第第八八篇篇平面解析幾何平面解析幾何(必修必修2 2、選修、選修1-11-1)六年新課標(biāo)全國卷試題分析六年新課標(biāo)全國卷試題分析高考考點、示例分布圖高考考點、示例分布圖命題特點命題特點1.1.高考在本篇一般命制兩道小題一道解高考在本篇一般命制兩道小題一道解答題答題,分值占分值占2222分左右分左右.2.2.高考基礎(chǔ)小題主要考查直線和圓的位高考基礎(chǔ)小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系置關(guān)系,橢圓、雙曲線、拋物線的簡單橢圓、雙曲線、拋物線的簡單幾何性質(zhì)幾何性質(zhì),尤其是雙曲線的漸近線與離尤其是雙曲線的漸近線與離心率心率,拋物線定義的應(yīng)用等拋物線定義的應(yīng)用等.3.3.高考綜合性較強(qiáng)的小題主要考查兩個高考綜合性較強(qiáng)的小題主要考查兩個方面方面,一是直線和圓錐曲線的位置關(guān)系一是直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,涉及弦長計算與三角形面積的求解等涉及弦長計算與三角形面積的求解等;二是兩種圓錐曲線的綜合二是兩種圓錐曲線的綜合,涉及兩類曲涉及兩類曲線性質(zhì)的綜合線性質(zhì)的綜合.4.4.解答題一般都是兩問解答題一般都是兩問,命題主要有兩個方面命題主要有兩個方面:一是考查直線和圓的位置關(guān)系一是考查直線和圓的位置關(guān)系,涉及圓的方程涉及圓的方程的求解的求解,由直線與圓位置關(guān)系求參數(shù)取值范圍由直線與圓位置關(guān)系求參數(shù)取值范圍以及直線被圓所截弦長問題以及直線被圓所截弦長問題,而圓與圓的位置而圓與圓的位置關(guān)系滲透在圓錐曲線方程或動點軌跡方程的求關(guān)系滲透在圓錐曲線方程或動點軌跡方程的求解中解中;二是考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系及二是考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系及其綜合其綜合,第第1 1問一般考查動點軌跡方程或曲線方問一般考查動點軌跡方程或曲線方程的求解程的求解(多以圓的方程為背景多以圓的方程為背景),),第第2 2問多側(cè)重問多側(cè)重直線被曲線所截弦長的求解及相關(guān)綜合問題直線被曲線所截弦長的求解及相關(guān)綜合問題.考查函數(shù)與方程及數(shù)形結(jié)合考查函數(shù)與方程及數(shù)形結(jié)合,分類討論等數(shù)學(xué)分類討論等數(shù)學(xué)思想思想.第第1 1節(jié)直線與方程節(jié)直線與方程 考綱展示考綱展示 1.1.在平面直角坐標(biāo)系中在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖結(jié)合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素形掌握確定直線位置的幾何要素.2.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過兩點的直線斜率的計算公式掌握過兩點的直線斜率的計算公式.3.3.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直條直線平行或垂直.4.4.掌握確定直線的幾何要素掌握確定直線的幾何要素,掌握直線掌握直線方程的三種形式方程的三種形式(點斜式、兩點式及一點斜式、兩點式及一般式般式),),了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.5.5.能用解方程組的方法求兩相交直線的能用解方程組的方法求兩相交直線的交點坐標(biāo)交點坐標(biāo).6.6.掌握兩點間的距離公式、點到直線的掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式距離公式,會求兩平行直線間的距離會求兩平行直線間的距離.知識鏈條完善知識鏈條完善考點專項突破考點專項突破知識鏈條完善知識鏈條完善 把散落的知識連起來把散落的知識連起來知識梳理知識梳理1.1.直線的傾斜角與斜率直線的傾斜角與斜率(1)(1)直線的傾斜角直線的傾斜角定義定義:當(dāng)直線當(dāng)直線l l與與x x軸相交時軸相交時,我們?nèi)∥覀內(nèi) x軸作為基準(zhǔn)軸作為基準(zhǔn),x,x軸軸 與直線與直線l l 方方向之間所成的角向之間所成的角叫做直線叫做直線l l的傾斜角的傾斜角.