排列組合公式/排列組合計(jì)算公式排列 P-和順序有關(guān)組合 C -不牽涉到順序的問題排列分順序,組合不分例如 把5本不同的書分給3個(gè)人,有幾種分法. "排列" 把5本書分給3個(gè)人,有幾種分法 "組合"1排列及計(jì)算公式 從n個(gè)不同元素中，任取m(mn)個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列；從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)= n!/(n-m)!(規(guī)定0!=1). 2組合及計(jì)算公式 從n個(gè)不同元素中，任取m(mn)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合；從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).用符號 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/(n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3其他排列與組合公式 從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素的循環(huán)排列數(shù)p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n個(gè)元素被分成k類，每類的個(gè)數(shù)分別是n1,n2,.nk這n個(gè)元素的全排列數(shù)為 n!/(n1!*n2!*.*nk!). k類元素,每類的個(gè)數(shù)無限,從中取出m個(gè)元素的組合數(shù)為c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n為下標(biāo)，m為上標(biāo))） Pnm=n×（n-1）.（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）?。ㄗⅲ海∈请A乘符號）；Pnn（兩個(gè)n分別為上標(biāo)和下標(biāo)） =n！；0！=1；Pn1（n為下標(biāo)1為上標(biāo)）=n 組合（Cnm(n為下標(biāo)，m為上標(biāo))） Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m?。╪-m）??；Cnn（兩個(gè)n分別為上標(biāo)和下標(biāo)） =1 ；Cn1（n為下標(biāo)1為上標(biāo)）=n；Cnm=Cnn-m 2008-07-08 13:30公式P是指排列，從N個(gè)元素取R個(gè)進(jìn)行排列。公式C是指組合，從N個(gè)元素取R個(gè)，不進(jìn)行排列。N-元素的總個(gè)數(shù) R參與選擇的元素個(gè)數(shù) ！-階乘 ，如9！9*8*7*6*5*4*3*2*1從N倒數(shù)r個(gè)，表達(dá)式應(yīng)該為n*（n-1)*(n-2).(n-r+1);     因?yàn)閺膎到（n-r+1)個(gè)數(shù)為n（n-r+1)r舉例：Q1: 有從1到9共計(jì)9個(gè)號碼球，請問，可以組成多少個(gè)三位數(shù)？A1:  123和213是兩個(gè)不同的排列數(shù)。即對排列順序有要求的，既屬于“排列P”計(jì)算范疇。  上問題中，任何一個(gè)號碼只能用一次，顯然不會出現(xiàn)988,997之類的組合， 我們可以這么看，百位數(shù)有9種可能，十位數(shù)則應(yīng)該有9-1種可能，個(gè)位數(shù)則應(yīng)該只有9-1-1種可能，最終共有9*8*7個(gè)三位數(shù)。計(jì)算公式P（3，9)9*8*7,(從9倒數(shù)3個(gè)的乘積）Q2: 有從1到9共計(jì)9個(gè)號碼球，請問，如果三個(gè)一組，代表“三國聯(lián)盟”，可以組合成多少個(gè)“三國聯(lián)盟”？A2:  213組合和312組合，代表同一個(gè)組合，只要有三個(gè)號碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于“組合C”計(jì)算范疇。  上問題中，將所有的包括排列數(shù)的個(gè)數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個(gè)數(shù)即為最終組合數(shù)C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、組合的概念和公式典型例題分析 例1 設(shè)有3名學(xué)生和4個(gè)課外小組（1）每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組；（2）每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加各有多少種不同方法？ 解（1）由于每名學(xué)生都可以參加4個(gè)課外小組中的任何一個(gè)，而不限制每個(gè)課外小組的人數(shù)，因此共有 種不同方法 （2）由于每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加，因此共有 種不同方法 點(diǎn)評   由于要讓3名學(xué)生逐個(gè)選擇課外小組，故兩問都用乘法原理進(jìn)行計(jì)算   例2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不排第四的不同排法共有多少種？ 