數(shù)學(xué)教學(xué)課件,【課題】定積分的應(yīng)用的單元復(fù)習(xí),(1) 圖中x為積分變量的陰影部分的面積微元為,錯(cuò)處: 窄條的近似高,故,錯(cuò)處: 中的面積微元 和 缺少對(duì)稱部分的面積,故,【糾錯(cuò)導(dǎo)入復(fù)習(xí)】,指出下列作業(yè)中答案的錯(cuò)誤之處,說明為什么,并糾正錯(cuò)誤.,、糾正作業(yè)錯(cuò)誤,(3) 圖中陰影部分繞Y軸旋轉(zhuǎn)的體面積為,錯(cuò)處: 的積分限,故,錯(cuò)處: 非平面曲線求弧長(zhǎng)公式,故,旋轉(zhuǎn)體體積,、復(fù)習(xí)要求,以上作業(yè)的錯(cuò)誤,分析其產(chǎn)生的原因,有的是計(jì)算公式運(yùn)用不當(dāng)造成的,但更主要的是未能在理解元素法的基礎(chǔ)上就予以運(yùn)用而產(chǎn)生的.本課將通過解答學(xué)習(xí)疑難、系統(tǒng)回顧知識(shí)、鞏固重要方法、提高運(yùn)用能力等方面的教學(xué)，發(fā)揮復(fù)習(xí)對(duì)知識(shí)進(jìn)行深化、精煉和概括的作用,幫助同學(xué)們明確單元中主要知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,能營(yíng)造出知識(shí)結(jié)構(gòu)；加深對(duì)定積分元素法的理解,明確什么條件下的量可以從具體問題表達(dá)為定積分, 并掌握把所求量表示為定積分的方法和步驟;學(xué)會(huì)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來討論和解決定積分元素法的運(yùn)用問題,能綜合運(yùn)用相應(yīng)的知識(shí)將實(shí)際問題化為數(shù)學(xué)問題,通過元素法寫出積分形式后進(jìn)行計(jì)算.,為此,提出幾點(diǎn)要求:,1、對(duì)本章的復(fù)習(xí)不能僅停畄在對(duì)己學(xué)的知識(shí)溫習(xí)記憶一遍的要求上,而要去努力思考新知識(shí)是怎樣產(chǎn)生的?是如何展開的?其實(shí)質(zhì)是什么?怎樣應(yīng)用它?等.,2、要通過討論歸納出定積分的應(yīng)用的知識(shí)結(jié)構(gòu), 把知識(shí)有機(jī)地串聯(lián)起來.在理解教材的基礎(chǔ)上，溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，找出重點(diǎn)、關(guān)鍵,然后提煉概括,組成一個(gè)知識(shí)系統(tǒng),從而形成或發(fā)展擴(kuò)大認(rèn)知結(jié)構(gòu).,3、在復(fù)習(xí)過程中要增強(qiáng)元素法運(yùn)用規(guī)律的總結(jié)和提高迅速計(jì)算的能力.,【營(yíng)造單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)】,前面幾節(jié)課我們已經(jīng)用定積分的元素法解決了許多問題,現(xiàn)在要問:,怎樣理解定積分的元素法？,幾何量、物理量定積分的表示與元素法之間的知識(shí)聯(lián)系是怎樣的？,本單元知識(shí)結(jié)構(gòu)圖如何構(gòu)建?,如何正確地用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量、物理量呢?,、元素法與定積分幾何意義之間知識(shí)聯(lián)系的回顧,分析與說明,、定積分元素法的理解,對(duì)定積分元素法的理解:,(1)、元素法中的量I是可化為定積分的量,并且是在區(qū)間a ,b上變化的量.,注:在I微小的局部上,微區(qū)間x ,x+dx中的dx其長(zhǎng)度很短，幾乎為零.,(3)、 運(yùn)用元素法解決實(shí)際問題(如求量I)的關(guān)鍵是在I微小的局部上進(jìn)行數(shù)量分析,尋找正確的元素表達(dá)式.,什么是定積分的元素法?,(2)、上述所求量I,若在a ,b內(nèi)的任一小區(qū)間 上,用 “以直代曲、以不變代變”找到這個(gè)量I的微分 (即I的元素表達(dá)式),則求I的問題可轉(zhuǎn)化為計(jì)算定積分,定積分元素法的元素,是在微區(qū)間 上用“以直代曲、以不變代變”替換后得到的,這里的 與 相差一個(gè)比 高階的無窮小.,積分號(hào) 實(shí)際是元素狀態(tài)下的加法器, 表示從a處的dI加到b處的dI.,設(shè)一積分變量x在區(qū)間a ,b 上變化，把區(qū)間a ,b分成n個(gè)小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間 ,求出這小區(qū)間上所求量I 能近似地表示為a ,b上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在x處的值f (x) 與 d x 的乘積，就把 f (x) d x 稱為量的元素,記作d I. 