第4講函數(shù)的奇偶性與周期性1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義.2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).1.函數(shù)的奇偶性y 軸函數(shù)定義等價(jià)形式圖象性質(zhì)奇函數(shù)對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)f(x)f(x)0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱偶函數(shù)對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)f(x)f(x)0關(guān)于_對(duì)稱2.函數(shù)的周期性對(duì)于函數(shù) f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù) T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè) x 值，都滿足 f(xT)f(x)，那么函數(shù) f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù) T 叫做這個(gè)函數(shù)的周期.1.(2014 年新課標(biāo))偶函數(shù) yf(x)的圖象關(guān)于直線 x2 對(duì)稱，f(3)3，則 f(1)_.32.(2017 年新課標(biāo))已知函數(shù) f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x(，0)時(shí)，f(x)2x3x2，則 f(2)_.123.(2018 年新課標(biāo))下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù) yln x 的圖象關(guān)于直線 x1 對(duì)稱的是()BA.yln(1x)C.yln(1x)B.yln(2x)D.yln(2x)4.已知 R 上的奇函數(shù) f(x)滿足：當(dāng) x0 時(shí)，f(x)log2(1x)，則 ff(1)()CA.1B.2C.1D.2考點(diǎn)1判斷函數(shù)的奇偶性例1：(1)(2014 年新課標(biāo))設(shè)函數(shù) f(x)，g(x)的定義域都為R，且 f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù) 解析：依題意，得對(duì)任意 xR，都有 f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此，f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)是奇函數(shù)，A 錯(cuò)誤；|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函數(shù)，B 錯(cuò)誤；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，f(x)|g(x)|是奇函數(shù)，C 正確；|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函數(shù)，D 錯(cuò)誤.故選 C.答案：C(2)(2015 年北京)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A.yx2sin xC.y|ln x|B.yx2cos xD.y2x答案：B(3)(2015 年湖南)設(shè)函數(shù) f(x)ln(1x)ln(1x)，則 f(x)是()A.奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B.奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)C.偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)D.偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù) 解析：顯然，f(x)的定義域?yàn)?1,1)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又 f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，f(x)為奇函數(shù).顯然，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.故選 A.答案：A答案：A【規(guī)律方法】判斷函數(shù)奇偶性的方法：定義法：第一步先看函數(shù) f(x)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱，則為非奇非偶函數(shù).第二步直接或間接利用奇偶函數(shù)的定義來判斷，即若有 f(x)圖象法：利用奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性來判斷.分段函數(shù)奇偶性的判斷常用圖象法；復(fù)合函數(shù)奇偶性的判斷：若復(fù)合函數(shù)由若干個(gè)函數(shù)復(fù)合而成，則復(fù)合函數(shù)的奇偶性可根據(jù)若干個(gè)函數(shù)的奇偶性而定，概括為“同奇為奇，一偶則偶”；抽象函數(shù)奇偶性的判斷：應(yīng)充分利用定義，巧妙賦值，通過合理、靈活的變形配湊來判斷.【互動(dòng)探究】1.(2016 年廣東肇慶三模)在函數(shù) yxcos x，yexx2，y)lg ，yxsin x 中，偶函數(shù)的個(gè)數(shù)是(A.3 個(gè)B.2 個(gè)C.1 個(gè)D.0 個(gè)B解析：yxcos x 是奇函數(shù)，ylg 和 yxsin x 是偶函數(shù)，yexx2 是非奇非偶函數(shù).故選 B.考點(diǎn)2根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值(范圍)例2：(1)(2015 年新課標(biāo))若函數(shù) f(x)xln(x )為偶函數(shù)，則 a_.答案：1(2)(2014 年湖南)若 f(x)ln(e3x1)ax 是偶函數(shù)，則 a_.答案：32x(2x1)(xa)為奇(3)(2017 年浙江金華模擬)若函數(shù) f(x)函數(shù)，則 a()A.12B.23C.34D.1答案：A【規(guī)律方法】已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)解析式中參數(shù)的值常常用待定系數(shù)法：先利用f(x)f(x)0 得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，再利用恒等式的性質(zhì)列方程求解.方法四，根據(jù)奇函數(shù)的特點(diǎn)及定義域求解：考點(diǎn)3函數(shù)奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用例3：(1)(2017 年山東)已知 f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)，且 f(x4)f(x2).若當(dāng) x3,0時(shí)，f(x)6x，則 f(919)_.解析：由 f(x4)f(x2)，得 T6,f(919)f(15361)f(1)f(1)6(1)6.答案：6(2)(2018 年新課標(biāo))已知 f(x)是定義域?yàn)?，)的奇函數(shù)，滿足 f(1x)f(1x).若 f(1)2，則 f(1)f(2)f(3)f(50)()A.50B.0C.2D.50解析：f(1x)f(1x)f(2x)f(x)f(2x)f(x)f(x)f(x4)f(x)，f(x)是定義域?yàn)?，)的奇函數(shù)，f(0)0，f(1)2，f(2)f(0)0，f(3)f(1)f(1)2，f(4)0，f(1)f(2)f(3)f(4)0.則 f(1)f(2)f(3)f(50)f(1)f(2)2.答案：C所以 g(x)g(x).所以 g(x)為奇函數(shù).由 f(a)g(a)14，得 g(a)3，則 f(a)g(a)1g(a)1312.答案：2【規(guī)律方法】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性，屬于基礎(chǔ)題.在涉及函數(shù)求值問題中，可利用周期性f(x)f(xT)，化函數(shù)值的自變量到已知區(qū)間或相鄰區(qū)間，如果是相鄰區(qū)間，再利用奇偶性轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再由函數(shù)式求值即可.【互動(dòng)探究】2難點(diǎn)突破函數(shù)對(duì)稱性質(zhì)的判斷及應(yīng)用A.1 個(gè)B.2 個(gè)C.3 個(gè)D.4 個(gè)解析：f(x)f(x)，故不正確；f(x)f(x)3，f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，g(x)圖象也關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，所以 f(x)與 g(x)有相同的對(duì)稱中心，故正確；因?yàn)?f(x)與 g(x)有相同的對(duì)稱中心 ，所以函數(shù) yf(x)與 yg(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為 0，故正確；答案：C【互動(dòng)探究】答案：2m