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第7章 彎曲應(yīng)力 7.1 引言 前一章討論了梁在彎曲時(shí)的內(nèi)力——剪力和彎矩。但是，要解決梁的彎曲強(qiáng)度問(wèn)題，只了解梁的內(nèi)力是不夠的，還必須研究梁的彎曲應(yīng)力，應(yīng)該知道梁在彎曲時(shí)，橫截面上有什么應(yīng)力，如何計(jì)算各點(diǎn)的應(yīng)力。 在一般情況下，橫截面上有兩種內(nèi)力——剪力和彎矩。由于剪力是橫截面上切向內(nèi)力系的合力，所以它必然與切應(yīng)力有關(guān)；而彎矩是橫截面上法向內(nèi)力系的合力偶矩，所以它必然與正應(yīng)力有關(guān)。由此可見(jiàn)，梁橫截面上有剪力時(shí)，就必然有切應(yīng)力；有彎矩M時(shí)，就必然有正應(yīng)力。為了解決梁的強(qiáng)度問(wèn)題，本章將分別研究正應(yīng)力與切應(yīng)力的計(jì)算。 7.2 彎曲正應(yīng)力 7.2.1 純彎曲梁的正應(yīng)力 由前節(jié)知道，正應(yīng)力只與橫截面上的彎矩有關(guān)，而與剪力無(wú)關(guān)。因此，以橫截面上只有彎矩，而無(wú)剪力作用的彎曲情況來(lái)討論彎曲正應(yīng)力問(wèn)題。 在梁的各橫截面上只有彎矩，而剪力為零的彎曲，稱為純彎曲。如果在梁的各橫截面上，同時(shí)存在著剪力和彎矩兩種內(nèi)力，這種彎曲稱為橫力彎曲或剪切彎曲。例如在圖7-1所示的簡(jiǎn)支梁中，BC段為純彎曲，AB段和CD段為橫力彎曲。 分析純彎曲梁橫截面上正應(yīng)力的方法、步驟與分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上切應(yīng)力一樣，需要綜合考慮問(wèn)題的變形方面、物理方面和靜力學(xué)方面。 圖7-1 變形方面 為了研究與橫截面上正應(yīng)力相應(yīng)的縱向線應(yīng)變，首先觀察梁在純彎曲時(shí)的變形現(xiàn)象。為此，取一根具有縱向?qū)ΨQ面的等直梁，例如圖7-2(a)所示的矩形截面梁，并在梁的側(cè)面上畫(huà)出垂直于軸線的橫向線m-m、n-n和平行于軸線的縱向線d-d、b-b。然后在梁的兩端加一對(duì)大小相等、方向相反的力偶，使梁產(chǎn)生純彎曲。此時(shí)可以觀察到如下的變形現(xiàn)象。 縱向線彎曲后變成了弧線、, 靠頂面的aa線縮短了，靠底面的bb線伸長(zhǎng)了。橫向線m-m、n-n在梁變形后仍為直線，但相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)了一定的角度，且仍與彎曲了的縱向線保持正交，如圖7-2(b)所示。 梁內(nèi)部的變形情況無(wú)法直接觀察，但根據(jù)梁表面的變形現(xiàn)象對(duì)梁內(nèi)部的變形進(jìn)行如下假設(shè)： (1) 平面假設(shè) 梁所有的橫截面變形后仍為平面．且仍垂直于變形后的梁的軸線。 (2) 單向受力假設(shè) 認(rèn)為梁由許許多多根縱向纖維組成，各纖維之間沒(méi)有相互擠壓，每根纖維均處于拉伸或壓縮的單向受力狀態(tài)。 根據(jù)平面假設(shè)，前面由實(shí)驗(yàn)觀察到的變形現(xiàn)象已經(jīng)可以推廣到梁的內(nèi)部。即梁在純彎曲變形時(shí)，橫截面保持平面并作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，靠近上面部分的縱向纖維縮短，靠近下面部分的縱向纖維伸長(zhǎng)。由于變形的連續(xù)性，中間必有一層縱向纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，這層纖維稱為中性層(圖7-3)。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。由于外力偶作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)因此梁的變形也應(yīng)該對(duì)稱于此平面，在橫截面上就是對(duì)稱于對(duì)稱軸。所以中性軸必然垂直于對(duì)稱軸，但具體在哪個(gè)位置上，目前還不能確定。 考察純彎曲梁某一微段dx的變形(圖7-4)。設(shè)彎曲變形以后，微段左右兩橫截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角為dq，則距中性層為y處的任一層縱向纖維bb變形后的弧長(zhǎng)為 式中，為中性層的曲率半徑。該層纖維變形前的長(zhǎng)度與中性層處縱向纖維OO長(zhǎng)度相等，又因?yàn)樽冃吻啊⒑笾行詫觾?nèi)纖維OO的長(zhǎng)度不變，故有 由此得距中性層為y處的任一層縱向纖維的線應(yīng)變 (a) 上式表明，線應(yīng)變 隨y按線性規(guī)律變化。 物理方面 根據(jù)單向受力假設(shè)，且材料在拉伸及壓縮時(shí)的彈性模量E相等，則由虎 克定律，得 (b) 式(b)表明，純彎曲時(shí)的正應(yīng)力按線性規(guī)律變化，橫截面上中性軸處，y=0，因而s=0，中性軸兩側(cè)，一側(cè)受拉應(yīng)力，另一側(cè)受壓應(yīng)力，與中性軸距離相等各點(diǎn)的正應(yīng)力數(shù)值相等（圖7-5）。 靜力學(xué)方面 雖然已經(jīng)求得了由式(b)表示的正應(yīng)力分布規(guī)律，但因曲率半徑r和中性軸的位置尚未確定，所以不能用式(b)計(jì)算正應(yīng)力，還必須由靜力學(xué)關(guān)系來(lái)解決。 在圖7-5中，取中性軸為z軸，過(guò)z、y軸的交點(diǎn)并沿橫截面外法線方向的軸為x軸，作用于微面積上的法向微內(nèi)力為。在整個(gè)橫截面上，各微面積上的微內(nèi)力構(gòu)成一個(gè)空間平行力系。由靜力學(xué)關(guān)系可知，應(yīng)滿足，，三個(gè)平衡方程。 由于所討論的梁橫截面上設(shè)有軸力，，故由，得 (c) 將式(b)代人式(c)，得 式中，E/r 恒不為零，故必有靜矩，由第5章知道，只有當(dāng)z軸通過(guò)截面形心時(shí)，靜矩Sz才等于零。由此可得結(jié)論：中性軸z通過(guò)橫截面的形心。這樣就完全確定了中性軸在橫截面上的位置。 由于所討論的梁橫截面上沒(méi)有內(nèi)力偶My，因此由,得 (d) 將式(b)代人式(d)，得 上式中，由于y軸為對(duì)稱軸，故，平衡方程自然滿足。 純彎曲時(shí)各橫截面上的彎矩M均相等。