第第2 2節(jié)圓與方程節(jié)圓與方程 考綱展示考綱展示 1.1.掌握確定圓的幾何要素掌握確定圓的幾何要素,掌握圓的掌握圓的標準方程與一般方程標準方程與一般方程.2.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想思想.知識鏈條完善知識鏈條完善考點專項突破考點專項突破知識鏈條完善知識鏈條完善 把散落的知識連起來把散落的知識連起來知識梳理知識梳理1.1.圓的定義與方程圓的定義與方程(1)(1)圓的定義圓的定義在平面內(nèi)在平面內(nèi),到到 的距離等于的距離等于 的軌跡叫做圓的軌跡叫做圓.(2)(2)圓的方程圓的方程定點定點定長的點定長的點標準標準方程方程 .圓心圓心 ,半徑半徑 .一般一般方程方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0(D(D2 2+E+E2 2-4F0)-4F0)圓心圓心 .半徑半徑 .(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2(a,b)(a,b)r r(-2D,-2E)22142DEF 2.2.點點A(xA(x0 0,y,y0 0)與與C C的位置關(guān)系的位置關(guān)系(1)(1)幾何法幾何法|AC|r|AC|r|AC|r點點A A在圓外在圓外.(2)(2)代數(shù)法代數(shù)法(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2rrr2 2點點A A在圓外在圓外.對點自測對點自測D DC C3.3.圓心在圓心在y y軸上且過點軸上且過點(3,1)(3,1)的圓與的圓與x x軸相切軸相切,則該圓的一般方程是則該圓的一般方程是 .解析解析:設圓心為設圓心為(0,b),(0,b),半徑為半徑為r,r,則則r=|b|,r=|b|,所以圓的方程為所以圓的方程為x x2 2+(y-b)+(y-b)2 2=b=b2 2,因為點因為點(3,1)(3,1)在圓上在圓上,所以所以9+(1-b)9+(1-b)2 2=b=b2 2,解得解得b=5,b=5,所以圓的方程為所以圓的方程為x x2 2+y+y2 2-10y=0.-10y=0.答案答案:x x2 2+y+y2 2-10y=0-10y=04.(4.(教材改編題教材改編題)圓圓C C的圓心在的圓心在x x軸上軸上,并且過點并且過點A(-1,1)A(-1,1)和和B(1,3),B(1,3),則圓則圓C C的方程為的方程為.答案答案:(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=10=105.5.下面結(jié)論正確的是下面結(jié)論正確的是.確定圓的幾何要素是圓心與半徑確定圓的幾何要素是圓心與半徑.已知點已知點A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),則以則以ABAB為直徑的圓的方程是為直徑的圓的方程是(x-x(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)+(y-)+(y-y y1 1)(y-y)(y-y2 2)=0.)=0.方程方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是表示圓的充要條件是D D2 2+E+E2 2-4F0.-4F0.方程方程x x2 2+2ax+y+2ax+y2 2=0=0一定表示圓一定表示圓.圓圓x x2 2+2x+y+2x+y2 2+y=0+y=0的圓心是的圓心是(1,1,).若點若點M(xM(x0 0,y,y0 0)在圓在圓x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0外外,則則+Dx+Dx0 0+Ey+Ey0 0+F0.+F0.答案答案:12考點專項突破考點專項突破 在講練中理解知識在講練中理解知識(1)(1)求圓的方程求圓的方程,一般采用待定系數(shù)法一般采用待定系數(shù)法.若已知條件與圓的圓心和半徑有關(guān)若已知條件與圓的圓心和半徑有關(guān),可設圓的標準方程可設圓的標準方程;若已知條件沒有明確給出圓的圓心和半徑若已知條件沒有明確給出圓的圓心和半徑,可選擇設圓的一般方程可選擇設圓的一般方程.(2)(2)在求圓的方程時在求圓的方程時,常用到圓的以下幾個性質(zhì)常用到圓的以下幾個性質(zhì):圓心在過切點且與切線垂直的直線上圓心在過切點且與切線垂直的直線上;圓心在任一弦的垂直平分線上圓心在任一弦的垂直平分線上;兩圓內(nèi)切或外切時兩圓內(nèi)切或外切時,切點與兩圓圓心三點共線切點與兩圓圓心三點共線.