當(dāng)直線當(dāng)直線l l與與x x軸平行或重合時軸平行或重合時,規(guī)定它的規(guī)定它的傾斜角為傾斜角為0 0.范圍范圍:傾斜角傾斜角的范圍為的范圍為 .(2)(2)直線的斜率直線的斜率定義定義:一條直線的傾斜角一條直線的傾斜角的的 叫做這條直線的斜率叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫斜率常用小寫字母字母k k表示表示,即即k=k=,傾斜角是傾斜角是9090的直線沒有斜率的直線沒有斜率.正向正向向上向上00,180,180)tan tan 正切值正切值過兩點的直線的斜率公式過兩點的直線的斜率公式:經(jīng)過兩點經(jīng)過兩點P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2)(x)(x1 1xx2 2)的直線的斜的直線的斜率公式為率公式為k=k=.2121yyxx2.2.直線方程的五種形式直線方程的五種形式y(tǒng)-yy-y0 0=k(x-x=k(x-x0 0)y=kx+by=kx+bx=xx=x0 0121yyyy=121xxxx xa+yb=1=1 Ax+By+C=0Ax+By+C=03.3.線段的中點坐標(biāo)公式線段的中點坐標(biāo)公式若點若點P P1 1,P,P2 2的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為(x(x1 1,y,y1 1),(x),(x2 2,y,y2 2),),且線段且線段P P1 1P P2 2的中點的中點M M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x,y),(x,y),則則 此公式為線段此公式為線段P P1 1P P2 2的中點坐標(biāo)公式的中點坐標(biāo)公式.,xy122xx122yy4.4.兩條直線位置關(guān)系的判定兩條直線位置關(guān)系的判定k k1 1k k2 2=-1=-1A A1 1B B2 2-A-A2 2B B1 100A A1 1A A2 2+B+B1 1B B2 2=0=012210ABA B12210ABA B5.5.兩條直線的交點兩條直線的交點設(shè)直線設(shè)直線l l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0,l=0,l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0,=0,將這兩條直線的方程聯(lián)立將這兩條直線的方程聯(lián)立,得方程組得方程組(1)(1)若方程組有唯一解若方程組有唯一解,則則l l1 1與與l l2 2 ,此解就是此解就是l l1 1,l,l2 2交點的坐標(biāo)交點的坐標(biāo);1112220,0,AxB yCA xB yC相交相交(2)(2)若方程組無解若方程組無解,則則l l1 1與與l l2 2 ;(3)(3)若方程組有無數(shù)組解若方程組有無數(shù)組解,則則l l1 1與與l l2 2重合重合.6.6.三種距離三種距離(1)(1)兩點距離兩點距離兩點兩點P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2)之間的距離之間的距離|P|P1 1P P2 2|=|=.(2)(2)點線距離點線距離點點P P0 0(x(x0 0,y,y0 0)到直線到直線l:Ax+By+C=0(A,Bl:Ax+By+C=0(A,B不同時為不同時為0)0)的距離的距離d=d=.平行平行222121xxyy0022AxByCAB(3)(3)線線距離線線距離兩平行直線兩平行直線Ax+By+CAx+By+C1 1=0=0與與Ax+By+CAx+By+C2 2=0=0間的距離間的距離d=.d=.【重要結(jié)論重要結(jié)論】1.1.直線直線l l的傾斜角的傾斜角與其斜率與其斜率k k的變化規(guī)律的變化規(guī)律:00,90,90),),增大增大,k,k增大增大,且且k0;k0;(90(90,180,180),),增大增大,k,k增大增大,且且k0.k0.2.2.已知直線已知直線l:Ax+By+c=0(Al:Ax+By+c=0(A2 2+B+B2 20).(1)0).(1)與與l l平行的直線方程可設(shè)為平行的直線方程可設(shè)為Ax+By+m=Ax+By+m=0;(2)0;(2)與與l l垂直的直線方程可設(shè)為垂直的直線方程可設(shè)為Bx-Ay+n=0.Bx-Ay+n=0.1222CCAB對點自測對點自測D D2.(2.