因此，由，得 (e) 將式(b)代人式(e)，得 (f) 由式(f)得 （7-1） 式中，為中性層的曲率，EIz為抗彎剛度，彎矩相同時(shí)，梁的抗彎剛度愈大，梁的曲率越小。最后，將式(7-1)代入式(b)，導(dǎo)出橫截面上的彎曲正應(yīng)力公式為 （7-2） 式中，M為橫截面上的彎矩，Iz為橫截面對(duì)中性軸的慣性矩，y為橫截面上待求應(yīng)力的y坐標(biāo)。應(yīng)用此公式時(shí)，也可將M、y均代入絕對(duì)值，是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力可根據(jù)梁的變形情況直接判斷。以中性軸為界，梁的凸出一側(cè)為拉應(yīng)力，凹入一側(cè)為壓應(yīng)力。 以上分析中，雖然把梁的橫截面畫(huà)成矩形，但在導(dǎo)出公式的過(guò)程中，并沒(méi)有使用矩形的幾何性質(zhì)。所以，只要梁橫截面有一個(gè)對(duì)稱軸，而且載荷作用于對(duì)稱軸所在的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，式(7-1)和式(7-2)就適用。 由式(7-2)可見(jiàn)，橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)上。用ymax表示最遠(yuǎn)點(diǎn)至中性軸的距離，則最大彎曲正應(yīng)力為 上式可改寫為 （7-3） 其中 （7-4） 為抗彎截面系數(shù)，是僅與截面形狀及尺寸有關(guān)的幾何量，量綱為[長(zhǎng)度]3。高度為h、寬度為b的矩形截面梁，其抗彎截面系數(shù)為 直徑為D的圓形截面梁的抗彎截面系數(shù)為 工程中常用的各種型鋼，其抗彎截面系數(shù)可從附錄的型鋼表中查得。當(dāng)橫截面對(duì)中性軸不對(duì)稱時(shí)．其最大拉應(yīng)力及最大壓應(yīng)力將不相等。用式(7-3)計(jì)算最大拉應(yīng)力時(shí)，可在式(7-4)中取ymax 等于最大拉應(yīng)力點(diǎn)至中性軸的距離；計(jì)算最大壓應(yīng)力時(shí)，在式(7-4)中應(yīng)取ymax等于最大壓應(yīng)力點(diǎn)至中性軸的距離。 例7-1 受純彎曲的空心圓截面梁如圖7-6(a)所示。已知：彎矩M= l kN.m，外徑D=50mm，內(nèi)徑d=25mm。試求橫截面上a、b、c及d四點(diǎn)的應(yīng)力,并繪過(guò)a、b兩點(diǎn)的直徑線及過(guò)c、d兩點(diǎn)弦線上各點(diǎn)的應(yīng)力分布圖。 解： （1） 求 Iz （2） 求s a 點(diǎn) b 點(diǎn) c 點(diǎn) d 點(diǎn) 給定的彎矩為正值，梁凹向上，故a及c點(diǎn)是壓應(yīng)力，而b點(diǎn)是拉應(yīng)力。過(guò)a、b的直 徑線及過(guò)c、d的弦線上的應(yīng)力分布圖如圖7-6(b)、(c)所示。 7.2.2 橫力彎曲梁的正應(yīng)力 公式（7-2）是純彎曲情況下以7-2-1提出的兩個(gè)假設(shè)為基礎(chǔ)導(dǎo)出的。工程上最常見(jiàn)的彎曲問(wèn)題是橫力彎曲。在此情況下，梁的橫截面上不僅有彎矩，而且有剪力。由于剪力的影響，彎曲變形后，梁的橫截面將不再保持為平面，即發(fā)生所謂的“翹曲”現(xiàn)象，如圖7-7（a）。但當(dāng)剪力為常量時(shí)，各橫截面的翹曲情況完全相同，因而縱向纖維的伸長(zhǎng)和縮短與純彎曲時(shí)沒(méi)有差異。圖7-7（b）表示從變形后的橫力彎曲梁上截取的微段，由圖可見(jiàn)，截面翹曲后，任一層縱向纖維的弧長(zhǎng)A’B’，與橫截面保持平面時(shí)該層纖維的弧長(zhǎng)完全相等，即A’B’=AB。所以，對(duì)于剪力為常量的橫力彎曲，純彎曲正應(yīng)力公式(7-2)仍然適用。當(dāng)梁上作用有分布載荷，橫截面上的剪力連續(xù)變化時(shí)，各橫截面的翹曲情況有所不同。此外，由于分布載荷的作用，使得平行于中性層的各層纖維之間存在擠壓應(yīng)力。但理論分析結(jié)果表明，對(duì)于橫力彎曲梁，當(dāng)跨度與高度之比l／h大于5時(shí)，純彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式(7-2)仍然是適用的，其結(jié)果能夠滿足工程精度要求。 例7-2 槽形截面梁如圖7-8(a)所示，試求梁橫截面上的最大拉應(yīng)力。 解 繪M圖，得B、C兩截面的彎矩，,如圖7-8(b)所示。 求截面的形心及對(duì)形心軸的慣性矩，取參考坐標(biāo)z1Oy，如圖7-8(c)所示，得截面形心C的縱坐標(biāo) 因y為對(duì)稱軸，故 過(guò)形心C取z軸，截面對(duì)z軸的慣性矩為 B截面的最大拉應(yīng)力為 C截面的最大拉應(yīng)力為 可見(jiàn)，梁的最大拉應(yīng)力發(fā)生在C截面的下部邊緣線上。 7.3彎曲切應(yīng)力 橫力彎曲時(shí)，梁橫截面上的內(nèi)力除彎矩外還有剪力，因而在橫截面上除正應(yīng)力外還有切 應(yīng)力。本節(jié)按梁截面的形狀，分幾種情況討論彎曲切應(yīng)力。 7.3.1 矩形截面梁的切應(yīng)力 在圖7-9(a)所示矩形截面梁的任意截面上，剪力FQ皆與截面的對(duì)稱軸y重合， 見(jiàn)圖7-9(b)。現(xiàn)分析橫截面內(nèi)距中性軸為y處的某一橫線，ss’上的切應(yīng)力分布情況。 根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，在截面兩側(cè)邊緣的s和s’處，切應(yīng)力的方向一定與截面的側(cè)邊相切，即與剪力FQ的方向一致。而由對(duì)稱關(guān)系知，橫線中點(diǎn)處切應(yīng)力的方向，也必然與剪力FQ的方向相同。因此可認(rèn)為橫線ss’上各點(diǎn)處切應(yīng)力都平行于剪力FQ。由以上分析，我們對(duì)切應(yīng)力的分布規(guī)律做以下兩點(diǎn)假設(shè)： 1．橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力的方向均與剪力FQ的方向平行。 2．切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布。 現(xiàn)以橫截面m-m和n-n從圖7-9(a)所示梁中取出長(zhǎng)為dx的微段，見(jiàn)圖7-10(a)。