反思歸納反思歸納【跟蹤訓練【跟蹤訓練1 1】(1)(1)(20182018合肥二模合肥二模)已知圓已知圓C:(x-6)C:(x-6)2 2+(y-8)+(y-8)2 2=4,O=4,O為坐標原點為坐標原點,則以則以OCOC為直徑的圓的方程為為直徑的圓的方程為()(A)(x-3)(A)(x-3)2 2+(y+4)+(y+4)2 2=100=100(B)(x+3)(B)(x+3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=100=100(C)(x-3)(C)(x-3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=25=25(D)(x+3)(D)(x+3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=25=25答案答案:(1)C(1)C 答案答案:(2)(x-2)(2)(x-2)2 2+y+y2 2=9=9(2)(2)求求y-xy-x的最大值和最小值的最大值和最小值;(3)(3)求求x x2 2+y+y2 2的最大值和最小值的最大值和最小值.反思歸納反思歸納把有關(guān)式子進行轉(zhuǎn)化或利用所給式子的幾何意義解題把有關(guān)式子進行轉(zhuǎn)化或利用所給式子的幾何意義解題,充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想,其中以下幾類轉(zhuǎn)化極為常見其中以下幾類轉(zhuǎn)化極為常見:(1)(1)形如形如m=m=的最值問題的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題;(2)(2)形如形如t=ax+byt=ax+by的最值問題的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題;(3)(3)形如形如m=(x-a)m=(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2的最值問題的最值問題,可轉(zhuǎn)化為兩點間距離的平方的最值問題可轉(zhuǎn)化為兩點間距離的平方的最值問題.ybxa考查角度考查角度2:2:與圓有關(guān)的距離、面積的最值問題與圓有關(guān)的距離、面積的最值問題【例例3 3】設設P P為直線為直線3x-4y+11=03x-4y+11=0上的動點上的動點,過點過點P P作圓作圓C:xC:x2 2+y+y2 2-2x-2y+1=0-2x-2y+1=0的兩的兩條切線條切線,切點分別為切點分別為A,B,A,B,則四邊形則四邊形PACBPACB的面積的最小值為的面積的最小值為.反思歸納反思歸納(1)(1)若點若點P P在半徑為在半徑為r r的圓的圓C C內(nèi)內(nèi),則點則點P P與圓與圓C C上任意一點的距離上任意一點的距離d d的取值范圍為的取值范圍為r-r-|PC|dr+|PC|.|PC|dr+|PC|.(2)(2)若點若點P P在半徑為在半徑為r r的圓的圓C C外外,則點則點P P與圓與圓C C上任意一點的距離上任意一點的距離d d的取值范圍為的取值范圍為|PC|-rd|PC|+r.|PC|-rd|PC|+r.(3)(3)設直線設直線l l與圓與圓C(C(半徑為半徑為r)r)相離相離,圓心圓心C C到直線到直線l l的距離為的距離為d,d,則圓則圓C C上點到上點到l l的的最小距離為最小距離為d-r,d-r,最大距離為最大距離為d+rd+r考查角度考查角度3:3:與圓有關(guān)的范圍問題與圓有關(guān)的范圍問題【例例4 4】設點設點M(xM(x0 0,1),1),若在圓若在圓O:xO:x2 2+y+y2 2=1=1上存在點上存在點N,N,使得使得OMN=45OMN=45,則則x x0 0的的取值范圍是取值范圍是 .答案答案:-1,1-1,1反思歸納反思歸納與圓有關(guān)的參數(shù)范圍問題常見思路與圓有關(guān)的參數(shù)范圍問題常見思路(1)(1)直接利用條件直接利用條件,畫出幾何圖形畫出幾何圖形,結(jié)合圖形用幾何法求參數(shù)的范圍結(jié)合圖形用幾何法求參數(shù)的范圍.(2)(2)根據(jù)位置關(guān)系列不等式組根據(jù)位置關(guān)系列不等式組,用代數(shù)法求參數(shù)范圍用代數(shù)法求參數(shù)范圍.