即d If (x )d x . 所求量的元素 f (x) d x 在a ,b 上作定積分 得 這種方法通常叫積分元素法.,、具體問題導(dǎo)致定積分的條件,具體問題的量I能用定積分表示,必須具備兩個(gè)特征:,I是一個(gè)與其變量x的變化區(qū)間x ,x+dx有關(guān)的量.,I對(duì)于區(qū)間a ,b具有可加性,即,由具體問題導(dǎo)致定積分的條件可知,除了曲邊梯形的面積以外，像一些比較復(fù)雜的平面圖形的面積、特殊的體積、平面弧長(zhǎng)等幾何量和變力所做功、液體側(cè)壓力等物理量也具備這種特性，所以它們也都能用定積分來表示.,、可歸結(jié)為定積分計(jì)算的量I表示為定積分的方法和步驟,(即用元素法解題的程序),于是 從而有,具體步驟是：,（1）建立坐標(biāo)系；,（2）建立元素,（3）確定上、下限；,（4）計(jì)算定積分。,;,在a ,b的任一子區(qū)間 上 寫出,、幾何量、物理量的定積分表示與元素法之間的知識(shí)聯(lián)系,用具體問題導(dǎo)致定積分的條件判定,用元素法解題的程序,6、單元知識(shí)結(jié)構(gòu),分析與 說明,用具體問 題導(dǎo)致定 積分的條 件判定,表示為定 積分的方 法和步驟,?,?,? 課后自己完成,（1）平面圖形面積的計(jì)算方法,(ii)極坐標(biāo)下平面圖形的面積,（2）平面曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算公式,極坐標(biāo)曲線,參數(shù)式曲線,直角坐標(biāo)曲線,【元素法的幾何應(yīng)用】,、基本內(nèi)容的回顧,(3)立體體積的計(jì)算方法,(i)平行截面面積為已知的立體體積,(ii) 旋轉(zhuǎn)體體積,、計(jì)算方法系統(tǒng)表,討論并構(gòu)建幾何應(yīng)用 計(jì)算方法的系統(tǒng)表,為了計(jì)算方便 , 如何選擇積分變量和積分區(qū)間 ?,兩種解法進(jìn)行對(duì)比,對(duì)積分變量和積分區(qū)間的選取 有何新發(fā)現(xiàn) ?,為了定出圖形所在范圍 ，應(yīng)先求兩拋物線的交點(diǎn) .,分析與提示 :,例 1 : 計(jì)算兩拋物線 所成的平面圖形的面積.,、幾何應(yīng)用舉例,例 1 的解答,解法1 由 ,解之得兩曲線的交點(diǎn)為,所以 S =,解法2 取x為積分變量,點(diǎn)評(píng): 取為積分變量,積分要分成兩項(xiàng)之和,計(jì)算較繁. 積分變量選取得當(dāng),會(huì)使計(jì)算簡(jiǎn)化.,取y為積分變量,則面積微元為,則,在 時(shí),【分析與提示】 本題是在極坐標(biāo)系下給出的曲線,能用極坐標(biāo)系下的求面積公式進(jìn)行計(jì)算. 對(duì)極坐標(biāo)系下給出的曲線,也可把它化為在直角坐標(biāo)系下的曲線進(jìn)行計(jì)算.,解法1 對(duì)極坐標(biāo)系下給出的曲線直接用求面積公式進(jìn)行計(jì)算.由 解之得r = 2, = 則,例 2:計(jì)算由曲線 和直線 所圍成的平面圖形的面積 .,例 2 解法2 :,若 取y為積分變量,則,【點(diǎn)評(píng)】解法2計(jì)算簡(jiǎn)便,若只會(huì)根據(jù)題中所給出極坐標(biāo)系下的曲線方方程和極坐標(biāo)系下求面積的公式進(jìn)行解答,就會(huì)棄簡(jiǎn)就難.,選取能使計(jì)算較簡(jiǎn)便的坐標(biāo)系,對(duì)曲線方程進(jìn)行互換, 能使定積分計(jì)算簡(jiǎn)化.,在直角坐標(biāo)系下,這兩曲線就是拋物線 x = 和直線 x = 1 ,其交點(diǎn)為 , .,先化極坐標(biāo)系下的曲線方程為直角坐標(biāo)系下的曲線方程,再進(jìn)行計(jì)算.,【元素法的物理應(yīng)用】,1、引力問題,例 3: 證明: 把質(zhì)量為m的物體從地球表面升高到h處所做的功是,分析 合理推算的方法也是一種證法.