設(shè)作用于微段左、右兩側(cè)橫截面上的剪力為FQ，彎矩分別為M和M+dM，再用距中性層為y的rs截面取出一部分mnsr，見(jiàn)圖7-10 (b)。該部分的左右兩個(gè)側(cè)面mr和ns上分別作用有由彎矩M和M+dM引起的正應(yīng)力及。除此之外，兩個(gè)側(cè)面上還作用有切應(yīng)力。根據(jù)切應(yīng)力互等定理，截出部分頂面rs上也作用有切應(yīng)力，其值與距中性層為y處橫截面上的切應(yīng)力數(shù)值相等，見(jiàn)圖7-10(b)、(c)。設(shè)截出部分mnsr的兩個(gè)側(cè)面mr和ns上的法向微內(nèi)力dA和dA合成的在x軸方向的法向內(nèi)力分別為FN1及FN2，則FN2可表示為 （a） 同理 （b） 式中，A1為截出部分mnsr側(cè)面ns或mr的面積，以下簡(jiǎn)稱為部分面積為A1對(duì)中性軸的靜矩。 考慮截出部分mnsr的平衡，見(jiàn)圖7-10(c)．由，得 （c） 將式(a)及式(b)代入式(c)，化簡(jiǎn)后得 注意到上式中，并注意到與數(shù)值相等，于是矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力計(jì)算公式為 （7-5） 式中，F(xiàn)Q為橫截面上的剪力，b為截面寬度，為橫截面對(duì)中性軸的慣性矩，為橫截面上部分面積對(duì)中性軸的靜矩。 對(duì)于給定的高為h寬為b的矩形截面(圖7-11)，計(jì)算出部分面積對(duì)中性軸的靜矩如下 將上式代入（7-5），得 （7-6） 由(7-6)可見(jiàn)，切應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。當(dāng)y=±h／2時(shí)，t=0，即截面的上、下邊緣線上各點(diǎn)的切應(yīng)力為零。當(dāng)y=0時(shí)，切應(yīng)力t有極大值，這表明最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，其值為 將代人上式，得 (7-7) 可見(jiàn)，矩形截面梁橫截面上的最大切應(yīng)力為平均切應(yīng)力FQ/bh的1.5倍。 根據(jù)剪切虎克定律，由式(7-6)可知切應(yīng)變 (7-8) 式(7-8)表明，橫截面上的切應(yīng)變沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。沿截面高度各點(diǎn)具有按非線性規(guī)律變化的切應(yīng)變，這就說(shuō)明橫截面將發(fā)生扭曲。由式(7-8)可見(jiàn)，當(dāng)剪力FQ為常量時(shí)，橫力彎曲梁各橫截面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切應(yīng)變相等，因而各橫截面扭曲情況相同。這一情況已在5-7-2中做了說(shuō)明。 例7-3 矩形截面梁的橫截面尺寸如圖7-12(b)所示。集中力F=88kN，試求1-1截面上的最大切應(yīng)力以及a、b兩點(diǎn)的切應(yīng)力。 解 支反力FA、FB分別為FA=40kN，F(xiàn)B=48kN 1-1截面上的剪力 FQ1=FA=40kN 截面對(duì)中性軸的慣性矩 截面上的最大切應(yīng)力 a點(diǎn)的切應(yīng)力 b點(diǎn)的切應(yīng)力 7.3.2 工字形截面梁的切應(yīng)力 工字形截面由上、下翼緣及腹板構(gòu)成，見(jiàn)圖7-13(a)，現(xiàn)分別研究腹板及翼緣上的切應(yīng)力。 1．工字形截面腹板部分的切應(yīng)力 腹板是狹長(zhǎng)矩形，因此關(guān)于矩形截面梁切應(yīng)力分布的兩個(gè)假設(shè)完全適用。在工字形截面梁上，用截面m-m和n-n截取dx長(zhǎng)的微段，并在腹板上用距中性層為y的rs平面在微段上截取出一部分mnsr，見(jiàn)圖7-13(b)、(c)，考慮mnsr部分的平衡，可得腹板的切應(yīng)力計(jì)算公式 (7-9) 式(7-9)與式(7-5)形式完全相同，式中d為腹板厚度。 計(jì)算出部分面積Al對(duì)中性軸的靜矩 代人式(7-9)整理，得 （7-10） 由式(7-10)可見(jiàn)，工字形截面梁腹板上的切應(yīng)力 t 按拋物線規(guī)律分布，見(jiàn)圖7-13(c)。以y=0 及y=±h/2分別代人式(7-10)得中性層處的最大切應(yīng)力及腹板與翼緣交界處的最小切應(yīng)力分別為 由于工字形截面的翼緣寬度b遠(yuǎn)大于腹板厚度d，即，所以由以上兩式可以看出，與實(shí)際上相差不大。因而，可以認(rèn)為腹板上切應(yīng)力大致是均勻分布的。若以圖7-13(c)中應(yīng)力分布圖的面積乘以腹板厚度d，可得腹板上的剪力FQ1。計(jì)算結(jié)果表明，F(xiàn)Q1約等于(0.95-0.97) FQ?？梢?jiàn)，橫截面上的剪力FQ絕大部分由腹板承受。因此，工程上通常將橫截面上的剪力FQ除以腹板面積近似得出工字形截面梁腹板上的切應(yīng)力為 （7-11） 2．工字形截面翼緣部分的切應(yīng)力 現(xiàn)進(jìn)一步討論翼絳上的切應(yīng)力分布問(wèn)題。在翼緣上有兩個(gè)方向的切應(yīng)力：平行于剪力FQ方向的切應(yīng)力和平行于翼絳邊緣線的切應(yīng)力。平行于剪力FQ的切應(yīng)力數(shù)值極小，無(wú)實(shí)際意義，通常忽略不計(jì)。在計(jì)算與翼緣邊緣平行的切應(yīng)力時(shí)，可假設(shè)切應(yīng)力沿翼緣厚度大小相等，方向與冀緣邊緣線相平行，根據(jù)在冀緣上截出部分的平衡，由圖7-13(d)可以得出與式(7-9)形式相同的冀緣切應(yīng)力計(jì)算公式 （7-12） 式中t為翼緣厚度，圖7-13(c)中繪有冀緣上的切應(yīng)力分布圖。工字形截面梁翼緣上的最大切應(yīng)力一般均小于腹板上的最大切應(yīng)力。 從圖7-13(c)可以看出，當(dāng)剪力FQ的方向向下時(shí)，橫截面上切應(yīng)力的方向，由上邊緣的外側(cè)向里，通過(guò)腹板，最后指向下邊緣的外側(cè)，好象水流一樣，故稱為“切應(yīng)力流”。所以在根據(jù)剪力FQ的方向確定了腹扳的切應(yīng)力方向后，就可由“切應(yīng)力流”確定翼緣上切應(yīng)力的方向。對(duì)于其他的L形、丁形和Z形等薄壁截面，也可利用“切應(yīng)力流”來(lái)確定截面上切應(yīng)力方向。 