它位于個(gè)位時(shí)，即形如的數(shù)共有個(gè)（從四個(gè)數(shù)中選兩個(gè)填入前面的兩個(gè)空），當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“”所產(chǎn)生的和是當(dāng)位于十位時(shí)，即形如的數(shù)也有，那么當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“”產(chǎn)生的和應(yīng)是當(dāng)位于面位時(shí)，可同理分析然后再依次分析的情況解：形如的數(shù)共有個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“”產(chǎn)生的和是；形如的數(shù)也有個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“”產(chǎn)生的和是；形如的數(shù)也有個(gè)，當(dāng)這些數(shù)相加時(shí)，由“”產(chǎn)生的和應(yīng)是這樣在所有三位數(shù)的和中，由“”產(chǎn)生的和是同理由產(chǎn)生的和分別是，因此所有三位數(shù)的和是說(shuō)明：類似于這種求“數(shù)字之和”的問(wèn)題都可以用分析數(shù)字出現(xiàn)次數(shù)的辦法來(lái)解決如“由四個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若所有這些四位數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字之和為，求數(shù)”本題的特殊性在于，由于是全排列，每個(gè)數(shù)字都要選用，故每個(gè)數(shù)字均出現(xiàn)了次，故有，得典型例題九例9計(jì)算下列各題：(1) ；(2) ；(3) ；(4) (5) 解：(1) ；(2) ;(3)原式；(4)原式；(5)，說(shuō)明：準(zhǔn)確掌握好排列公式是順利進(jìn)行計(jì)算的關(guān)鍵本題計(jì)算中靈活地用到下列各式：；使問(wèn)題解得簡(jiǎn)單、快捷典型例題十例10六人排一列縱隊(duì)，限定要排在的前面（與可以相鄰，也可以不相鄰），求共有幾種排法對(duì)這個(gè)題目，、四位同學(xué)各自給出了一種算式：的算式是；的算式是；的算式是；的算式是上面四個(gè)算式是否正確，正確的加以解釋，不正確的說(shuō)明理由解：中很顯然，“在前的六人縱隊(duì)”的排隊(duì)數(shù)目與“在前的六人縱隊(duì)”排隊(duì)數(shù)目相等，而“六人縱隊(duì)”的排法數(shù)目應(yīng)是這二者數(shù)目之和這表明：的算式正確中把六人排隊(duì)這件事劃分為占位，占位，其他四人占位這樣三個(gè)階段，然后用乘法求出總數(shù)，注意到占位的狀況決定了占位的方法數(shù)，第一階段，當(dāng)占據(jù)第一個(gè)位置時(shí)，占位方法數(shù)是；當(dāng)占據(jù)第2個(gè)位置時(shí)，占位的方法數(shù)是；當(dāng)占據(jù)第5個(gè)位置時(shí)，占位的方法數(shù)是，當(dāng)，占位后，再排其他四人，他們有種排法，可見(jiàn)的算式是正確的中可理解為從6個(gè)位置中選4個(gè)位置讓占據(jù)，這時(shí)，剩下的兩個(gè)位置依前后順序應(yīng)是的因此的算式也正確中把6個(gè)位置先圈定兩個(gè)位置的方法數(shù)，這兩個(gè)位置讓占據(jù)，顯然，占據(jù)這兩個(gè)圈定的位置的方法只有一種（要在的前面），這時(shí)，再排其余四人，又有種排法，可見(jiàn)的算式是對(duì)的說(shuō)明：下一節(jié)組合學(xué)完后，可回過(guò)頭來(lái)學(xué)習(xí)的解法典型例題十一例11八個(gè)人分兩排坐，每排四人，限定甲必須坐在前排，乙、丙必須坐在同一排，共有多少種安排辦法？解法1：可分為“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”兩類情況應(yīng)當(dāng)使用加法原理，在每類情況下，劃分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三個(gè)步驟，又要用到分步計(jì)數(shù)原理，這樣可有如下算法：(種)解法2：采取“總方法數(shù)減去不命題意的所有方法數(shù)”的算法把“甲坐在第一排的八人坐法數(shù)”看成“總方法數(shù)”，這個(gè)數(shù)目是在這種前提下，不合題意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐兩排的八人坐法”這個(gè)數(shù)目是其中第一個(gè)因數(shù)表示甲坐在第一排的方法數(shù)，表示從乙、丙中任選出一人的辦法數(shù)，表示把選出的這個(gè)人安排在第一排的方法數(shù)，下一個(gè)則表示乙、丙中沿未安排的那個(gè)人坐在第二排的方法數(shù)，就是其他五人的坐法數(shù)，于是總的方法數(shù)為(種)說(shuō)明：解法2可在學(xué)完組合后回過(guò)頭來(lái)學(xué)習(xí)典型例題十二例12 計(jì)劃在某畫(huà)廊展出10幅不同的畫(huà)，其中1幅水彩畫(huà)、4幅油畫(huà)、5幅國(guó)畫(huà)，排成一行陳列，要求同一品種的畫(huà)必須連在一起，并且不彩畫(huà)不放在兩端，那么不同陳列方式有（）ABCD解：將同一品種的畫(huà)“捆”在一起，注意到水彩畫(huà)不放在兩端，共有種排列但4幅油畫(huà)、5幅國(guó)畫(huà)本身還有排列順序要求所以共有種陳列方式應(yīng)選D說(shuō)明：關(guān)于“若干個(gè)元素相鄰”的排列問(wèn)題，一般使用“捆綁”法，也就是將相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”在一起，看作一個(gè)大元素，與其他的元素進(jìn)行全排列；然后，再“松綁”，將被“捆綁”的若干元素，內(nèi)部進(jìn)行全排列本例題就是一個(gè)典型的用“捆綁”法來(lái)解答的問(wèn)題典型例題十三例13 