層次分析法,Analytic Hierarchy Process AHP,T.L.saaty,西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,層次分析法建模,一 問題的提出,例1 購物 買鋼筆，一般要依據(jù)質(zhì)量、顏色、實(shí)用性、價(jià)格、外形等方面的因素選擇某一支鋼筆。 買飯，則要依據(jù)色、香、味、價(jià)格等方面的因素選擇某種飯菜。,決策是指在面臨多種方案時(shí)需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)選擇某一種方案。,西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,假期旅游，是去風(fēng)光秀麗的蘇州，還是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般會依據(jù)景色、費(fèi)用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個(gè)地方。,例2 旅游,例3 擇業(yè) 面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位可以去選擇，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等因素?fù)駱I(yè)。,西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,由于經(jīng)費(fèi)等因素，有時(shí)不能同時(shí)開展幾個(gè)課題，一般依據(jù)課題的可行性、應(yīng)用價(jià)值、理論價(jià)值、被培養(yǎng)人才等因素進(jìn)行選題。,面臨各種各樣的方案，要進(jìn)行比較、判斷、評價(jià)、最后作出決策。這個(gè)過程主觀因素占有相當(dāng)?shù)谋戎亟o用數(shù)學(xué)方法解決問題帶來不便。T.L.saaty等人在20世紀(jì)七十年代提出了一種能有效處理這類問題的實(shí)用方法。,例4 科研課題的選擇,西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,層次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)這是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。 過去研究自然和社會現(xiàn)象主要有機(jī)理分析法和統(tǒng)計(jì)分析法兩種方法，前者用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具分析現(xiàn)象的因果關(guān)系，后者以隨機(jī)數(shù)學(xué)為工具，通過大量的觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計(jì)規(guī)律。近年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法，而層次分析法是系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一。,西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,層次分析法的基本思路：,與人們對某一復(fù)雜決策問題的思維、判斷過程大體一致。,選擇鋼筆,質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用,鋼筆1、鋼筆2、鋼筆3、鋼筆4,質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序 將各個(gè)鋼筆的質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序 經(jīng)綜合分析決定買哪支鋼筆,西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,二 層次分析法的基本步驟,1 建立層次結(jié)構(gòu)模型 一般分為三層，最上面為目標(biāo)層，最下面為方案層，中 間是準(zhǔn)則層或指標(biāo)層。 例1 的層次結(jié)構(gòu)模型,準(zhǔn)則層,方案層,目標(biāo)層,西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,例2 層次結(jié)構(gòu)模型,準(zhǔn)則層A,方案層B,目標(biāo)層Z,若上層的每個(gè)因素都支配著下一層的所有因素，或被下一層所 有因素影響，稱為完全層次結(jié)構(gòu)，否則稱為不完全層次結(jié)構(gòu)。,設(shè)某層有個(gè)因素，,2 構(gòu)造成對比較矩陣,要比較它們對上一層某一準(zhǔn)則（或目標(biāo)）的影響程度，確定 在該層中相對于某一準(zhǔn)則所占的比重。（即把個(gè)因素對上 層某一目標(biāo)的影響程度排序）,用 表示第個(gè)因素相對于第個(gè)因素的比較結(jié)果，則,則稱為成對比較矩陣。,上述比較是兩兩因素之間進(jìn)行的比較，比較時(shí)取19尺度。