解依題意，符合要求的排法可分為第一個(gè)排 、 、 中的某一個(gè)，共3類，每一類中不同排法可采用畫“樹圖”的方式逐一排出： 符合題意的不同排法共有9種 點(diǎn)評   按照分“類”的思路，本題應(yīng)用了加法原理為把握不同排法的規(guī)律，“樹圖”是一種具有直觀形象的有效做法，也是解決計(jì)數(shù)問題的一種數(shù)學(xué)模型 例判斷下列問題是排列問題還是組合問題？并計(jì)算出結(jié)果 （1）高三年級學(xué)生會有11人：每兩人互通一封信，共通了多少封信？每兩人互握了一次手，共握了多少次手？ （2）高二年級數(shù)學(xué)課外小組共10人：從中選一名正組長和一名副組長，共有多少種不同的選法？從中選2名參加省數(shù)學(xué)競賽，有多少種不同的選法？ （3）有2，3，5，7，11，13，17，19八個(gè)質(zhì)數(shù)：從中任取兩個(gè)數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商？從中任取兩個(gè)求它的積，可以得到多少個(gè)不同的積？ （4）有8盆花：從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法？從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法？ 分析（1）由于每人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關(guān)是排列；由于每兩人互握一次手，甲與乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序無關(guān)，所以是組合問題其他類似分析 （1）是排列問題，共用了 封信；是組合問題，共需握手 （次） （2）是排列問題，共有 （種）不同的選法；是組合問題，共有 種不同的選法 （3）是排列問題，共有 種不同的商；是組合問題，共有 種不同的積 （4）是排列問題，共有 種不同的選法；是組合問題，共有 種不同的選法 例證明 證明 左式 右式 等式成立 點(diǎn)評這是一個(gè)排列數(shù)等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì) ，可使變形過程得以簡化 例5化簡 解法一原式 解法二原式 點(diǎn)評   解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式，并利用階乘的性質(zhì)；解法二選用了組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，都使變形過程得以簡化 例6解方程：（1） ；（2） 解 （1）原方程 解得 （2）原方程可變?yōu)?， ， 原方程可化為 即 ，解得 第六章  排列組合、二項(xiàng)式定理 一、考綱要求 1.掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個(gè)原理分析解決一些簡單的問題.2.理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的問題.3.掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和論證一些簡單問題.二、知識結(jié)構(gòu)        三、知識點(diǎn)、能力點(diǎn)提示 (一)加法原理乘法原理說明  加法原理、乘法原理是學(xué)習(xí)排列組合的基礎(chǔ)，掌握此兩原理為處理排 列、組合中有關(guān)問題提供了理論根據(jù).例1  5位高中畢業(yè)生，準(zhǔn)備報(bào)考3所高等院校，每人報(bào)且只報(bào)一所，不同的報(bào)名方法共有多少種?解：  5個(gè)學(xué)生中每人都可以在3所高等院校中任選一所報(bào)名，因而每個(gè)學(xué)生都有3種不同的 報(bào)名方法，根據(jù)乘法原理，得到不同報(bào)名方法總共有3×3×3×3×3=35(種)(二)排列、排列數(shù)公式說明  排列、排列數(shù)公式及解排列的應(yīng)用題，在中學(xué)代數(shù)中較為獨(dú)特，它研 究的對象以及研 究問題的方法都和前面掌握的知識不同，內(nèi)容抽象，解題方法比較靈活，歷屆高考主要考查排列的應(yīng)用題，都是選擇題或填空題考查.例2  由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50 000的 偶數(shù)共有(    )A.60個(gè)        B.48個(gè)        C.36個(gè)        D.24個(gè)解  因?yàn)橐笫桥紨?shù)，個(gè)位數(shù)只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位數(shù)，萬位只能是1、3或2、4中剩下的一個(gè)的排法有P13;在首末兩位數(shù)排定后，中間3個(gè)位數(shù)的排法有P33，得P13P33P1236(個(gè))由此可知此題應(yīng)選C.