由數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)的個(gè)數(shù)共有（）A210B300C464D600解法1：（直接法）：分別用作十萬(wàn)位的排列數(shù)，共有種，所以其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有個(gè)解法2：（間接法）：取個(gè)數(shù)字排列有，而作為十萬(wàn)位的排列有，所以其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有(個(gè))應(yīng)選B說(shuō)明：(1)直接法、間接法是解決有關(guān)排列應(yīng)用題的兩種基本方法，何時(shí)使用直接法或間接法要視問(wèn)題而定，有的問(wèn)題如果使用直接法解決比較困難或者比較麻煩，這時(shí)應(yīng)考慮能否用間接法來(lái)解(2)“個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字”與“個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字”具有對(duì)稱性，這兩類的六位數(shù)個(gè)數(shù)一樣多，即各占全部六位數(shù)的一半，同類問(wèn)題還有6個(gè)人排隊(duì)照像時(shí)，甲必須站在乙的左側(cè)，共有多少種排法典型例題十四例14 用，這五個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）A24個(gè)B30個(gè)C40個(gè)D60個(gè)分析：本題是帶有附加條件的排列問(wèn)題，可以有多種思考方法，可分類，可分步，可利用概率，也可利用本題所提供的選擇項(xiàng)分析判斷解法1：分類計(jì)算將符合條件的偶數(shù)分為兩類一類是2作個(gè)位數(shù)，共有個(gè)，另一類是4作個(gè)位數(shù)，也有個(gè)因此符合條件的偶數(shù)共有個(gè)解法2：分步計(jì)算先排個(gè)位數(shù)字，有種排法，再排十位和百位數(shù)字，有種排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，三位偶數(shù)應(yīng)有個(gè)解法3：按概率算用這個(gè)數(shù)字可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個(gè)，其中偶點(diǎn)其中的因此三位偶數(shù)共有個(gè)解法4：利用選擇項(xiàng)判斷用這個(gè)數(shù)字可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個(gè)其中偶數(shù)少于奇數(shù)，因此偶數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)少于個(gè)，四個(gè)選擇項(xiàng)所提供的答案中，只有符合條件應(yīng)選典型例題十五例15(1)計(jì)算(2)求()的個(gè)位數(shù)字分析：本題如果直接用排列數(shù)公式計(jì)算，在運(yùn)算上比較困難，現(xiàn)在我們可以從和式中項(xiàng)的特點(diǎn)以及排列數(shù)公式的特點(diǎn)兩方面考慮在(1)中，項(xiàng)可抽象為，(2)中，項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，乘積中出現(xiàn)5和2，積的個(gè)位數(shù)為0，在加法運(yùn)算中可不考慮解：(1)由原式(2)當(dāng)時(shí)，的個(gè)位數(shù)為0，()的個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同而，的個(gè)位數(shù)字為3說(shuō)明：對(duì)排列數(shù)公式特點(diǎn)的分析是我們解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，比如：求證：，我們首先可抓等式右邊的，左邊右邊典型例題十六例16用共六個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，(1)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的位偶數(shù)？(2)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且被整除的三位數(shù)？分析：位偶數(shù)要求個(gè)位是偶數(shù)且首位數(shù)字不能是，由于個(gè)位用或者不用數(shù)字，對(duì)確定首位數(shù)字有影響，所以需要就個(gè)位數(shù)字用或者用進(jìn)行分類一個(gè)自然數(shù)能被整除的條件是所有數(shù)字之和是的倍數(shù)，本題可以先確定用哪三個(gè)數(shù)字，然后進(jìn)行排列，但要注意就用與不用數(shù)字進(jìn)行分類解：(1)就個(gè)位用還是用分成兩類，個(gè)位用，其它兩位從中任取兩數(shù)排列，共有(個(gè))，個(gè)位用或，再確定首位，最后確定十位，共有(個(gè))，所有位偶數(shù)的總數(shù)為：(個(gè))(2)從中取出和為的倍數(shù)的三個(gè)數(shù)，分別有下列取法：、，前四組中有，后四組中沒(méi)有，用它們排成三位數(shù)，如果用前組，共有(個(gè))，如果用后四組，共有(個(gè))，所有被整除的三位數(shù)的總數(shù)為(個(gè))典型例題十七例17一條長(zhǎng)椅上有個(gè)座位，人坐，要求個(gè)空位中，有個(gè)空位相鄰，另一個(gè)空位與個(gè)相鄰空位不相鄰，共有幾種坐法？