7.3.3 圓形截面梁的切應(yīng)力 在圓形截面梁的橫截面上，除中性軸處切應(yīng)力與剪力平行外，其他點(diǎn)的切應(yīng)力并不平行于剪力?？紤]距中性軸為y處長(zhǎng)為b的弦線AB上各點(diǎn)的切應(yīng)力如圖7-14(a)。根據(jù)切應(yīng)力互等定理，弦線兩個(gè)端點(diǎn)處的切應(yīng)力必與圓周相切，且切應(yīng)力作用線交于y軸的某點(diǎn)p。弦線中點(diǎn)處切應(yīng)力作用線由對(duì)稱性可知也通過(guò)p點(diǎn)。因而可以假設(shè)AB線上各點(diǎn)切應(yīng)力作用線都通過(guò)同一點(diǎn)p，并假設(shè)各點(diǎn)沿y方向的切應(yīng)力分量相等，則可沿用前述方法計(jì)算圓截面梁的切應(yīng)力分量，求得后，根據(jù)已設(shè)定的總切應(yīng)力方向即可求得總切應(yīng)力。 圓形截面梁切應(yīng)力分量的計(jì)算公式與矩形截面梁切應(yīng)力計(jì)算公式形式相同。 （7-13） 式中b為弦線長(zhǎng)度，；仍表示部分面積A1對(duì)中性軸的靜矩，見(jiàn)圖7-14(b)。 圓形截面梁的最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，且中性軸上各點(diǎn)的切應(yīng)力分量與總切應(yīng)力大小相等、方向相同，其值為 （7-14） 由式(7-14)可見(jiàn)，圓截面的最大切應(yīng)力為平均切應(yīng)力的 4／3倍。 7.3.4 環(huán)形截面梁的切應(yīng)力 圖7-15所示為一環(huán)形截面梁，已知壁厚t遠(yuǎn)小于平均半徑R，現(xiàn)討論其橫截面上的切應(yīng)力。環(huán)形截面內(nèi)、外圓周線上各點(diǎn)的切應(yīng)力與圓周線相切。由于壁厚很小，可以認(rèn)為沿圓環(huán)厚度方向切應(yīng)力均勻分布并與圓周切線相平行。據(jù)此即可用研究矩形截面梁切應(yīng)力的方法分析環(huán)形截面梁的切應(yīng)力。在環(huán)形截面上截取dx長(zhǎng)的微段，并用與縱向?qū)ΨQ平面夾角 q 相同的兩個(gè)徑向平面在微段中截取出一部分如圖7-15(b)，由于對(duì)稱性，兩個(gè)rs面上的切應(yīng)力相等?？紤]截出部分的平衡圖7-15(b)，可得環(huán)形截面梁切應(yīng)力的計(jì)算公式 (7-15) 式中，t為環(huán)形截面的厚度。 環(huán)形截面的最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處。計(jì)算出半圓環(huán)對(duì)中性軸的靜矩 及環(huán)形截面對(duì)中性軸的慣性矩 將上式代入式(7-15)得環(huán)形截面最大切應(yīng)力 (7-16) 注意上式等號(hào)右端分母pRt為環(huán)形橫截面面積的一半，可見(jiàn)環(huán)形截面梁的最大切應(yīng)力為平均切應(yīng)力的兩倍。 7.4 彎曲強(qiáng)度計(jì)算 梁在受橫力彎曲時(shí)，橫截面上既存在正應(yīng)力又存在切應(yīng)力，下面分別討論這兩種應(yīng)力的強(qiáng)度條件。 7.4.1彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 橫截面上最大的正應(yīng)力位于橫截面邊緣線上，一般說(shuō)來(lái)，該處切應(yīng)力為零。有些情況下，該處即使有切應(yīng)力其數(shù)值也較小，可以忽略不計(jì)。所以，梁彎曲時(shí)，最大正應(yīng)力作用點(diǎn)可視為處于單向應(yīng)力狀態(tài)。因此，梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為 （7-17） 對(duì)等截面梁，最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩所在截面上，這時(shí)彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為 （7-18） 式(7-17)、式(7-18)中，為許用彎曲正應(yīng)力，可近似地用簡(jiǎn)單拉伸(壓縮)時(shí)的許用應(yīng)力來(lái)代替，但二者是略有不同的，前者略高于后者，具體數(shù)值可從有關(guān)設(shè)計(jì)規(guī)范或手冊(cè)中查得。對(duì)于抗拉、壓性能不同的材料，例如鑄鐵等脆性材料，則要求最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力都不超過(guò)各自的許用值。其強(qiáng)度條件為 ， （7-19） 7.4.2 彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件 一般來(lái)說(shuō)，梁橫截面上的最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處，而該處的正應(yīng)力為零。因此最大切應(yīng)力作用點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。這時(shí)彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件為 （7-20） 對(duì)等截面梁，最大切應(yīng)力發(fā)生在最大剪力所在的截面上。彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件為 （7-21） 許用切應(yīng)力[t]通常取純剪切時(shí)的許用切應(yīng)力。 對(duì)于梁來(lái)說(shuō)，要滿足抗彎強(qiáng)度要求，必須同時(shí)滿足彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件和彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件。也就是說(shuō)，影響梁的強(qiáng)度的因素有兩個(gè)：一為彎曲正應(yīng)力．一為彎曲切應(yīng)力。對(duì)于細(xì)長(zhǎng)的實(shí)心截面梁或非薄壁截面的梁來(lái)說(shuō)，橫截面上的正應(yīng)力往往是主要的．切應(yīng)力通常只占次要地位。