第十四講等腰三角形中考要求板塊考試要求A級(jí)要求B級(jí)要求C級(jí)要求等腰三角形了解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的概念，會(huì)識(shí)別這三種圖形；理解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定能用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定解決簡(jiǎn)單問(wèn)題會(huì)運(yùn)用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)睛等腰三角形1 等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形2 等邊三角形的定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形3 等腰三角形的性質(zhì)：(1)兩腰相等(2)兩底角相等(3)“三線合一”，即頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(4)是軸對(duì)稱圖形，底邊的垂直平分線是它的對(duì)稱軸線段的垂直平分線：性質(zhì)定理：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等判定定理：與線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，線段的垂直平分線可以看做是和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合4 等腰三角形的判定：(1)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形(2)有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形5 等邊三角形的性質(zhì)：三邊都相等，三個(gè)角都相等，每一個(gè)角都等于6 等邊三角形的判定： (1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形 (2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形 (3)有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形7 等腰直角三角形的性質(zhì)：頂角等于，底角等于，兩直角邊相等等腰直角三角形的判定：(1)頂角為的等腰三角形(2)底角為的等腰三角形重、難點(diǎn)重點(diǎn)：探索等腰三角形“等邊對(duì)等角”和“三線合一”的性質(zhì)，這兩個(gè)性質(zhì)對(duì)于平面幾何中的計(jì)算，以及以后的證明都有很大的幫助 難點(diǎn)：等腰三角形關(guān)于底和腰，底角和頂角的計(jì)算問(wèn)題，由于等腰三角形底和腰，底角和頂角性質(zhì)性質(zhì)特點(diǎn)很容易混淆，而且他們?cè)谟梅ê陀懻撋虾苡锌季?，只能在練?xí)中加以訓(xùn)練例題精講板塊一、等腰三角形的認(rèn)識(shí)【例 1】 下列兩個(gè)命題：如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等；如果一個(gè)等腰三角形有一個(gè)內(nèi)角是，那么這個(gè)等腰三角形一定是等邊三角形則以下結(jié)論正確的是( )A只有命題正確 B只有命題正確C命題、都正確 D命題、都不正確【解析】 C【例 2】 如圖，在 中，于請(qǐng)你再添加一個(gè)條件，就可以確定是等腰三角形你添加的條件是 【解析】 或平分或【例 3】 (2006年揚(yáng)州中考)如圖，在中，、分別是、上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)，給出下列四個(gè)條件：；(1)上述四個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定是等腰三角形(用序號(hào)寫出所有情況)；(2)選擇第小題中的一種情形，證明是等腰三角形【解析】 (1)，四種情況可判定是等腰三角形(2)下面以兩個(gè)條件證明是等腰三角形，是等腰三角形【例 4】 如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，連接，則是等邊三角形；當(dāng)為多少度時(shí)，是等腰三角形？【解析】 分三種情況討論：要使，需，要使，需，要使，需綜上所述：當(dāng)?shù)亩葦?shù)為或或時(shí)，是等腰三角形【例 5】 (2007福建晉江中考)如圖，將一個(gè)等腰直角三角形按圖示方式依次翻折，若，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有( )平分； 長(zhǎng)為；是等腰三角形； 的周長(zhǎng)等于的長(zhǎng)A 1個(gè)； B2個(gè)； C3個(gè)； D4個(gè)【解析】 由圖可知，又，的周長(zhǎng)又，是等腰三角形故正確【例 6】 如圖，分別平分，問(wèn)：圖中有幾個(gè)等腰三角形？過(guò)點(diǎn)作，如圖，交于，交于，圖中又增加了幾個(gè)等腰三角形？如圖，若將題中的改為不等邊三角形，其他條件不變，圖中有幾個(gè)等腰三角形？線段與、有什么關(guān)系？如圖，平分，平分外角交于，交于線段 與、有什么關(guān)系？如圖，、為外角、的平分線，交延長(zhǎng)線于，交 延長(zhǎng)線于，線段與、有什么關(guān)系？ 【解析】 圖中有兩個(gè)等腰三角形：、圖中又增加了三個(gè)等腰三角形：、圖中有兩個(gè)等腰三角形：、，由于，故圖所示中仍有兩個(gè)等腰三角形、從而，又，故如圖所示與類似，板塊二、等腰三角形的性質(zhì)【例 7】 (2008烏魯木齊)某等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為和，則它的周長(zhǎng)為( )A或【解析】 【例 8】 已知等腰三角形的周長(zhǎng)為，一腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的倍，則腰長(zhǎng)是( ) A B C D【解析】 B【例 9】 (2008沈陽(yáng))若等腰三角形中有一個(gè)角等于，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為()A或或【解析】 【鞏固】(2007重慶中考)已知一個(gè)等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為( )A B C或 D【解析】 