,尺度,第 個(gè)因素與第 個(gè)因素的影響相同,第 個(gè)因素比第 個(gè)因素的影響稍強(qiáng),第 個(gè)因素比第 個(gè)因素的影響強(qiáng),第 個(gè)因素比第 個(gè)因素的影響明顯強(qiáng),第 個(gè)因素比第 個(gè)因素的影響絕對地強(qiáng),含義,比較尺度：（19尺度的含義）,2,4,6,8表示第個(gè)因素相對于第個(gè)因素的影響介于上述 兩個(gè)相鄰等級之間。不難定義以上各尺度倒數(shù)的含義， 根據(jù)。,西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,由上述定義知，成對比較矩陣,則稱為正互反陣。 比如，例2的旅游問題中，第二層A的各因素對目標(biāo)層Z 的影響兩兩比較結(jié)果如下：,滿足以下性質(zhì),1,1/2,4,3,3,2,1,7,5,5,1/4,1/7,1,1/2,1/3,1/3,1/5,2,1,1,1/3,1/5,3,1,1,分別表示 景色、費(fèi)用、 居住、飲食、 旅途。,由上表，可得成對比較矩陣,旅游問題的成對比較矩陣共有6個(gè)（一個(gè)5階，5個(gè)3階）。,問題：兩兩進(jìn)行比較后，怎樣才能知道，下層各因素對上 層某因素的影響程度的排序結(jié)果呢？,3 層次單排序及一致性檢驗(yàn),層次單排序：確定下層各因素對上層某因素影響程度的過程。 用權(quán)值表示影響程度，先從一個(gè)簡單的例子看如何確定權(quán)值。 例如 一塊石頭重量記為1，打碎分成 各小塊，各塊的重量,分別記為：,則可得成對比較矩陣,由右面矩陣可以看出，,即，,但在例2的成對比較矩陣中，,在正互反矩陣 中，若 ,則稱 為一致陣。,一致陣的性質(zhì)：,5. 的任一列(行)都是對應(yīng)于特征根 的特征向量。,作業(yè),若成對比較矩陣是一致陣，則我們自然會取對應(yīng)于最 大特征根 的歸一化特征向量 ，且,定理： 階互反陣 的最大特征根 ，當(dāng)且僅 當(dāng) 時(shí)， 為一致陣。,表示下層第 個(gè)因素對上層某因素影響程度的權(quán)值。,若成對比較矩陣不是一致陣，Saaty等人建議用其最大 特征根對應(yīng)的歸一化特征向量作為權(quán)向量 ，則,（為什么？）,這樣確定權(quán)向量的方法稱為特征根法.,定義一致性指標(biāo),其中 為 的對角線元素之和，也為 的特征根之和。,則可得一致性指標(biāo),定義隨機(jī)一致性指標(biāo),隨機(jī)構(gòu)造500個(gè)成對比較矩陣,隨機(jī)一致性指標(biāo) RI 的數(shù)值：,一致性檢驗(yàn)：利用一致性指標(biāo)和一致性比率<0.1 及隨機(jī)一致性指標(biāo)的數(shù)值表，對 進(jìn)行檢驗(yàn)的過程。,一般，當(dāng)一致性比率,的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其歸一化特征向量 作為權(quán)向量，否則要重新構(gòu)造成對比較矩陣，對 加 以調(diào)整。,時(shí)，認(rèn)為,4 層次總排序及其一致性檢驗(yàn) 確定某層所有因素對于總目標(biāo)相對重要性的排序權(quán)值過程， 稱為層次總排序 從最高層到最低層逐層進(jìn)行。設(shè)：,對總目標(biāo)Z的排序?yàn)?的層次單排序?yàn)?即 層第 個(gè)因素對 總目標(biāo)的權(quán)值為：,層的層次總排序?yàn)椋?A,B,層次總排序的一致性檢驗(yàn),設(shè) 層 對上層( 層)中因素 的層次單排序一致性指標(biāo)為 ，隨機(jī)一致性指為 ， 則層次總排序的一致性比率為：,當(dāng) 時(shí)，認(rèn)為層次總排序通過一致性檢驗(yàn)。到 此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。,1.建立層次結(jié)構(gòu)模型 該結(jié)構(gòu)圖包括目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層。,層次分析法的基本步驟歸納如下,3.計(jì)算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn),2.構(gòu)造成對比較矩陣,從第二層開始用成對比較矩陣和19尺度。,對每個(gè)成對比較矩陣計(jì)算最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)通過，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不通過，需要重新構(gòu)造成對比較矩陣。,計(jì)算最下層對最上層總排序的權(quán)向量。,4.計(jì)算總排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn),進(jìn)行檢驗(yàn)。若通過，則可按照總排序權(quán)向量表示的結(jié)果進(jìn)行決策，否則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率 較大的成對比較矩陣。