例如圖7-16所示的受均布載荷作用的矩形截面梁，其最大彎曲正應(yīng)力為 圖7-16 而最大彎曲切應(yīng)力為 二者比值為 即，該梁橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力與最大彎曲切應(yīng)力之比等于梁的跨度l與截面高度h的比。當(dāng)l>>h時(shí)，最大彎曲正應(yīng)力將遠(yuǎn)大于最大彎曲切應(yīng)力。因此，一般對(duì)于細(xì)長(zhǎng)的實(shí)心截面梁或非薄壁截面梁，只要滿足了正應(yīng)力強(qiáng)度條件，無(wú)需再進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算。但是，對(duì)于薄壁截面梁或梁的彎矩較小而剪力卻很大時(shí)，在進(jìn)行正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算的同時(shí)，還需檢查切應(yīng)力強(qiáng)度條件是否滿足。 另外，對(duì)某些薄壁截面(如工字形、T字形等)梁，在其腹板與翼緣聯(lián)接處，同時(shí)存在相當(dāng)大的正應(yīng)力和切應(yīng)力。這樣的點(diǎn)也需進(jìn)行強(qiáng)度校核，將在第10章進(jìn)行討淪。 圖7-17 例7-4 T形截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸如圖7-17(a)所示，鑄鐵抗拉許用應(yīng)力為=30MPa，抗壓許用應(yīng)力為=140MPa。已知截面對(duì)形心軸z的慣性矩為763cm4，且52mm，試校核梁的強(qiáng)度。 解 由靜力平衡方程求出梁的支反力為 做彎矩圖如圖7-17(b)所示。最大正彎矩在截面C上，MC=2.5Kn.m，最大負(fù)彎矩在截面B上，。T形截面對(duì)中性軸不對(duì)稱，同一截面上的最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力并不相等。在截面B上，彎矩是負(fù)的，最大拉應(yīng)力發(fā)生于上邊緣各點(diǎn)，且 最大壓應(yīng)力發(fā)生于下邊緣各點(diǎn)，且 在截面C上，雖然彎矩MC的絕對(duì)值小于MB，但Mc是正彎矩，最大拉應(yīng)力發(fā)生于截面的下邊緣各點(diǎn)，而這些點(diǎn)到中性軸的距離卻比較遠(yuǎn)，因而就有可能發(fā)生比截面B還要大的拉應(yīng)力，其值為 所以，最大拉應(yīng)力是在截面C的下邊緣各點(diǎn)處，但從所得結(jié)果看出，無(wú)論是最大拉應(yīng)力或最大壓應(yīng)力都未超過(guò)許用應(yīng)力，強(qiáng)度條件是滿足的。 由例7-4可見(jiàn)，當(dāng)截面上的中性軸為非對(duì)稱軸，且材料的抗拉、抗壓許用應(yīng)力數(shù)值不等時(shí)，最大正彎矩、最大負(fù)彎矩所在的兩個(gè)截面均可能為危險(xiǎn)截面，因而均應(yīng)進(jìn)行強(qiáng)度校核。 例7-5 簡(jiǎn)支梁AB如圖7-18(a)所示。l=2m，a=0.2m。梁上的載荷為q=10kN／m，F(xiàn)=200kN。材料的許用應(yīng)力為160MPa， 100MPa。試選擇適用的工字鋼型號(hào)。 解 計(jì)算梁的支反力，然后做剪力圖和彎矩圖，如圖7-18(b)、(c)所示。 根據(jù)最大彎矩選擇工字鋼型號(hào)，45kN·m，由彎曲正莊力強(qiáng)度條件，有 查型鋼表，選用22a工字鋼，其309cm3。校核梁的切應(yīng)力。由表中查出，18.9m，腹板厚度d=0.75cm。由剪力圖210kN。代入切應(yīng)力強(qiáng)度條件 超過(guò)很多，應(yīng)重新選擇更大的截面。現(xiàn)以25b工字鋼進(jìn)行試算。由表查出， 21.27cm，d=lcm。再次進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度校核。 因此，要同時(shí)滿足正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件，應(yīng)選用型號(hào)為25b的工字鋼。 7.5 提高彎曲強(qiáng)度的一些措施 前面曾經(jīng)指出，彎曲正應(yīng)力是控制抗彎強(qiáng)度的主要因素。因此，討論提高梁抗彎強(qiáng)度的措施，應(yīng)以彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為主要依據(jù)。由可以看出，為了提高梁的強(qiáng)度，可以從以下三方面考慮。 7.5.1 合理安排梁的支座和載荷 從正應(yīng)力強(qiáng)度條件可以看出，在抗彎截面模量不變的情況下，Mmax越小，梁的承載能力越高。因此，應(yīng)合理地安排梁的支承及加載方式，以降低最大彎矩值。例如圖7-19(a)所示簡(jiǎn)支梁，受均布載荷q作用，梁的最大彎矩為。 圖7-19 如果將梁兩端的鉸支座各向內(nèi)移動(dòng)0.2l，如圖7-19(b)所示，則最大彎矩變?yōu)?，僅為前者的1／5。 由此可見(jiàn)，在可能的條件下，適當(dāng)?shù)卣{(diào)整梁的支座位置，可以降低最大彎矩值，提高梁的承載能力。例如，門式起重機(jī)的大梁圖7-20(a)，鍋爐筒體圖7-20(b)等，就是采用上述措施，以達(dá)到提高強(qiáng)度，節(jié)省材料的目的。 圖7-20 再如，圖7-21(a)所示的簡(jiǎn)支梁AB，在集中力F作用下梁的最大彎矩為 如果在梁的中部安置一長(zhǎng)為l/2的輔助梁 CD(圖7-21b)，使集中載荷F分散成兩個(gè)F/2的集中載荷作用在AB梁上，此時(shí)梁AB內(nèi)的最大彎矩為 如果將集中載荷F靠近支座，如圖(7-21c)所示，則梁AB上的最大彎矩為 圖 由上例可見(jiàn)，使集中載荷適當(dāng)分散和使集載荷盡可能靠近支座均能達(dá)到降低最大彎矩的目的。 7.5.2 采用合理的截面形狀 由正應(yīng)力強(qiáng)度條件可知，梁的抗彎能力還取決于抗彎截面系數(shù)WZ。為提高梁的抗彎強(qiáng)度，應(yīng)找到一個(gè)合理的截面以達(dá)到既提高強(qiáng)度，又節(jié)省材料的目的。比值 圖7-21 可作為衡量截面是否合理的尺度，值越大，截面越趨于合理。例如圖7-22中所示的尺寸及材料完全相同的兩個(gè)矩形截面懸臂梁，由于安放位置不同，抗彎能力也不同。豎放時(shí) 平放時(shí) 當(dāng)h>b時(shí)，豎放時(shí)的大于平放時(shí)的，因此，矩形截面梁豎放比平放更為合理。在房屋建筑中，矩形截面梁幾乎都是豎放的，道理就在于此。 