第14講函數(shù)模型及其應用1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用.1.常見的幾種函數(shù)模型2.三種函數(shù)模型性質(zhì)比較遞增慢x函數(shù)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的單調(diào)性單調(diào)_單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越_相對平穩(wěn)圖象的變化隨x值增大，圖象與y軸接近平行隨x值增大，圖象與_軸接近平行隨n值變化而不同1.某家具的標價為 132 元，若降價以九折出售(即優(yōu)惠 10%)，仍可獲利 10%(相對進貨價)，則該家具的進貨價是()DA.118 元C.106 元B.105 元D.108 元加油時間加油量/升加油時的累計里程/千米2015 年 5 月 1 日1235 0002015 年 5 月 15 日4835 6002.(2015 年北京)某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況.注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程.在這段時間內(nèi)，該車每 100 千米平均耗油量為()BA.6 升B.8 升C.10 升D.12 升3.用長度為 24 的材料圍一個矩形場地，中間加兩道隔墻，)A要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為(A.3B.4C.6D.12x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.614.在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù).現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是()238，不合要求；C中，當x3時，y(321)4，不合解析：方法一，由表格知當 x3 時，y1.59，而 A 中 y12要求；D 中，當 x3 時，y2.61cos 30)是正比例與反比例ax函數(shù)的綜合題型，解決這類問題首先考慮基本不等式，當基本不等式中等號不成立時要利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，當然也可以利用導數(shù)求最值.考點2二次函數(shù)類的實際問題例2：某企業(yè)生產(chǎn) A，B 兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預測，A 產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖 2142(1)；B 產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖 2142(2).(注：利潤和投資單位：萬元)(1)(2)圖2142(1)分別將 A，B 兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知該企業(yè)已籌集到 18 萬元資金，并將全部投入 A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn).若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤？問：如果你是廠長，怎樣分配這 18 萬元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？此時 x16,18x2.所以當 A，B 兩種產(chǎn)品分別投入 2 萬元、16 萬元時，可使該企業(yè)獲得最大利潤，為 8.5 萬元.【規(guī)律方法】二次函數(shù)是我們比較熟悉的函數(shù)模型，建立二次函數(shù)模型可以求出函數(shù)的值域或最值.解決實際中的優(yōu)化問題時，一定要分析自變量的取值范圍.利用配方法求最值時，一定要注意對稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系：若對稱軸在給定的區(qū)間內(nèi)，可在對稱軸處取一最值，在離對稱軸較遠的端點處取另一最值；若對稱軸不在給定的區(qū)間內(nèi)，最值在區(qū)間的端點處取得.另外，在實際的問題中，還要考慮自變量為整數(shù)的問題.【互動探究】1.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖 2143，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(圖中陰影部分)備用，當截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長 x，y 應為()圖 2143A.x15，y12B.x12，y15C.x14，y10D.x10，y14答案：A考點3分段函數(shù)類的實際問題例3：國家規(guī)定個人稿費納稅辦法為：不超過 800 元的不納稅；超過 800 元而不超過 4000 元的按超過部分的 14%納稅；超過 4000 元的按全稿酬的 11.2%納稅，若某人共納稅 420 元，)則這個人的稿費為(A.3000 元C.3818 元B.3800 元D.5600 元解析：由題意可建立納稅額 y 關(guān)于稿費 x(單位：元)的函數(shù)0，x800，解析式為 y 0.14(x800)，8004000，顯然由 0.14(x800)420，可得 x3800(元).故選 B.答案：B【規(guī)律方法】分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當作幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值的取舍，構(gòu)造分段函數(shù)時，要力求準確、簡潔，做到分段合理、不重不漏.月份 3用氣量/m煤氣費/元一月份44二月份2514三月份3519m)和煤氣費 f(x)(單位：元)滿足關(guān)系 f(x)【互動探究】2.(2017 年北京西城區(qū)二模)某市家庭煤氣的使用量x(單位：3C，0 xA，CB(xA)，xA.已知某家庭 2016 年前三個月的煤氣費如下表：若四月份該家庭使用了 20 m3 的煤氣，則其煤氣費為()A.11.5 元B.11 元C.10.5 元D.10 元答案：A難點突破指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型例題：某公司為了實現(xiàn) 2019 年 1000 萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：銷售利潤達到 10 萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金數(shù)額 y(單位：萬元)隨銷售利潤 x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金數(shù)額不超過 5 萬元，同時獎金數(shù)額不超過利潤的 25%，現(xiàn)有三個獎勵模型：y0.025x，要求？說明理由.(參考數(shù)據(jù)：1.0036006，e2.718 828，e82981)解：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當 x10,1000時，函數(shù)為增函數(shù)；函數(shù)的最大值不超過 5；yx25%.對于 y0.025x，易知滿足，但當 x200，y5，不滿足公司的要求；對于 y1.003x，易知滿足，但當 x600 時，y6,不滿足公司的要求；【互動探究】3.(2015 年四川)某食品的保鮮時間 y(單位：小時)與儲藏溫度 x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系 yekxb(e2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b 為常數(shù)).若該食品在 0 的保鮮時間是 192 小時，在 22 的保鮮時間是 48 小時，則該食品在 33 的保鮮時間是()A.16 小時C.24 小時B.20 小時D.21 小時答案：C4.(2014 年湖南)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長率為 p，第二年的增長率為 q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()D