由題意可知本命題屬物理的引力問題.從物理學(xué)知道, 質(zhì)量分別為M、m ,相距為r的兩質(zhì)點(diǎn)間的引力的大小為 ,其中 k為引力系數(shù),引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向.,證: 因?yàn)橘|(zhì)量為m的物體與地球中心相距x時(shí),引力為 .,由于引力是變力,而在微區(qū)間 上, 微引力近似為 .,故功元素為 , (功 = 力 距離),距離x的范圍為 .,則所做的功為 .,分析與提示:由物理學(xué)知道,深入液體的物體的表面所受的壓力是隨液體深度不同而變化的.在液體深h處的壓強(qiáng)為 ( 為液體的密度).如一平板面積為A,水平地置入液體中深h處,則平板一側(cè)所受壓力為 .如果將平板垂直地插入液體中,由于深度不同處的壓強(qiáng)不相同,平板一側(cè)所受的壓力就不可用上述方法計(jì)算.但由于整個(gè)側(cè)立的平板所受的壓力對(duì)深度具有可加性,因此可用定積分計(jì)算.,2、液體靜壓力的問題,例 :三角形薄板鉛直地沉沒在水中,其底與水面平齊,且薄板的底長(zhǎng)為a,高為h. (1) 計(jì)算薄板的側(cè)壓力. (2) 若倒轉(zhuǎn)薄板頂點(diǎn)于水面,試問水對(duì)薄板的側(cè)壓力增大幾倍? (3) 若薄板沉入水中一部分,頂點(diǎn)朝下,底平行于水面,且在水面之下的距離為 ,試求此時(shí)的側(cè)壓力.,例 4 的解答,解: (1)建坐標(biāo)系如圖(1)所示(設(shè):沿液體表面作y軸,x軸鉛直向下的坐標(biāo)系) 取液深x為積分變量.,于是整個(gè)薄板的側(cè)壓力為 P =,(2)倒轉(zhuǎn)薄板取坐標(biāo)系如圖(2)所示.,由于,所以,從而說明水對(duì)薄板的側(cè)壓力比(1)中的情形增大了一倍 .,(3)薄板沉入水中時(shí),取坐標(biāo)系如圖(3)所示.,于是 P =,由于,X的變化區(qū)間為 0,h,在0 ,h上任取一小區(qū)間 則在其上有 (由三角形的相似性),微面積為,. 微壓力 (壓力=壓強(qiáng) 面積)為,從本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)可知, 在定積分的應(yīng)用中,經(jīng)常采用的是元素法,并且定積分的應(yīng)用中主要是元素法在幾何、物理方面的應(yīng)用.因此,要求正確理解定積分的元素法, 要求熟練掌握定積分元素法的幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用.從具體問題導(dǎo)致定積分的條件可知,量I能用定積分表示,必須具備兩個(gè)特征:I是一個(gè)與其變量x變化區(qū)間 有關(guān)的量; I對(duì)于區(qū)間a ,b具有可加性,即 .定積分的元素法,其實(shí)質(zhì)是在微區(qū)間 上“以直代曲、以不變代變”,同時(shí)也揭示了定積分就是微分無限求和的這一本質(zhì).,例3、例的點(diǎn)評(píng):,【歸納總結(jié)】,定積分在物理中的應(yīng)用還有: 變力沿直線所作的功、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、質(zhì)量等問題.解決這類問題的關(guān)鍵是要把實(shí)際問題化為數(shù)學(xué)問題,即由相應(yīng)的物理原理通過元素法寫出積分形式.在元素法的具體運(yùn)用中:首先要求實(shí)際問題具有導(dǎo)致定積分的條件;其次要結(jié)合具體實(shí)際,選取適當(dāng)?shù)姆e分變量和建立能使計(jì)算較簡(jiǎn)便的坐標(biāo)系; 再就是要尋找正確的元素表達(dá)式,利用其物理意義寫出所求量的元素 ,以及變量的變化區(qū)間,最后對(duì)元素積分.,定積分的應(yīng)用中:要結(jié)合具體實(shí)際,選取適當(dāng)?shù)姆e分變量和建立能使計(jì)算較簡(jiǎn)便的坐標(biāo)系,寫出所求量的元素 ,以及變量的變化區(qū)間,再計(jì)算元素的定積分.,再見,