第9講 冪函數(shù)1.冪函數(shù)的定義一般地，形如yx(R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x 是自變量，是常數(shù).2.冪函數(shù)的圖象圖 2-9-13.冪函數(shù) yx的圖象在第一象限內(nèi)，直線 x1 的右側(cè)，圖象由下至上，指數(shù)由小到大；y 軸和直線x1之間，圖象由上至下，指數(shù)由小到大.0，)(，0)(0，)單調(diào)遞減2.函數(shù) yx 的圖象是(1.所有冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)是()A.(0,0)C.(1,1)B.(0,1)D.(1，1)ABCD13CB3.若冪函數(shù) yf(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，則冪函數(shù) yf(x)的圖象是()CABCD4.如圖 2-9-2，曲線是冪函數(shù) yx在第一象限內(nèi)的圖象.已12圖 2-9-2c4,c2,c3,c1知分別取1,1,2四個(gè)值，則相應(yīng)圖象依次為：_.考點(diǎn)1冪函數(shù)的概念答案：C(2)(2017 年江西九江七校聯(lián)考)冪函數(shù) f(x)(m2 4m 4)在(0，)為增函數(shù)，則 m 的值為()A.1 或 3C.3B.1D.2268mmx解析：由題意，可知m24m41，m2 6m80，解得 m1.故選 B.答案：B【規(guī)律方法】(1)冪函數(shù) yx的特點(diǎn)：系數(shù)必須為 1；指數(shù)必須為常數(shù).(2)第(2)小題求出 m1 或 m3 后需根據(jù)冪函數(shù)為增函數(shù)可知 m3 不符合題意.【互動(dòng)探究】1.已知函數(shù) g(x)loga(x3)2(a0，a1)的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M，若冪函數(shù) f(x)x的圖象過(guò)點(diǎn) M，則的值等于()A.1B.12C.2D.3解析：函數(shù) g(x)loga(x3)2(a0，a1)的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn) M(4,2)，若冪函數(shù) f(x)x的圖象過(guò)點(diǎn) M(4,2)，則 42.B考點(diǎn)2 冪函數(shù)的圖象例2：請(qǐng)把如圖 2-9-3 所示的冪函數(shù)圖象的代號(hào)填入下面的表格內(nèi).AEBFCGDH圖2-9-3函數(shù)代號(hào)圖象代號(hào)答案：E CA G BD HF【規(guī)律方法】(1)探討冪函數(shù)圖象的分布規(guī)律，應(yīng)先觀察圖象是否過(guò)原點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)時(shí)0，否則0，再觀察圖象是上凸還是下凸，上凸時(shí) 01；最后由x1 時(shí)，的值按逆時(shí)針?lè)较蛞来卧龃蟮贸鼋Y(jié)論.(2)冪函數(shù)yx(R)的圖象如下表：【互動(dòng)探究】2.下面給出 4 個(gè)冪函數(shù)的圖象(如圖 2-9-4)，則圖象與函數(shù)的大致對(duì)應(yīng)是()圖 2-9-4答案：B考點(diǎn)3比較大小答案：A答案：C【規(guī)律方法】本題表面是考查零點(diǎn)存在性定理，其實(shí)質(zhì)是比較 的大小.比較兩個(gè)冪的大小，如果指數(shù)相同而底數(shù)不同(即底數(shù)為變量)，此時(shí)利用冪函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較大?。蝗绻讛?shù)相同而指數(shù)不同(即指數(shù)為變量)，此時(shí)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較大小；如果兩個(gè)冪指數(shù)、底數(shù)全不同，此時(shí)需要引入中間變量，常用的中間變量有 0,1 或由一個(gè)冪的底數(shù)和另一個(gè)冪的指數(shù)組成的冪.注意：指數(shù)函數(shù) a1 時(shí)單調(diào)遞增，0a0 時(shí)在第一象限單調(diào)遞增，0 時(shí)在第一象限單調(diào)遞減.【互動(dòng)探究】)Cc 的大小關(guān)系是(A.abcC.bacB.acbD.bca解析：因?yàn)楹瘮?shù) y 0.6x 是減函數(shù)，00.60.60.60.61.5，即 ba1.因?yàn)楹瘮?shù) yx0.6 在(0，)上是增函數(shù)，110.61，即c1.綜上所述，bac.故選C.3.(2015年山東)設(shè)a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，則a，b，易錯(cuò)、易混、易漏 對(duì)冪函數(shù) yx0 理解不透徹例題：已知冪函數(shù) f(x)xm2-2 m-3(mZ)的圖象與 x 軸、y軸都無(wú)交點(diǎn)，且關(guān)于 y 軸對(duì)稱，試確定 f(x)的解析式.【失誤與防范】一般說(shuō)來(lái)，冪函數(shù)f(x)xm2-2 m-3(mZ)的圖象與x 軸、y 軸都無(wú)交點(diǎn)，應(yīng)該馬上想到指數(shù)小于零，其實(shí)函數(shù)f(x)x0 的圖象為除掉點(diǎn)(0,1)的直線y1(x0)，該圖象與x軸、y 軸也都無(wú)交點(diǎn)，且關(guān)于y 軸對(duì)稱，完全符合上題，但容易忽略而出錯(cuò).