(20182018西城區(qū)模擬西城區(qū)模擬)過點過點(0,1)(0,1)并且與直線并且與直線y=-2x+3y=-2x+3垂直的直線方程是垂直的直線方程是()(A)2x-y-1=0(A)2x-y-1=0(B)x-2y+2=0(B)x-2y+2=0(C)2x-y+1=0(C)2x-y+1=0(D)x-2y-2=0(D)x-2y-2=0B BC C5.5.下列說法中正確的序號為下列說法中正確的序號為.如果兩條直線垂直如果兩條直線垂直,則它們的斜率之積一定等于則它們的斜率之積一定等于-1;-1;如果兩條直線的方程組成的方程組有唯一解如果兩條直線的方程組成的方程組有唯一解,則這兩條直線相交則這兩條直線相交;直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離;直線直線l l1 1:(a-1)x+2y+1=0:(a-1)x+2y+1=0與直線與直線l l2 2:x+ay+3=0:x+ay+3=0平行平行,則則a=-1a=-1或或a=2.a=2.答案答案:考點專項突破考點專項突破 在講練中理解知識在講練中理解知識考點一直線的斜率和傾斜角考點一直線的斜率和傾斜角【例例1 1】(1)(1)若過點若過點P(1-a,1+a)P(1-a,1+a)和和Q(3,2a)Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角的直線的傾斜角為鈍角,則實數(shù)則實數(shù)a a的的取值范圍是取值范圍是()(A)(-2,1)(A)(-2,1)(B)(-1,2)(B)(-1,2)(C)(-,0)(C)(-,0)(D)(-,-2)(1,+)(D)(-,-2)(1,+)答案答案:(1)A(1)A(2)(2)(20182018山東、湖北部分重點中學(xué)模擬山東、湖北部分重點中學(xué)模擬)直線直線x+ysin-3=0(x+ysin-3=0(R R)的傾斜的傾斜角的取值范圍是角的取值范圍是.(2)(2)求斜率或傾斜角取值范圍時要注意結(jié)合圖象求斜率或傾斜角取值范圍時要注意結(jié)合圖象,從旋轉(zhuǎn)角度求解從旋轉(zhuǎn)角度求解.(3)(3)求傾斜角或斜率問題時應(yīng)注意求傾斜角或斜率問題時應(yīng)注意傾斜角的范圍為傾斜角的范圍為0,);0,);反思?xì)w納反思?xì)w納考點二直線的方程考點二直線的方程(易混易錯易混易錯)【例例2 2】設(shè)直線設(shè)直線l l的方程為的方程為(a+1)x+y+2-a=0(a(a+1)x+y+2-a=0(aR R).).(1)(1)若若l l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求直線求直線l l的方程的方程;(2)(2)若若l l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù),求求a.a.反思?xì)w納反思?xì)w納(1)(1)求直線方程的常用方法有求直線方程的常用方法有:直接法直接法:直接求出方程中的系數(shù)直接求出方程中的系數(shù),寫出直線方程寫出直線方程;待定系數(shù)法待定系數(shù)法:先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程,再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程定系數(shù)的方程(組組)求系數(shù)求系數(shù),最后代入求出直線方程最后代入求出直線方程.(2)(2)求直線方程時求直線方程時,凡涉及斜率的要考慮其是否存在凡涉及斜率的要考慮其是否存在,凡涉及截距的要考慮凡涉及截距的要考慮其是否存在以及是否為零其是否存在以及是否為零.(3)(3)求直線方程時求直線方程時,如果沒有特別要求如果沒有特別要求,則求出的直線方程應(yīng)化為一般式則求出的直線方程應(yīng)化為一般式Ax+By+C=0,Ax+By+C=0,且且A0.A0.【跟蹤訓(xùn)練【跟蹤訓(xùn)練2 2】根據(jù)所給條件求直線的方程根據(jù)所給條件求直線的方程:(1)(1)直線過點直線過點(-4,0),(-4,0),傾斜角的正弦值為傾斜角的正弦值為 ;1010(2)(2)直線過點直線過點(-3,4),(-3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12;12;(3)(3)直線過點直線過點(5,10),(5,10),且原點到直線的距離為且原點到直線的距離為5.5.考點三兩條直線的平行與垂直考點三兩條直線的平行與垂直【例例3 3】(1)(1)若直線若直線l l1 1:ax+2y-6=0:ax+2y-6=0與直線與直線l l2 2:x+(a-1)y+a:x+(a-1)y+a2 2-1=0-1=0平行平行,則則a=a=.