表7-1列出了幾種常用截面的值，由此看出，工字形截面和槽形截面最為合理，而圓形截面是其中最差的一種，從彎曲正應(yīng)力的分布規(guī)律來(lái)看，也容易理解這一事實(shí)。以圖7-23所示截面面積及高度均相等的矩形截面及工字形截面為例說(shuō)明如下：梁橫截面上的正應(yīng)力是按線性規(guī)律分布的，離中性軸越遠(yuǎn)，正應(yīng)力越大。工字形截面有較多面積分布在距中性軸較遠(yuǎn)處，作用著較大的應(yīng)力，而矩形截面有較多面積分布在中性軸附近，作用著較小的應(yīng)力。因此，當(dāng)兩種截面上的最大應(yīng)力相同時(shí)，工字形截面上的應(yīng)力所形成的彎矩將大于矩形截面上的彎矩。即在許用應(yīng)力相同的條件下，工字形截面抗彎能力較大。同理，圓形截面由于大部分面積分布在中性軸附近，其抗彎能力就更差了。 圖7-22 圖7-23 表7-1 幾種常用截面的值 截面形狀 矩形 圓形 槽鋼 工字鋼 0．167h 0.125d (0.27~0.31)h (0.27~0.31)h 以上是從抗彎強(qiáng)度的角度討論問(wèn)題。工程實(shí)際中選用梁的合理截面，還必須綜合考慮剛度、穩(wěn)定性以及結(jié)構(gòu)、工藝等方面的要求，才能最后確定。 在討論截面的合理形狀時(shí)，還應(yīng)考慮材料的特性。對(duì)于抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料，如各種鋼材，宜采用對(duì)稱于中性軸的截面，如圓形、矩形和工字形等。這種橫截面上、下邊緣最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力數(shù)值相同，可同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力值。對(duì)抗拉和抗壓強(qiáng)度不相等的材料，如鑄鐵，則宜采用非對(duì)稱于中性軸的截面，如圖7-24所示。我們知道鑄鐵之類的脆性材料，抗拉能力低于抗壓能力，所以在設(shè)計(jì)梁的截面時(shí)，應(yīng)使中性軸偏于受拉應(yīng)力一側(cè)，通過(guò)調(diào)整截面尺寸，如能使y1和y2之比接近下列關(guān)系： 圖7-24 則最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力可同時(shí)接近許用應(yīng)力，式中和分別表示拉伸和壓縮許用應(yīng)力。 7.5.3 采用等強(qiáng)度梁 橫力彎曲時(shí)，梁的彎矩是隨截面位置而變化的，若按式（7-18）設(shè)計(jì)成等截面的梁，則除最大彎矩所在截面外，其它各截面上的正應(yīng)力均未達(dá)到許用應(yīng)力值，材料強(qiáng)度得不到充分發(fā)揮。為了減少材料消耗、減輕重量，可把梁制成截面隨截面位置變化的變截面梁。若截面變化比較平緩，前述彎曲應(yīng)力計(jì)算公式仍可近似使用。當(dāng)變截面梁各橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力相同，井與許用應(yīng)力相等時(shí)，即 時(shí)，稱為等強(qiáng)度梁。等強(qiáng)度梁的抗彎截面模量隨截面位置的變化規(guī)律為 （7-22） 由式(7-22)可見(jiàn)，確定了彎矩隨截面位置的變化規(guī)律，即可求得等強(qiáng)度梁橫截面的變化規(guī)律，下面舉例說(shuō)明。 設(shè)圖7-25(a)所示受集中力F作用的簡(jiǎn)支梁為矩形截面的等強(qiáng)度梁，若截面高度h=常量，則寬度b為截面位置x的函數(shù)，b=b(x)，矩形截面的抗彎截面模量為 彎矩方程式為 將以上兩式代人式(7-22)，化簡(jiǎn)后得 圖7-25 （a） 可見(jiàn)，截面寬度b(x)為x的線性函數(shù)。由于約束與載荷均對(duì)稱于跨度中點(diǎn)，因而截面形狀也對(duì)跨度中點(diǎn)對(duì)稱(圖7-25b)。在左、右兩個(gè)端點(diǎn)處截面寬度b(x)=0，這顯然不能滿足抗剪強(qiáng)度要求。為了能夠承受切應(yīng)力，梁兩端的截面應(yīng)不小于某一最小寬度，見(jiàn)圖7-25(c)。由彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件 得 （b） 若設(shè)想把這一等強(qiáng)度梁分成若干狹條，然后疊置起來(lái)，并使其略微拱起，這就是汽車以及其他車輛上經(jīng)常使用的疊板彈簧，如圖7-26所示。 若上述矩形截面等強(qiáng)度梁的截面寬度b為常數(shù)，而高度h為x的函數(shù)，即h=h(x)，用完全相同的方法可以求得 （c） 圖7-26 (d) 按式(c)和式(d)確定的梁形狀如圖7-27(a)所示。如把梁做成圖7-27(b)所示的形式，就是廠房建筑中廣泛使用的“魚(yú)腹梁”。 圖7-27 圖7-28 使用公式(7-17)，也可求得圓截面等強(qiáng)度梁的截面直徑沿軸線的變化規(guī)律。但考慮到加工的方便及結(jié)構(gòu)上的要求，常用階梯形狀的變截面梁(階梯軸)來(lái)代替理論上的等強(qiáng)度梁，如圖7-28所示。 7.6 開(kāi)口薄壁桿件的彎曲中心 在前面討論中指出，當(dāng)桿件有縱向?qū)ΨQ面，且載荷也作用于對(duì)稱面內(nèi)時(shí)，桿件的變形是平面彎曲。對(duì)非對(duì)稱桿件來(lái)說(shuō)，即使橫向力作用于形心主慣性平面內(nèi)，桿件除彎曲變形外，還將發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，如圖7-29(a)所示。只有當(dāng)橫向力的作用平面平行于形心主慣性平面，且通過(guò)某一特定點(diǎn)A時(shí)，桿件才只有彎曲而無(wú)扭轉(zhuǎn)圖7-29(b)。這一特定點(diǎn)A稱為彎曲中心。 圖7-29 開(kāi)口薄壁桿件的彎曲中心有較大的實(shí)際意義，而且它的位置用材料力學(xué)的方法就可確定。為此，首先討論開(kāi)口薄壁桿件彎曲切應(yīng)力計(jì)算。 圖7-30 圖7-30(a)為一開(kāi)口薄壁桿件，y和z為橫截面的形心主慣性軸，設(shè)載荷F平行于y軸，且通過(guò)彎曲中心。這時(shí)桿件只有彎曲而無(wú)扭轉(zhuǎn)，z軸為彎曲變形的中性軸。橫截面上的彎曲正應(yīng)力仍由式(7-2)計(jì)算。至于彎曲切應(yīng)力．由于桿件的壁厚t遠(yuǎn)小于橫截面的其它尺寸，所以可以假設(shè)沿壁厚t切應(yīng)力的大小無(wú)變化。