第13講抽象函數(shù)1.了解函數(shù)模型的實(shí)際背景.2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)的解析式理解和研究函數(shù)的性質(zhì).1.下列四類函數(shù)中，有性質(zhì)“對(duì)任意的 x0，y0，函數(shù) f(x)C滿足 f(xy)f(x)f(y)”的是(A.冪函數(shù)C.指數(shù)函數(shù))B.對(duì)數(shù)函數(shù)D.余弦函數(shù)2.已知 f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且 f(x)0，則 f(x)是()BA.奇函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)B.偶函數(shù)D.不確定4.已知函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?0，)，并且對(duì)任意正數(shù) x，y 都有 f(xy)f(x)f(y).(1)f(1)_；(2)若 f(8)3，則 f()_.A 012考點(diǎn)1正比例函數(shù)型抽象函數(shù)例1：設(shè)函數(shù) f(x)對(duì)任意 x，yR，都有 f(xy)f(x)f(y)，且當(dāng) x0 時(shí)，f(x)0，f(1)2.(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；(2)試問當(dāng)3x3 時(shí)，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果沒有，說(shuō)出理由.(1)證明：令 xy0，則有 f(0)2f(0)f(0)0.令 yx，則有 f(0)f(x)f(x)，即 f(x)f(x).f(x)是奇函數(shù).(2)解：當(dāng)3x3 時(shí)，f(x)有最值，理由如下：任取 x10f(x2x1)0.f(x1)f(x2).yf(x)在 R 上為減函數(shù).因此 f(3)為函數(shù)的最小值，f(3)為函數(shù)的最大值.f(3)f(1)f(2)3f(1)6，f(3)f(3)6.函數(shù) f(x)的最大值為 6，最小值為6.【規(guī)律方法】(1)利用賦值法解決抽象函數(shù)問題時(shí)需把握如下三點(diǎn)：一是注意函數(shù)的定義域，二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號(hào)“f”前的“負(fù)號(hào)”，三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“f”.(2)解決正比例函數(shù)型抽象函數(shù)的一般步驟為：f(0)0f(x)是奇函數(shù)f(xy)f(x)f(y)單調(diào)性.(3)判斷單調(diào)性小技巧：設(shè)x10f(x2x1)0f(x2)f(x2 x1 x1)f(x2 x1)f(x1)1時(shí) f(x)0，f(2)1.(1)求證：f(x)是偶函數(shù)；(2)求證：f(x)在(0，)上是增函數(shù)；(3)解不等式 f(2x21)1，且對(duì)任意的 a，bR，有 f(ab)f(a)f(b).(1)求證：f(0)1；(2)求證：對(duì)任意的 xR，恒有 f(x)0；(3)求證：f(x)是 R 上的增函數(shù)；(4)若 f(x)f(2xx2)1，求實(shí)數(shù) x 的取值范圍.0.(1)證明：令 ab0，則 f(0)f(0)2.f(0)0，f(0)1.(2)證明：當(dāng) x0 時(shí)，x0，f(0)f(x)f(x)1.f(x)1f(x)又當(dāng) x0 時(shí)，f(x)10.xR 時(shí)，恒有 f(x)0.f(x2x1)1.(3)證明：設(shè) x1x2，則 x2x10.f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1).x2x10，f(x2x1)1.又f(x1)0，f(x2)f(x1)f(x2)f(x1).f(x)是 R 上的增函數(shù).(4)解：由 f(x)f(2xx2)1，f(0)1，得 f(3xx2)f(0).f(x)是 R 上的增函數(shù)，3xx20.0 x3.實(shí)數(shù) x 的取值范圍是x|0 xx2，x1x20，則 f(x1x2)1，f(x1)f(x2x1x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)，得到函數(shù)f(x)是增函數(shù).【互動(dòng)探究】答案：思想與方法 利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解答抽象函數(shù)【互動(dòng)探究】答案：C