第7講 對(duì)數(shù)式與對(duì)數(shù)函數(shù)1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用.2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象通過(guò)的特殊點(diǎn).3.知道對(duì)數(shù)函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)模型.4.了解指數(shù)函數(shù)yax與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù)(a0，且a1).1.對(duì)數(shù)的概念(續(xù)表)2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)(0，)R對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a1)ylogax(0a1)ylogax(0a0，a1)的圖象恒過(guò)點(diǎn)()A.(1,2)B.(2,2)C.(2,3)D.(4,4)2DB4.(2013年新課標(biāo))設(shè) alog36，blog510，clog714，則()A.cbaC.acbB.bcaD.abc解析：a log36 log3(23)log321；b log510 log5(25)log521；clog714log7(27)log721.1log23log25log52log72.abc.故選 D.D考點(diǎn)1對(duì)數(shù)式的運(yùn)算考向1對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用答案：D考向2對(duì)數(shù)恒等式的應(yīng)用答案：A答案：42【規(guī)律方法】(1)題根據(jù)條件中的對(duì)數(shù)式將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，變形即可求解；(2)題利用對(duì)數(shù)恒等式 N；(3)題考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化及換底公式的變形形式logab1logba.對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及換底公式是對(duì)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，應(yīng)該熟記并能靈活應(yīng)用.logaNa考向3換底公式的應(yīng)用例3：(1)(2017 年新課標(biāo))設(shè) x，y，z 為正數(shù)，且 2x3y5z，則()A.2x3y5zC.3y5z2xB.5z2x3yD.3y2x5z答案：D(3)(2018 年新課標(biāo))設(shè) alog0.20.3，blog20.3，則()A.abab0C.ab0abB.abab0D.ab0b1B.b1a0C.0baa1解析：令 y1logax，y2logbx，由于 loga2logb2，它們的函數(shù)圖象可能有如下三種情況.由圖 D7(1)(2)(3)，分別得 0a1b，ab1,0ba1.圖D7答案：D(2)若 A(a，b)，B(c，d)是 f(x)ln x 圖象上不同的兩點(diǎn)，則下列各點(diǎn)一定在 f(x)圖象上的是()A.(ac，bd)C.(ac，bd)B.(ac，bd)D.(ac，bd)解析：因?yàn)?A(a，b)，B(c，d)在 f(x)ln x 的圖象上，所以bln a，dln c.所以 bdln aln cln ac.因此(ac，bd)在 f(x)ln x 的圖象上.故選 C.答案：C【規(guī)律方法】本題(1)中兩個(gè)對(duì)數(shù)的真數(shù)相同，底數(shù)不同，利用單調(diào)性相同的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象在直線 x 1 右側(cè)“底大圖低”的特點(diǎn)比較大小.注意loga2logb2，要考慮兩個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)分別在1 的兩側(cè)、同在1 的右側(cè)及同在0 和1 之間三種情況.【互動(dòng)探究】1.函數(shù) f(x)|log2x|的圖象是()AABCD解析：方法一，f(x)|log2x|log2x，x1，log2x，0 x0，排除B，D，f(x)0，排除 C.故選 A.答案：D圖 D8考點(diǎn)3對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用例5：(1)(2017 年新課標(biāo))已知函數(shù) f(x)ln xln(2x)，則()A.f(x)在(0,2)單調(diào)遞增B.f(x)在(0,2)單調(diào)遞減C.yf(x)的圖象關(guān)于直線 x1 對(duì)稱D.yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱答案：C答案：D(3)函數(shù) f(x)loga(2ax)在0,3上為增函數(shù)，則 a 的取值范圍是()解得 0a.故選 C.0a0，23解析：依題意，可知答案：C【規(guī)律方法】比較兩個(gè)對(duì)數(shù)的大小的基本方法：若底數(shù)相同，真數(shù)不同，可構(gòu)造相應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)，利用其單調(diào)性比較大??；若真數(shù)相同，底數(shù)不同，可轉(zhuǎn)化為同底(利用換底公式)或借助函數(shù)圖象，利用單調(diào)性相同的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象在直線x1右側(cè)“底大圖低”的特點(diǎn)比較大??；若底數(shù)、真數(shù)均不相同，則經(jīng)常借助中間值“0”或“1”比較大小.【互動(dòng)探究】3.(2016年新課標(biāo))若ab0,0c1，則()A.logaclogbc B.logcalogcbC.accb解析：由0cb0，所以logcalogcb.故選B.B思想與方法數(shù)形結(jié)合探討對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例題：已知函數(shù) f(x)|log2x|，正實(shí)數(shù) m，n 滿足 mn，且f(m)f(n).(1)m2n 的取值范圍是(A.(2 ，)C.(3，)B.2 ，)D.3，)(2)若 f(x)在區(qū)間m2，n上的最大值為 2，則 mn()A.1B.52C.1D.222f(m)|log2m|f(n)|log2n|，log2mlog2n，n.解析：正實(shí)數(shù) m，n 滿足 mn，且 f(m)f(n)，如圖 2-7-1，有 0m1，則 m2m.圖 2-7-11m答案：C答案：B【互動(dòng)探究】D4.設(shè)方程1x1|lg x|的兩個(gè)根分別為 x1，x2，則()A.x1x21D.0 x1x21解析：分別作出函數(shù) y1x1和 y|lg x|的圖象如圖 D9，不妨設(shè) 0 x11|lg x2|.lg x1lg x2，即 lg x1lg x20.0 x1x21.故選 D.圖 D9