又因桿件的內(nèi)側(cè)表面和外側(cè)表面都為自由面，未作用任何與表面相切的載荷，所以橫截面上的切應(yīng)力應(yīng)與截面的周邊相切。以相距為dx的兩個(gè)橫截面和沿薄壁厚度t的縱向面，從桿中截出一部分abcd圖7-30(b)、(c)。在這一部分的ad和bc面上作用著彎曲正應(yīng)力，在底面dc上作用著切應(yīng)力。這些應(yīng)力的方向都平行于x軸。由7-3所述的方法，求得bc和ad面上的合力FN1和FN2分別是 式中M和(M+dM)分別是bc和ad兩個(gè)橫截面上的彎矩；是截面上截出部分面積(圖中畫(huà)陰影線的面積)對(duì)中性軸的靜矩：是整個(gè)截面對(duì)中性軸的慣性矩。根據(jù)橫截面上的切應(yīng)力分布規(guī)律和切應(yīng)力互等定理，底面dc上的內(nèi)力為 把作用于abcd部分上的力投影于，x軸．由平衡條件，可知 即 由此求得 由切應(yīng)力互等定理可知，等于橫截面上距自由邊緣為處的切應(yīng)力，即 （7-23） 這就是開(kāi)口薄壁桿件彎曲切應(yīng)力的計(jì)算公式。 圖7-31 求得開(kāi)口薄壁桿件橫截面上彎曲切應(yīng)力后，就可以確定彎曲中心的位置?，F(xiàn)以槽鋼為例，說(shuō)明確定彎曲中心的方法。設(shè)槽形截面尺寸如圖7-31(a)所示，且外力平行于y軸。當(dāng)計(jì)算上翼緣距右邊為處的切應(yīng)力時(shí)， 代人公式(7-23)，得 可見(jiàn)，上翼緣上的切應(yīng)力，沿翼緣寬度按直線規(guī)律變化，見(jiàn)圖7-31(b)。 如以代表上冀緣上切向內(nèi)力系的合力，則 （a） 用同樣的方法可以求得下翼緣上的內(nèi)力。與大小相等，但方向相反。計(jì)算腹板上距中性軸為y處的切應(yīng)力時(shí) 代人公式(7-23)，得 可見(jiàn)腹板上切應(yīng)力沿高度按拋物線規(guī)律變化。以代表腹板上切向內(nèi)力系的合力，則 槽形截面對(duì)中性軸z的慣性矩約為 以代人上式，得 (b) 至此，我們已經(jīng)求得了截面上的三個(gè)切向內(nèi)力、和，見(jiàn)圖7-31(c)。和組成力偶矩h，將它與合并，得到內(nèi)力系的最終合力。這一合力仍等于 ()，只是作用線向左平移了一個(gè)距離e。如對(duì)腹板中線與z軸的交點(diǎn)取矩，由合力矩定理知 以式(a)代人上式，得 (7-24) 由于截面上切向內(nèi)力系的合力 (即截面上的剪力)在距腹板中線為e的縱向平面內(nèi)，如外力F也在同一平面內(nèi)，則桿件就只有彎曲而無(wú)扭轉(zhuǎn)，這就是圖7-29(b)所表示的情況。 若外力沿z軸作用，因z軸是橫截面的對(duì)稱軸，因此桿將產(chǎn)生平面彎曲而無(wú)扭轉(zhuǎn)變形。這表明彎曲中心一定在截面的對(duì)稱軸上。所以，和對(duì)稱軸的交點(diǎn)A即為彎曲中心也稱為剪切中心。在槽形截面的情況下，彎曲中心A在對(duì)稱軸z上，其位置由公式7-24確定。該式表明，彎曲中心的位置與外力的大小和材料的性質(zhì)無(wú)關(guān)，它是截面圖形的幾何性質(zhì)之一。 由以上分析可知，對(duì)于具有一個(gè)對(duì)稱軸的截面，例如槽形、T形、開(kāi)口環(huán)形和等邊角鋼等，截面的彎曲中心一定位于對(duì)稱軸上。因此，只要確定出e值后，即可定出彎曲中心的位置。對(duì)于具有兩個(gè)對(duì)稱軸的截面，例如矩形、圓形和工字形等，彎曲中心必在兩對(duì)稱軸的交點(diǎn)上，即截面形心和彎曲中心重合。如截面為反對(duì)稱，例如Z字形截面，則彎曲中心必在反對(duì)稱的中點(diǎn)，也與形心重合。表7-2給出了幾種常見(jiàn)開(kāi)口薄壁截面梁彎曲中心的位置。 表7-2 開(kāi)口薄壁靛面的彎曲中心的位置 截面形狀 彎曲中心 與截面形心重合 截面形狀 彎曲中心 與截面形心重合 綜上所述，當(dāng)外力通過(guò)彎曲中心時(shí)，無(wú)論是平行于y軸或沿著z軸，外力和橫截面上的剪力在同一縱向平面內(nèi)，桿件只有彎曲變形。反之，若外力F不通過(guò)彎曲中心，這時(shí)把外力向彎曲中心簡(jiǎn)化，將得到一個(gè)通過(guò)彎曲中心的力F和一個(gè)扭轉(zhuǎn)力偶矩。通過(guò)彎曲中心的橫向力F仍引起上述彎曲變形，而扭轉(zhuǎn)力偶矩卻將引起桿件的扭轉(zhuǎn)變形，這就是圖7-29(a)所表示的情況。 對(duì)實(shí)體截面或閉口薄壁截面桿件，因其彎曲中心和形心重合或靠近形心，且切應(yīng)力數(shù)值通常又較小，所以不必考慮彎曲中心的位置。但對(duì)于開(kāi)口薄壁截面桿件，因其承受扭轉(zhuǎn)變形的能力很差，所以外力的作用線應(yīng)盡可能通過(guò)彎曲中心，以避免產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。因此，確定開(kāi)口薄壁桿件彎曲中心的位置，是具有實(shí)際意義的。 例7-6 試確定圖7-32(a)所示開(kāi)口薄壁截面的彎曲中心，設(shè)截面中線為圓周的一部分。 解 以截面的對(duì)稱軸為z軸，y、z軸為形心主慣性軸，因而彎曲中心A必在z軸上。設(shè)剪力過(guò)彎曲中心A，且平行于y軸。用與z軸夾角為q的半徑截取部分面積A1，其對(duì)z軸的靜矩為 圖7-32 整個(gè)截面對(duì)z軸的慣性矩為 代入公式(7-23)，得 以圓心為力矩中心，由合力矩定理 積分后求得 (a) 當(dāng)時(shí)，得到半圓形開(kāi)口薄壁截面如圖7-33(b)，此時(shí)由式(a)得 當(dāng)時(shí)，得到圓形開(kāi)口薄壁截面如圖7-33(c)，此時(shí)由式(a)得 習(xí) 題 7-l 把直徑d=lmm的鋼絲繞在直徑D=2m的輪緣上，已知材料的彈性模量E=200GPa，試求鋼絲內(nèi)的量大彎曲正應(yīng)力。 7-2 簡(jiǎn)支梁受均布載荷如圖所示。若分別采用截面面積相等的實(shí)心和空心圓截面，且Dl=40mm，。試分別計(jì)算它們的最大彎曲正應(yīng)力。并問(wèn)空心截面比實(shí)心截面的最大彎曲正應(yīng)力減小了百分之幾? 7-3 圖示圓軸的外伸部分是空心圓截面，試求軸內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力。 7-4 某操縱系統(tǒng)中的搖臂如圖所示，右端所受的力F1=8.5kN，截面1-1和2-2均為高度比h／b=3的矩形，材料的許用應(yīng)力=50MPa。