答案答案:(1)2(1)2或或-1-1(2)(2)已知兩直線方程分別為已知兩直線方程分別為l l1 1:x+y=1,l:x+y=1,l2 2:ax+2y=0,:ax+2y=0,若若l l1 1ll2 2,則則a=a=.答案答案:(2)-2(2)-2反思?xì)w納反思?xì)w納(2)(2)判斷兩直線平行與垂直時判斷兩直線平行與垂直時,應(yīng)注意直線的斜率不存在或斜率等于應(yīng)注意直線的斜率不存在或斜率等于0 0的情況的情況,避免漏解避免漏解,利用一般式方程可避免此類問題利用一般式方程可避免此類問題.【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3 3】(1)(1)(20182018廣東清遠(yuǎn)一模廣東清遠(yuǎn)一模)已知直線已知直線l l1 1:ax+2y+1=0:ax+2y+1=0與直線與直線l l2 2:(3-a)x-y+a=0,:(3-a)x-y+a=0,若若l l1 1ll2 2,則則a a的值為的值為()(A)1 (A)1 (B)2 (B)2 (C)6 (C)6 (D)1(D)1或或2 2(2)(2)若直線若直線mx+4y-2=0mx+4y-2=0與直線與直線2x-5y+n=02x-5y+n=0垂直垂直,垂足為垂足為(1,p),(1,p),則實數(shù)則實數(shù)n n的值為的值為()(A)-12(A)-12(B)-2(B)-2 (C)0 (C)0 (D)10(D)10解析解析:(2)(2)由由2m-20=0,2m-20=0,得得m=10.m=10.由垂足由垂足(1,p)(1,p)在直線在直線mx+4y-2=0mx+4y-2=0上上,得得10+4p-2=0.10+4p-2=0.所以所以p=-2.p=-2.又垂足又垂足(1,-2)(1,-2)在直線在直線2x-5y+n=02x-5y+n=0上上,則解得則解得n=-12.n=-12.故選故選A.A.考點四距離問題考點四距離問題【例例4 4】已知點已知點P(2,-1).P(2,-1).(1)(1)求過點求過點P P且與原點的距離為且與原點的距離為2 2的直線的直線l l的方程的方程;(2)(2)求過點求過點P P且與原點的距離最大的直線且與原點的距離最大的直線l l的方程的方程,最大距離是多少最大距離是多少?(3)(3)是否存在過點是否存在過點P P且與原點的距離為且與原點的距離為6 6的直線的直線?若存在若存在,求出方程求出方程;若不存在若不存在,請說明理由請說明理由.反思?xì)w納反思?xì)w納(1)(1)點到特殊直線的距離點到特殊直線的距離點點P(xP(x0 0,y,y0 0)到直線到直線x=ax=a的距離為的距離為d=|xd=|x0 0-a|;-a|;點點P(xP(x0 0,y,y0 0)到直線到直線y=by=b的距離為的距離為d=|yd=|y0 0-b|.-b|.【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練4 4】(1)(1)已知點已知點P P在直線在直線3x+y-5=03x+y-5=0上上,且點且點P P到直線到直線x-y-1=0 x-y-1=0的距離的距離 為為 ,則點則點P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為()(A)(1,2)(A)(1,2)(B)(2,1)(B)(2,1)(C)(1,2)(C)(1,2)或或(2,-1)(2,-1)(D)(2,1)(D)(2,1)或或(-1,2)(-1,2)2考點五對稱問題考點五對稱問題【例例5 5】已知直線已知直線l:2x-3y+1=0,l:2x-3y+1=0,點點A(-1,-2).A(-1,-2).求求:(1)(1)點點A A關(guān)于直線關(guān)于直線l l的對稱點的對稱點AA的坐標(biāo)的坐標(biāo);(2)(2)直線直線m:3x-2y-6=0m:3x-2y-6=0關(guān)于直線關(guān)于直線l l對稱的直線對稱的直線mm的方程的方程;(3)(3)直線直線l l關(guān)于點關(guān)于點A(-1,-2)A(-1,-2)對稱的直線對稱的直線ll的方程的方程.解解:(3)(3)設(shè)設(shè)P(x,y)P(x,y)為為ll上任意一點上任意一點,則則P(x,y)P(x,y)關(guān)于點關(guān)于點A(-1,-2)A(-1,-2)的對稱點為的對稱點為P(-2-x,-4-y),P(-2-x,-4-y),因為因為PP在直線在直線l l上上,所以所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即直線即直線ll的方程為的方程為2x-3y-2x-3y-9=0.9=0.