(3)(3)構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系,借助函數(shù)思想求參數(shù)的范圍借助函數(shù)思想求參數(shù)的范圍.【跟蹤訓練跟蹤訓練4 4】(20182018徐州一模徐州一模)在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOyxOy中中,若圓若圓C C1 1:x:x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=r r2 2(r0)(r0)上存在點上存在點P,P,且點且點P P關(guān)于直線關(guān)于直線x-y=0 x-y=0的對稱點的對稱點Q Q在圓在圓C C2 2:(x-2):(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1上上,則則r r的取值范圍是的取值范圍是.考點三與圓有關(guān)的軌跡問題考點三與圓有關(guān)的軌跡問題【例例5 5】已知圓已知圓x x2 2+y+y2 2=4=4上一定點上一定點A(2,0),B(1,1)A(2,0),B(1,1)為圓內(nèi)一點為圓內(nèi)一點,P,Q,P,Q為圓上的動點為圓上的動點.(1)(1)求線段求線段APAP中點的軌跡方程中點的軌跡方程;解解:(1)(1)設設APAP的中點為的中點為M(x,y),M(x,y),由中點坐標公式可知由中點坐標公式可知,P,P點坐標為點坐標為(2x-2,2y).(2x-2,2y).因為因為P P點在圓點在圓x x2 2+y+y2 2=4=4上上,所以所以(2x-2)(2x-2)2 2+(2y)+(2y)2 2=4.=4.故線段故線段APAP中點的軌跡方程為中點的軌跡方程為(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1.=1.(2)(2)若若PBQ=90PBQ=90,求線段求線段PQPQ中點的軌跡方程中點的軌跡方程.解解:(2)(2)設設PQPQ的中點為的中點為N(x,y).N(x,y).在在RtRtPBQPBQ中中,|PN|=|BN|,|PN|=|BN|,設設O O為坐標原點為坐標原點,連接連接ON,ON,則則ONPQ,ONPQ,所以所以|OP|OP|2 2=|ON|=|ON|2 2+|PN|+|PN|2 2=|ON|=|ON|2 2+|BN|+|BN|2 2,所以所以x x2 2+y+y2 2+(x-1)+(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4.=4.故線段故線段PQPQ中點的軌跡方程為中點的軌跡方程為x x2 2+y+y2 2-x-y-1=0.-x-y-1=0.反思歸納反思歸納求與圓有關(guān)的軌跡問題常用以下方法求與圓有關(guān)的軌跡問題常用以下方法:(1)(1)直接法直接法:直接根據(jù)題目提供的條件列方程直接根據(jù)題目提供的條件列方程.(2)(2)定義法定義法:根據(jù)圓、直線等定義列方程根據(jù)圓、直線等定義列方程.(3)(3)幾何法幾何法:利用圓與直線的幾何性質(zhì)列方程利用圓與直線的幾何性質(zhì)列方程.(4)(4)代入法代入法:找到所求點與已知點的關(guān)系找到所求點與已知點的關(guān)系,利用已知點滿足的關(guān)系式列方程利用已知點滿足的關(guān)系式列方程.【跟蹤訓練跟蹤訓練5 5】設定點設定點M(-3,4),M(-3,4),動點動點N N在圓在圓x x2 2+y+y2 2=4=4上運動上運動,以以OM,ONOM,ON為鄰邊作為鄰邊作平行四邊形平行四邊形MONP,MONP,求點求點P P的軌跡的軌跡.備選例題備選例題【例例2 2】(20182018朝陽區(qū)二模朝陽區(qū)二模)在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOyxOy中中,點點P(P(不過原點不過原點)到到x x軸軸,y,y軸的距離之和的軸的距離之和的2 2倍等于點倍等于點P P到原點距離的平方到原點距離的平方,則點則點P P的軌跡所圍成的圖形的的軌跡所圍成的圖形的面積是面積是.答案答案:8+48+4【例【例3 3】(20182018大連模擬大連模擬)點點P(1,2)P(1,2)和圓和圓C:xC:x2 2+y+y2 2+2kx+2y+k+2kx+2y+k2 2=0=0上的點的距離的上的點的距離的最小值是最小值是.答案答案:2 2點擊進入點擊進入 應用能力提升應用能力提升