例3  將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號為1、2、3、4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不同的填法有多少種?解：  將數(shù)字1填入第2方格，則每個(gè)方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不相同的填法有3種，即214 3，3142，4123；同樣將數(shù)字1填入第3方格，也對應(yīng)著3種填法；將數(shù)字1填入第4方格，也對應(yīng)3種填法，因此共有填法為3P13=9(種).例四例五可能有問題，等思考三)組合、組合數(shù)公式、組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)說明  歷屆高考均有這方面的題目出現(xiàn)，主要考查排列組合的應(yīng)用題，且基本上都是由選擇題或填空題考查.例4  從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任意取出3臺，其中至少有甲型與乙型電視機(jī)各1臺，則不同的取法共有(    )A.140種      B.84種      C.70種       D.35種解：  抽出的3臺電視機(jī)中甲型1臺乙型2臺的取法有C14·C25種；甲型2臺乙型1臺的取法有C24·C15種根據(jù)加法原理可得總的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(種 )可知此題應(yīng)選C.例5  甲、乙、丙、丁四個(gè)公司承包8項(xiàng)工程，甲公司承包3項(xiàng)，乙公司承包1 項(xiàng)，丙、丁公司各承包2項(xiàng)，問共有多少種承包方式?解：  甲公司從8項(xiàng)工程中選出3項(xiàng)工程的方式 C38種；乙公司從甲公司挑選后余下的5項(xiàng)工程中選出1項(xiàng)工程的方式有C15種；丙公司從甲乙兩公司挑選后余下的4項(xiàng)工程中選出2項(xiàng)工程的方式有C24種；丁公司從甲、乙、丙三個(gè)公司挑選后余下的2項(xiàng)工程中選出2項(xiàng)工程的方式有C22種.根據(jù)乘法原理可得承包方式的種數(shù)有C3 8×C15×C24×C22= ×1=1680(種).(四)二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)展開式的性質(zhì)說明  二項(xiàng)式定理揭示了二項(xiàng)式的正整數(shù)次冪的展開法則，在數(shù)學(xué)中它是常用的基礎(chǔ)知識 ，從1985年至1998年歷屆高考均有這方面的題目出現(xiàn)，主要考查二項(xiàng)展開式中通項(xiàng)公式等，題型主要為選擇題或填空題.例6  在(x- )10的展開式中，x6的系數(shù)是(    ) A.-27C610        B.27C410        C.-9C610        D.9C410解  設(shè)(x- )10的展開式中第+1項(xiàng)含x6，因T+1=C10x10-(- )，10-=6,=4于是展開式中第5項(xiàng)含x 6，第5項(xiàng)系數(shù)是C410(- )4=9C410故此題應(yīng)選D.例7    (x-1)-(x-1)2(x-1)3-(x-1)+(x-1)的展開式中的x的系數(shù)等于                解：此題可視為首項(xiàng)為x-1，公比為-(x-1)的等比數(shù)列的前5項(xiàng)的和，則其和為在(x-1)6中含x3的項(xiàng)是C36x3(-1)3=-20x3，因此展開式中x2的系數(shù)是-2 0.(五)綜合例題賞析例8  若(2x+ )4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值為(    )A.1                        B.-1             C.0           D.2解：A. 例9  2名醫(yī)生和4名護(hù)士被分配到2所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2 名護(hù)士，不同的分配方法共有(    )A.6種            B.12種          C.18種            D.24種解  分醫(yī)生的方法有P222種，分護(hù)士方法有C24=6種，所以共有6×212種不同的分配方法。應(yīng)選B.例10  從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任意取出3臺，其 中至少要有甲型與乙型電視機(jī)各1臺，則不同取法共有(    ).A.140種          B.84種          C.70種           D.35種解：取出的3臺電視機(jī)中，甲型電視機(jī)分為恰有一臺和恰有二臺兩種情形.C24·+C25·C14=5×6+10×4=70.應(yīng)選C.例11  某小組共有10名學(xué)生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2 名代表，至少有1名女生當(dāng)選的不同選法有(    )A.27種      B.48種      C.21種       D.24種解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表兩類：C13·C1 7+C23=3×7+3=24，應(yīng)選D.