,利用總排序一致性比率,層次分析法建模舉例一、旅游問題,(1)建模,分別分別表示景色、費(fèi)用、 居住、飲食、旅途。,分別表示蘇杭、北戴河、桂林。,（2）構(gòu)造成對比較矩陣,(3)計(jì)算層次單排序的權(quán)向量和一致性檢驗(yàn),成對比較矩陣 的最大特征值,表明 通過了一致性驗(yàn)證。,故,則,該特征值對應(yīng)的歸一化特征向量,對成對比較矩陣 可以求層次 總排序的權(quán)向量并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，結(jié)果如下：,計(jì)算 可知 通過一致性檢驗(yàn)。,對總目標(biāo)的權(quán)值為：,（4）計(jì)算層次總排序權(quán)值和一致性檢驗(yàn),又,決策層對總目標(biāo)的權(quán)向量為：,同理得， 對總目標(biāo)的權(quán)值分別為：,故，層次總排序通過一致性檢驗(yàn)。,可作為最后的決策依據(jù)。,故最后的決策應(yīng)為去桂林。,又 分別表示蘇杭、北戴河、桂林，,即各方案的權(quán)重排序?yàn)?層次分析法,Analytic Hierarchy Process AHP,T.L.saaty,西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,1.建立層次結(jié)構(gòu)模型 該結(jié)構(gòu)圖包括目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層。,層次分析法的基本步驟歸納如下,3.計(jì)算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn),2.構(gòu)造成對比較矩陣,從第二層開始用19尺度構(gòu)造成對比較矩陣。,4.計(jì)算總排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn),求最大特征對應(yīng)的歸一化特征向量，做一致性比率檢驗(yàn)。,利用層次單排序，計(jì)算層次總排序，并做一致性檢驗(yàn)。,西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,某工廠有一筆企業(yè)留成利潤，要由領(lǐng)導(dǎo)決定如何利用。可供選擇的方案有：以獎(jiǎng)金名義發(fā)給職工；擴(kuò)建集體福利設(shè)施；購進(jìn)新設(shè)備等。為了進(jìn)一步促進(jìn)企業(yè)發(fā)展，比如調(diào)動職工的積極性、提高企業(yè)的技術(shù)水平、引進(jìn)新設(shè)備等。如何合理使用這筆利潤。,2 合理分配資金問題,合理分配資金問題,層次結(jié)構(gòu)模型,2 求解,Z-C矩陣,OK,C-P矩陣,OK,OK,0.75, 0.25, 0,0, 0.167, 0.833,OK,0.667, 0.333, 0,Z-P矩陣,OK,0.251, 0.218, 0.531,P3P1P2,1 系統(tǒng)性 層次分析法把研究對象作為一個(gè)系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策 ，成為繼機(jī)理分析、統(tǒng)計(jì)分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工具。,2 實(shí)用性 層次分析法把定性和定量方法結(jié)合起來，能處理許多用 傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無法著手的實(shí)際問題，應(yīng)用范圍很廣，同 時(shí)，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策 者甚至可以直接應(yīng)用它，這就增加了決策的有效性。,四 層次分析法的優(yōu)點(diǎn)和局限性,西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,3 簡潔性 具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本 原理并掌握該法的基本步驟，計(jì)算也非常簡便，并且所得 結(jié)果簡單明確，容易被決策者了解和掌握。,以上三點(diǎn)體現(xiàn)了層次分析法的優(yōu)點(diǎn)，該法的局限 性主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：,第一 只能從原有的方案中優(yōu)選一個(gè)出來，沒有辦法得出更好的新方案。,第二 該法中的比較、判斷以及結(jié)果的計(jì)算過程 都是粗糙的，不適用于精度較高的問題。 第三 從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對比較矩 陣，人主觀因素對整個(gè)過程的影響很大， 這就使得結(jié)果難以讓所有的決策者接受。 當(dāng)然采取專家群體判斷的辦法是克服這個(gè) 缺點(diǎn)的一種途徑。,思考： 多名專家的綜合決策問題,正互反陣的最大特征值是大與零的嗎？有幾個(gè)？它對應(yīng)的特征向量各分量是正的嗎？,五 正互反陣最大特征值和特征向量實(shí)用算法,成對比較矩陣是通過定性比較得到的比較粗糙的結(jié)果，對它的精確計(jì)算是沒有必要的。 