第15講 導數(shù)的意義及運算1.函數(shù)導數(shù)的定義2.導數(shù)的幾何意義和物理意義(1)導數(shù)的幾何意義：函數(shù) yf(x)在 x0 處的導數(shù) f(x0)的幾何意義，就是曲線 yf(x)在點 P(x0，f(x0)處的切線的斜率.相應地，切線方程為 yf(x0)f(x0)(xx0).(2)導數(shù)的物理意義：在物理學中，如果物體運動的規(guī)律是 ss(t)，那么該物體在時刻 t0 的瞬時速度為 vs(t0).如果物體運動的速度隨時間變化的規(guī)律是 vv(t)，則該物體在時刻t0 的瞬時加速度為 av(t0).3.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表0 x1sin xex1x4.運算法則u(x)v(x)u(x)v(x)C1.已知函數(shù) f(x)42x2，則 f(x)(A.4xB.8xC.82xD.16x2.(2018 年新課標)曲線 y(ax1)ex 在點(0,1)處的切線的斜率為2，則 a_.34.若函數(shù) f(x)ln xax 在點 P(1，b)處的切線與 x3y20 垂直，則 2ab()A.2B.0C.1D.2AD考點1導數(shù)的概念所以正確.故選 B.答案：Bf(x0k)f(x0)【互動探究】1.若 f(x0)2，則lim k02k()A.1B.2C.1D.12Ax ，f(1)e1ln 1 e.考點2導數(shù)的計算例2：(1)(2018年天津)已知函數(shù) f(x)exln x，f(x)為 f(x)的導函數(shù)，則 f(1)的值為_.f(x)exlnexx解析：由函數(shù)的解析式，可得e11答案：e(2)已知函數(shù) f(x)的導函數(shù)為 f(x)，且滿足 f(x)3x2 2xf(2)，則 f(5)_.解析：對 f(x)3x22xf(2)求導，得 f(x)6x2f(2).令 x2，得 f(2)12.再令 x5，得 f(5)652f(2)6.答案：6(3)設函數(shù)f(x)在(0，)內(nèi)可導，其導函數(shù)為f(x)，且x)xln x，則 f(1)_.解析：f(ln x)xln x，令 ln xt，xet，則 f(t)ett，即 f(x)exx.又 f(x)ex1，f(1)e1.答案：e1f(ln【規(guī)律方法】求函數(shù)的導數(shù)時，要準確地把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導數(shù)，對于不具備求導法則的結(jié)構(gòu)形式要進行適當?shù)暮愕茸冃?注意求函數(shù)的導數(shù)(尤其是對含有多個字母的函數(shù))時，一定要清楚函數(shù)的自變量是什么，對誰求導，如f(x)x2sin 的自變量為x，而f()x2sin 的自變量為.考點3導數(shù)的幾何意義考向1導數(shù)的物理意義答案：D考向2導數(shù)的幾何意義例4：(1)(2017 年新課標)曲線線方程為_.1.所以在點(1,2)處的切線方程為 y21(x1)，即 yx1.答案：yx1解析：f(x)axlnx，f(1)a，f(x)a ，f(1)a1，(2)(2017 年天津)已知 aR，設函數(shù) f(x)axln x 的圖象在點(1，f(1)處的切線為 l，則 l 在 y 軸上的截距為_.1x所以在點(1，a)處的切線為 ya(a1)(x1)，即 y(a1)x1，在 y 軸上的截距為 1.答案：1(3)(2016年新課標)已知f(x)為偶函數(shù)，當x0時，f(x)ln(x)3x，則曲線yf(x)在點(1，3)處的切線方程是_.答案：y2x1(4)(2018 年新課標)設函數(shù) f(x)x3(a1)x2ax，若 f(x)為奇函數(shù)，則曲線 yf(x)在點(0,0)處的切線方程為()A.y2xC.y2xB.yxD.yx解析：函數(shù) f(x)x3(a1)x2ax 為奇函數(shù)，則 a1，f(x)x3x，f(x)3x21，f(0)1.則曲線 yf(x)在點(0,0)處的切線方程為 yx.故選 D.答案：D【規(guī)律方法】求曲線yf(x)在點 P(x0，f(x0)處(該點為切點)的切線方程，其方法如下：求出函數(shù)yf(x)在 xx0 處的導數(shù) f(x0)，即函數(shù) yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率；切點為P(x0，f(x0)，切線方程為 yf(x0)f(x0)(xx0).易錯、易混、易漏 混淆“在某點處的切線”與“過某點的切線”致誤例題：已知曲線 f(x)x3x，則：(1)曲線在點(1,0)處的切線方程為_；(2)曲線過點(1,0)的切線方程為_；解析：f(x)3x21.(1)曲線在點(1,0)處的切線的斜率為 kf(1)2.又切點為(1,0)，所求切線方程為 y2(x1)，即 2xy20.答案：(1)2xy20(2)2xy20 或 x4y10【失誤與防范】(1)通過例題的學習，要徹底改變“切線與曲線有且只有一個公共點”“直線與曲線只有一個公共點，則該直線就是切線”這一傳統(tǒng)誤區(qū)，如“直線 y1 與 ysin x 相切，卻有無數(shù)個公共點”，而“直線 x1 與 yx2 只有一個公共點，顯然直線 x1 不是切線”.(2)求曲線 yf(x)在點 P(x0，f(x0)處(該點為切點)的切線方程，其方法如下：求出函數(shù)yf(x)在xx0 處的導數(shù)f(x0)，即函數(shù)yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率；切點為P(x0，f(x0)，切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0).(3)求曲線yf(x)過點P(x0，f(x0)(該點不一定為切點)的切線方程，其方法如下：設切點 A(xA，yA)，求切線的斜率 kf(xA)；利用斜率公式kf(x0)yAx0 xAf(xA)建立關(guān)于 xA 的方程，解出xA，進而求出切線方程.