試確定1-1和2-2兩個(gè)橫截面的尺寸。 7-5 橋式起重機(jī)大梁AB的跨長(zhǎng)l=16m，原設(shè)計(jì)最大起重量為100kN。若在大梁上距B端為x的C點(diǎn)懸掛一根鋼索，繞過(guò)裝在重物上的滑輪，將另一端再掛在吊車的吊鉤上。使吊車駛到C的對(duì)稱位置D。這樣就可吊運(yùn)150kN的重物。試問(wèn)x的最大值等于多少，設(shè)只考慮大梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。 7-6 圖示軋輥軸直徑D=280mm，L=1000mm，l=450mm，b=100mm，軋輥材料的彎曲許用應(yīng)力=100MP。試求軋輥能承受的最大軋制力F(F=qb)。 7-7 割刀在切割工件時(shí)，受到F=1kN的切削力作用。割刀尺寸如圖所示。試求割刀內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力。 7-8 圖示為一承受純彎曲的鑄鐵梁，其截面為形，材料的拉伸和壓縮許用應(yīng)力之比1／4。求水平翼扳的合理寬度。 7-9 形截面鑄鐵懸臂梁，尺寸及載荷如圖所示。若材料的拉伸許用應(yīng)力=40MPa，壓縮許用應(yīng)力=160MPa，截面對(duì)形心軸的慣性矩，，試計(jì)算該梁的許可載荷F。 7-10 當(dāng)20號(hào)槽鋼受純彎曲變形時(shí)，測(cè)出A、D兩點(diǎn)間長(zhǎng)度的改變材料的E=200GPa，試求梁截面上的彎矩M。 7-11 梁AB的截面為10號(hào)工字鋼，B點(diǎn)由圓鋼桿BC支承，已知圓桿的直徑d=20mm，梁及桿的=160MPa，試求許用均布載荷。 7-12 某吊車用28b工字鋼制成，其上、下各焊有75mm x 6mm x 5200mm的鋼板，如圖所示。已知=100MPa，試求吊車的許用載荷F。 7-13 設(shè)梁的橫截面為矩形，高300mm，寬50mm，截面上正彎矩的數(shù)值為240kN·m。材料的抗拉彈性模量為抗壓彈性摸量的1.5倍。若應(yīng)力未超過(guò)材料的比例極限，試求最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力。 7-14 鑄鐵梁的載荷及橫截面尺寸如圖所示。許用拉應(yīng)力=40MPa，許用壓應(yīng)力=160MPa。試按正應(yīng)力強(qiáng)度條件校核梁的強(qiáng)度。若載荷不變，但將T形橫截面倒置，即成為形，是否合理?何故？ 7-15 圖示為一用鋼板加固的木梁。已知木材的彈性模量E1=10GPa，鋼的彈性橫量E2=210GPa，若木梁與鋼板之間不能相互滑動(dòng)，試求木材及鋼板中的最大正應(yīng)力。 7-16 圖示為用兩根尺寸、材料均相同的矩形截面直桿組成的懸臂梁，試求下列兩種情況下梁所能承受的均布載荷集度的比值： (1)兩桿固結(jié)成整體。 (2)兩桿疊置在一起，交界面上摩擦可忽略不計(jì)。 7-17 試計(jì)算圖示矩形截面簡(jiǎn)支梁的1-1截面上a點(diǎn)和b點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力。 7-18 圖示圓形截面簡(jiǎn)支梁，受均布載荷作用。試計(jì)算梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力和最大彎曲切應(yīng)力，并指出它們發(fā)生于何處。 7-19 試計(jì)算圖示工字形截面梁內(nèi)的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。 7-20 起重機(jī)下的梁由兩根工字鋼組成，起重機(jī)自重W=50kN，起重量W2=10kN。許用應(yīng)力=160MPa，=100MPa。若暫不考慮梁的自重，試按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選定工字鋼型號(hào)，然后再按切應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。 7-21 由三根本條膠合而成的懸臂梁截面尺寸如圖所示?？缍?l = l m。若膠合面上的許用切應(yīng)力為=0.34MPa，木材的許用彎曲正應(yīng)力=10MPa，許用切應(yīng)力為=1MPa，試求許可載荷F。 7-22 在圖（a）中，若以虛線所示的縱向面和橫向面從梁中截出一邪分，如圖（b）所示。試求在縱向面abcd上由tdA組成的內(nèi)力系的合力，并說(shuō)明它與什么力平衡。 7-23 用螺釘將四塊木板聯(lián)接而成的箱形梁如圖所示。每塊木板的橫截面都為150mm x 25mm。若每一螺釘?shù)脑S可剪力為1 lkN，試確定螺釘?shù)拈g距s。設(shè)F=5.5kN。 7-24 圖示梁由兩根36a工字鋼鉚接而成。鉚釘?shù)拈g距為s=150mm，直徑d=20mm，許用切應(yīng)力=90MPa。梁橫截面上的剪力FQ=40kN，試校核該鉚釘?shù)募羟袕?qiáng)度。 7-25 截面為正方形的梁按圖示兩種方式放置。試問(wèn)按哪種方式比較合理? 7-26 為改善載荷分布，在主梁AB上安置輔助梁CD。設(shè)主梁和輔助梁的抗彎截面系數(shù)分別為Wl和W2，材料相同，試求輔助梁的合理長(zhǎng)度a。 7-27 在18號(hào)工字梁上作用著可移動(dòng)載荷F。為提高梁的承載能力，試確定a和b的合理數(shù)值及相應(yīng)的許可載荷。=160MPa。 7-28 我國(guó)制造規(guī)范中，對(duì)矩形截面梁給出的尺寸比例是h:b=3:2。試用彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度證明：從圓木鋸出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。 7-29 均布載荷作用下的簡(jiǎn)支梁由圓管及實(shí)心圓桿套合而成，如圖所示。變形后兩桿仍密切接觸。兩桿材料的彈性模量分別為E1和E2，且E1=2E2。試求兩桿各自承擔(dān)的彎矩。 7-30 以F力將置放于地面的鋼筋提起。若鋼筋單位長(zhǎng)度的重量為Q，當(dāng)b=2a時(shí)．試求所需的力F。 7-31 試判斷圖示各截面的切應(yīng)力流的方向和彎曲中心的大致位置。設(shè)剪力FQ鉛垂向下。 7-32 試確定圖示箱形開(kāi)口薄壁截面梁彎曲中心A的位置。設(shè)截面的壁厚t為常量，且壁厚及開(kāi)口切縫都很小。 7-33 試確定圖示薄壁截面梁彎曲中心A的位置，設(shè)壁厚t為常量。 - 187 -