尋找簡便的近似方法。,用定義計(jì)算矩陣的特征值和特征向量相當(dāng)困難，特別是階數(shù)較高時(shí)。,定理,對于正矩陣 A （A的所有元素為正）,1） A 的最大特征根為正單根 ；,2） 對應(yīng)正特征向量 w（w的所有分量為正）；,3）,其中,是對應(yīng) 的歸一化特征向量。,西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,1 冪法 步驟如下,a) 任取 n 維歸一化初始向量,b) 計(jì)算,c) 歸一化,，即令,d) 對于預(yù)先給定的精度 ，當(dāng)下式成立時(shí),即為所求的特征向量；否則返回b；,e) 計(jì)算最大特征值,這是求特征根對應(yīng)特征向量的迭代方法，其收 斂性由定理的3）保證。,2 和法 步驟如下,a) 將A的每一列向量歸一化得,b) 對,c) 歸一化,按行求和得,d) 計(jì)算,3 根法,步驟與和法基本相同，只是將步驟 b 改為對,按行求積并開n次方，即,三方法中，和法最為簡便。看下列例子。,e) 計(jì)算,，最大特征值的近似值。,列向量歸一化,求和,歸一化,精確計(jì)算，得,六 遞階層次結(jié)構(gòu)與更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu),以上層次結(jié)構(gòu)模型有兩個(gè)共同特點(diǎn)： 模型所涉及的各因素可以組合為屬性基本相同的若干層次，層次內(nèi)部因素之間不存在相互影響或支配作用，或者這種影響作用可以忽略。 層次之間存在自上而下、逐層傳遞的支配關(guān)系，沒有下層對上層的反饋?zhàn)饔?，或?qū)哟伍g的循環(huán)作用。,遞階層次結(jié)構(gòu),西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu),層次內(nèi)部因素之間存在相互影響。 下層對上層有支配作用，形成循環(huán)，無法區(qū)分上下層。 既在層次內(nèi)部因素之間存在相互影響，又在層次間存在反饋?zhàn)饔谩?要用層次分析法解決這樣的問題，還需引入新概念，并建立相應(yīng)的算法。,思考,西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,七 練習(xí),China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling,2 用層次分析法解決一兩個(gè)實(shí)際問題,如：高考填報(bào)志愿問題， 選擇職業(yè)問題， 排名（排序）問題。,1 足球隊(duì)排名次（CUMCM）1993年 B 題,擇業(yè) 面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位可以去選擇，也可直接選擇考研，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等因素?fù)駱I(yè)。用層次分析法，選擇適合自己的理想工作。,課堂練習(xí)：,西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,補(bǔ)充：特征值與特征向量,定義：,成立，,則稱數(shù) 為方陣 的特征值（根），非零列向量 稱為屬于特征值 的特征向量。,特征值滿足的條件：,齊次線性方程組,齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是,西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,A 的特征方程,A 的特征多項(xiàng)式記為,表示 的n 次多項(xiàng)式，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n 個(gè)解，即有n 個(gè)特征值。,設(shè) A 的特征值為,則,特征值和特征向量的計(jì)算方法,給定矩陣,先求其特征值，即解特征方程,再求對應(yīng)于各特征值的特征向量，即解線性齊次方程組,的非零解 。 （注：若 為實(shí)數(shù)，則 為實(shí)向量，若 為復(fù)數(shù)， 則 為復(fù)向量）,定理2 對于正矩陣 A (A的所有元素為正)， 1）A 的最大特征值是正單根；,2）最大特征值對應(yīng)有特征向量所有分量為正的特征向量。,定理1 屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。,正向量的歸一化向量,為正向量，它的歸一化向量是,歸一化,有關(guān)定理,例1 求,的特征值和特征向量。,解：,基礎(chǔ)解系為,則屬于2的特 征向量為,基礎(chǔ)解系為,則屬于4的特 征向量為,求非負(fù)向量歸一化向量,一般地，,例2 求,的特征值和特征向量。,解：,因此，解空間的維數(shù)為 3-2=1,即，基礎(chǔ)解系為,則屬于2的特 征向量為,因此，解空間的維數(shù)為 3-2=1,基礎(chǔ)解系為,則屬于1的特 征向量為,例3 求,的特征值和特征向量。,解：,基礎(chǔ)解系為,則屬于-1的特 征向量為,因此，解空間的維數(shù)為 3-1=2,基礎(chǔ)解系為,則屬于2的全 部特征向量為,