當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫殁g角時(shí)，內(nèi)角的度數(shù)之比為 ，此時(shí)頂角為；當(dāng)頂角為鈍角時(shí)，內(nèi)角的度數(shù)之比為 ，此時(shí)頂角為故選【例10】 (2007四川自貢中考)若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角為，則該三角形的一個(gè)底角為( )A B C或 D或【解析】 C【例11】 (2006自貢)從等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)分別作兩腰的平行線，與兩腰所圍成的平行四邊形的周長(zhǎng)等于三角形的( )A兩腰長(zhǎng)的和周長(zhǎng)一半周長(zhǎng) 一腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)的和【解析】 A【例12】 (2000年常州市中考題)已知等腰三角形一腰上的中線將它們的周長(zhǎng)分為9和12兩部分，求腰長(zhǎng)和底長(zhǎng)【解析】 設(shè)這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)為，底長(zhǎng)為，則，解得，或，解得，而8，8，5和6，6，9均能組成等腰三角形注意等腰三角形中的分類討論【鞏固】等腰三角形的周長(zhǎng)是50，一腰上的中線分得兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)是32和22，求腰長(zhǎng)【解析】 設(shè)這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)為，底長(zhǎng)為，一腰上的中線為，根據(jù)題意可得：或，解得或【例13】 (05年青島中考題)已知等腰三角形的周長(zhǎng)為12，腰長(zhǎng)為，求的取值范圍【解析】 ，且，解得【例14】 已知等腰三角形的周長(zhǎng)為16，三邊長(zhǎng)為整數(shù)，求底邊長(zhǎng)【解析】 設(shè)腰長(zhǎng)為，則，則，底邊分別為6，4，2【鞏固】已知等腰三角形的周長(zhǎng)為20，三邊長(zhǎng)為整數(shù)，求底邊長(zhǎng)【解析】 設(shè)腰長(zhǎng)為，且，解得，則腰長(zhǎng)為6、7、8、9，對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)為8、6、4、2【例15】 等腰三角形中一角是另一角的2倍，求各內(nèi)角的度數(shù)【解析】 (1)若底角是頂角的2倍，設(shè)頂角為，則，三角形三內(nèi)角依次是，(2)若頂角是一底角的2倍，設(shè)底角為，則，三角形三內(nèi)角依次是，【例16】 已知是等腰一腰上的高，且，求三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)【解析】 若為鈍角三角形時(shí)，為頂角時(shí)，三內(nèi)角大小為140，20，20；若為鈍角三角形時(shí)，為底角時(shí)，三內(nèi)角大小為100，40，40；若為銳角三角形時(shí)，為頂角，三內(nèi)角大小為40，70，70【例17】 在中，求【解析】 設(shè)，則，在中，可得，【鞏固】在中，求【解析】 設(shè)，則，在中，解得【例18】 (2000年威海市中考試題)等腰三角形的頂角，如果過(guò)它的頂角頂點(diǎn)作一直線能夠?qū)⑺殖蓛蓚€(gè)等腰三角形，求【解析】 由題意，畫(huà)出圖形如圖所示，這里，和都是等腰三角形，設(shè)，則，中，【例19】 的兩邊和的垂直平分線分別交于、，若，求【解析】 根據(jù)題意可得：，則即，解得【例20】 (河南省數(shù)學(xué)競(jìng)賽)如圖，在中，在上，在上取一點(diǎn)，使得，求的度數(shù)【解析】 由題設(shè)，及三角形外角定理，即，有而故，即【例21】 (2001年龍巖市、寧德市中考試題)如圖所示，已知中，、為邊上的點(diǎn)，且，求證：【解析】 作于，又， 考察垂直平分線的性質(zhì)【例22】 如圖，為等邊三角形，延長(zhǎng)到，又延長(zhǎng)到，使，連接，求證：為等腰三角形【解析】 延長(zhǎng)到，使得，連接為等邊三角形， 又為等邊三角形 ， 【例23】 如圖，在中，為銳角，分別為邊、上的點(diǎn)，滿足，且求證： 【解析】 分析若，則問(wèn)題迎刃而解直接證明困難，可考慮反證法解 若，則在上取一點(diǎn)，使，連接交于，連接在與中，故于是有，所以，從而，故從而有但另一方面，由于，知，所以從而矛盾故假設(shè)不成立若，同法可證假設(shè)不成立綜上所述，于是由知，從而說(shuō)明：在某些平面幾何問(wèn)題的證明中，反證法也是常用的方法家庭作業(yè)【習(xí)題1】(2007雙柏中考)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和9，則第三邊長(zhǎng)為 【解析】 當(dāng)腰長(zhǎng)為9時(shí)，三邊長(zhǎng)為4、9、9；當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí)，三邊長(zhǎng)為4、4、9 ，不符合三角形的三邊關(guān)系，故腰長(zhǎng)為9【習(xí)題2】(1997年北京市競(jìng)賽題)等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成和兩部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊的長(zhǎng)為( )A B C或 D無(wú)法確定【解析】 設(shè)腰長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)為，此題可分為兩類，或，第一類無(wú)解；第二類解為，故選【習(xí)題3】已知等腰三角形的周長(zhǎng)為20，腰長(zhǎng)為，求的取值范圍【解析】 ，且，解得【習(xí)題4】(2001年江蘇中考題)如下圖所示，中，在上，求的度數(shù)【解析】 設(shè)，則，由外角定理得，即，則又，月測(cè)備選【備選1】的一個(gè)內(nèi)角的大小是，且，那么的外角的大小是( )A B或 C 或 D 或【解析】 D【備選2】已知等腰三角形一腰上的中線將它們的周長(zhǎng)分為12和15兩部分，求腰長(zhǎng)和底長(zhǎng)【解析】 設(shè)這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)為，底長(zhǎng)為，則，解得，或，解得，而10，10，7和8，8，9均能組成等腰三角形 2010年·暑假 初二數(shù)學(xué)·第14講· 教師版 page 11 of 11