分析：對(duì)于空位，我們可以當(dāng)成特殊元素對(duì)待，設(shè)空座梯形依次編號(hào)為先選定兩個(gè)空位，可以在號(hào)位，也可以在號(hào)位共有六種可能，再安排另一空位，此時(shí)需看到，如果空位在號(hào)，則另一空位可以在號(hào)位，有種可能，相鄰空位在號(hào)位，亦如此如果相鄰空位在號(hào)位，另一空位可以在號(hào)位，只有種可能，相鄰空位在號(hào)，號(hào)，號(hào)亦如此，所以必須就兩相鄰空位的位置進(jìn)行分類本題的另一考慮是，對(duì)于兩相鄰空位可以用合并法看成一個(gè)元素與另一空位插入已坐人的個(gè)座位之間，用插空法處理它們的不相鄰解答一：就兩相鄰空位的位置分類：若兩相鄰空位在或，共有(種)坐法若兩相鄰空位在，或，共有(種)不同坐法，所以所有坐法總數(shù)為(種)解答二：先排好個(gè)人，然后把兩空位與另一空位插入坐好的人之間，共有(種)不同坐法解答三：本題還可采用間接法，逆向考慮在所有坐法中去掉個(gè)空位全不相鄰或全部相鄰的情況，個(gè)人任意坐到個(gè)座位上，共有種坐法，三個(gè)空位全相鄰可以用合并法，直接將三個(gè)空位看成一個(gè)元素與其它座位一起排列，共有種不同方法三個(gè)空位全不相鄰仍用插空法，但三個(gè)空位不須排列，直接插入個(gè)人的個(gè)間隔中，有種不同方法，所以，所有滿足條件的不同坐法種數(shù)為(種)排列與組合習(xí)題16個(gè)人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，則不同的乘車方法數(shù)為()A40 B50 C60 D70 解析先分組再排列，一組2人一組4人有C15種不同的分法；兩組各3人共有10種不同的分法，所以乘車方法數(shù)為25×250，故選B.2有6個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐法有()A36種 B48種 C72種 D96種 解析恰有兩個(gè)空座位相鄰，相當(dāng)于兩個(gè)空位與第三個(gè)空位不相鄰，先排三個(gè)人，然后插空，從而共AA72種排法，故選C.3只用1,2,3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有()A6個(gè) B9個(gè) C18個(gè) D36個(gè) 解析注意題中條件的要求，一是三個(gè)數(shù)字必須全部使用，二是相同的數(shù)字不能相鄰，選四個(gè)數(shù)字共有C3(種)選法，即1231,1232,1233，而每種選擇有A×C6(種)排法，所以共有3×618(種)情況，即這樣的四位數(shù)有18個(gè)4男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有()A2人或3人 B3人或4人 C3人 D4人 解析設(shè)男生有n人，則女生有(8n)人，由題意可得CC30，解得n5或n6，代入驗(yàn)證，可知女生為2人或3人5某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有()A45種 B36種 C28種 D25種 解析因?yàn)?0÷8的余數(shù)為2，故可以肯定一步一個(gè)臺(tái)階的有6步，一步兩個(gè)臺(tái)階的有2步，那么共有C28種走法6某公司招聘來(lái)8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個(gè)部門，其中兩名英語(yǔ)翻譯人員不能分在同一個(gè)部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個(gè)部門，則不同的分配方案共有()A24種 B36種 C38種 D108種 解析本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，據(jù)題意可先將兩名翻譯人員分到兩個(gè)部門，共有2種方法，第二步將3名電腦編程人員分成兩組，一組1人另一組2人，共有C種分法，然后再分到兩部門去共有CA種方法，第三步只需將其他3人分成兩組，一組1人另一組2人即可，由于是每個(gè)部門各4人，故分組后兩人所去的部門就已確定，故第三步共有C種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有2CAC36(種)7已知集合A5，B1,2，C1,3,4，從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A33 B34 C35 D36 解析所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中不含1的有C·A12個(gè)；所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有1個(gè)1的有C·AA18個(gè)；所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有2個(gè)1的有C3個(gè)故共有符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1218333個(gè)，故選A.8由1、2、3、4、5、6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是()A72 B96 C108 D144 解析分兩類：若1與3相鄰，有A·CAA72(個(gè))，若1與3不相鄰有A·A36(個(gè))故共有7236108個(gè)9如果在一周內(nèi)(周一至周日)安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其