反思?xì)w納反思?xì)w納對稱問題求解方法對稱問題求解方法(1)(1)點關(guān)于點對稱點關(guān)于點對稱:若點若點M(xM(x1 1,y,y1 1)與與N(x,y)N(x,y)關(guān)于關(guān)于P(a,b)P(a,b)對稱對稱,則由中點坐標(biāo)公則由中點坐標(biāo)公式得式得 進(jìn)而求解進(jìn)而求解.(2)(2)直線關(guān)于點的對稱直線關(guān)于點的對稱,主要求解方法是主要求解方法是在已知直線上取兩點在已知直線上取兩點,利用中點坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點利用中點坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標(biāo)坐標(biāo),再由兩點式求出直線方程再由兩點式求出直線方程;求出一個對稱點求出一個對稱點,再利用兩對稱直線平行再利用兩對稱直線平行,由點斜式得到所求直線方程由點斜式得到所求直線方程.112,2,xaxyby(3)(3)點關(guān)于直線的對稱點關(guān)于直線的對稱:法二法二先求過先求過P P1 1(x(x1 1,y,y1 1)且與直線且與直線l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0垂直的直線垂直的直線l l0 0的方程的方程,再解由再解由直線直線l l和直線和直線l l0 0的方程構(gòu)成的方程組求得交點的方程構(gòu)成的方程組求得交點P P0 0(x(x0 0,y,y0 0),),最后利用中點坐標(biāo)公最后利用中點坐標(biāo)公式求得式求得P P2 2(x(x2 2,y,y2 2).).(4)(4)直線關(guān)于直線對稱直線關(guān)于直線對稱若直線與對稱軸平行若直線與對稱軸平行,則在直線上取一點則在直線上取一點,求出該點關(guān)于軸的對稱點求出該點關(guān)于軸的對稱點,然后然后用點斜式求解用點斜式求解.若直線與對稱軸相交若直線與對稱軸相交,則先求出交點則先求出交點,然后再取直線上一點然后再取直線上一點,求該點關(guān)于軸求該點關(guān)于軸的對稱點的對稱點,最后由兩點式求解最后由兩點式求解.【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練5 5】(1)(1)若直線若直線l l1 1:y=k(x-4):y=k(x-4)與直線與直線l l2 2關(guān)于點關(guān)于點(2,1)(2,1)對稱對稱,則直線則直線l l2 2經(jīng)經(jīng)過定點過定點()(A)(0,4)(A)(0,4)(B)(0,2)(B)(0,2)(C)(-2,4)(C)(-2,4)(D)(4,-2)(D)(4,-2)解析解析:(1)(1)直線直線l l1 1:y=k(x-4):y=k(x-4)經(jīng)過定點經(jīng)過定點(4,0),(4,0),其關(guān)于點其關(guān)于點(2,1)(2,1)對稱的點為對稱的點為(0,2),(0,2),又直線又直線l l1 1與直線與直線l l2 2關(guān)于點關(guān)于點(2,1)(2,1)對稱對稱,故直線故直線l l2 2經(jīng)過定點經(jīng)過定點(0,2).(0,2).故選故選B.B.答案答案:(1)B(1)B(2)(2)(20182018四川模擬四川模擬)若直線若直線l l與直線與直線2x-y-2=02x-y-2=0關(guān)于直線關(guān)于直線x+y-4=0 x+y-4=0對稱對稱,則則l l的方的方程是程是 ;答案答案:(2)x-2y+2=0(2)x-2y+2=0(3)(3)光線從光線從A(-4,-2)A(-4,-2)點射出點射出,到直線到直線y=xy=x上的上的B B點后被直線點后被直線y=xy=x反射到反射到y(tǒng) y軸上軸上C C點點,又被又被y y軸反射軸反射,這時反射光線恰好過點這時反射光線恰好過點D(-1,6),D(-1,6),則則BCBC所在的直線方程為所在的直線方程為 .答案答案:(3)10 x-3y+8=0(3)10 x-3y+8=0備選例題備選例題【例例1 1】(20182018北京卷北京卷)在平面直角坐標(biāo)系中在平面直角坐標(biāo)系中,記記d d為點為點P(cos,sin)P(cos,sin)到直到直線線x-my-2=0 x-my-2=0的距離的距離.當(dāng)當(dāng),m,m變化時變化時,d,d的最大值為的最大值為()(A)1(A)1(B)2(B)2(C)3(C)3(D)4(D)4點擊進(jìn)入點擊進(jìn)入 應(yīng)用能力提升應(yīng)用能力提升