例12  由數(shù)學(xué)0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的 六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有(    ).A.210個(gè)                  B.300個(gè)C.464個(gè)                  D.600個(gè)解：先考慮可組成無限制條件的六位數(shù)有多少個(gè)?應(yīng)有P15·P 55=600個(gè).由對稱性，個(gè)位數(shù)小于十位數(shù)的六位數(shù)和個(gè)位數(shù)大于十位數(shù)的六位數(shù)各占一半.有 ×600=300個(gè)符合題設(shè)的六位數(shù).應(yīng)選B.例13  以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的 四面體共有(    ).A.70個(gè)                   B.64個(gè)C.58個(gè)                   D.52個(gè)解：如圖，正方體有8個(gè)頂點(diǎn)，任取4個(gè)的組合數(shù)為C48=70個(gè).其中共面四點(diǎn)分3類：構(gòu)成側(cè)面的有6組；構(gòu)成垂直底面的對角面的有2組；形如(ADB1C1 )的有4組.能形成四面體的有70-6-2-4=58(組)應(yīng)選C.例14  如果把兩條異面直線看成“一對”，那么六棱 錐的棱所在的12條直線中，異面直線共有(    ).A.12對                      B.24對C.36對                      D.48對解：設(shè)正六棱錐為OABCDEF.任取一側(cè)棱OA(C16)則OA與BC、CD、DE、EF均形成異面直線對.共有C16×4=24對異面直線.應(yīng)選B.例15  正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中三個(gè)點(diǎn) 為頂點(diǎn)的三角形共         個(gè)(以數(shù)字作答).解：7點(diǎn)中任取3個(gè)則有C37=35組.其中三點(diǎn)共線的有3組(正六邊形有3條直徑).三角形個(gè)數(shù)為35-3=32個(gè).例16  設(shè)含有10個(gè)元素的集合的全部子集數(shù)為S，其中由3個(gè)元素組成的子集數(shù)為T，則 的值為                。解  10個(gè)元素的集合的全部子集數(shù)有：SC010+C110+C210+C310+C410+C510+C610+C710+C810+C910+C1010=2 10=1024其中，含3個(gè)元素的子集數(shù)有T=C310=120故 = 例17        例17        在50件產(chǎn)品 n 中有4件是次品，從中任意抽了5件 ，至少有3件是次品的抽法共            種(用數(shù)字作答).解：“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.C34·C246+C44·C146=4186(種)例18  有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、 丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有(    ).A.1260種                     B.2025種C.2520種                     D.5040種解：先從10人中選2個(gè)承擔(dān)任務(wù)甲(C210)再從剩余8人中選1人承擔(dān)任務(wù)乙(C1 8)又從剩余7人中選1人承擔(dān)任務(wù)乙(C1 7)有C210·C1 8C1 7=2520(種).應(yīng)選C.例19  集合1，2，3子集總共有(    ).A.7個(gè)      B.8個(gè)      C.6個(gè)       D.5個(gè)解  三個(gè)元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一個(gè)，由一個(gè)元素組成的子集數(shù)C13，由二個(gè)元素組成的子集數(shù)C23。由3個(gè)元素組成的子集數(shù)C33。由加法原理可得集合子集的總個(gè)數(shù)是C13+C23+C33+1=3+3+1+18故此題應(yīng)選B.例20  假設(shè)在200件產(chǎn)品中有3件是次品，現(xiàn)在從中任意抽取5件，其中至少有兩件次品的抽法有(    ).A.C23C3197種        B.C23C3197 +C33C2197C.C5200-C5197                D.C5200-C 13C4197解：5件中恰有二件為次品的抽法為C23C3197，5件中恰三件為次品的抽法為C33C2197，至少有兩件次品的抽法為C23C3197+C33C2197.應(yīng)選B.例21  兩排座位，第一排有3個(gè)座位，第二排有5個(gè)座位，若8名學(xué)生入座(每人一個(gè)座位)，則不同座法的總數(shù)是(    ).A.C58C38         B.P12C58C38C.P58P38