1了解向量的實際背景 2理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義 3理解向量的幾何表示 4掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義 5掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義 6了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義,第四知識塊 平面向量,第1課時 向量的概念及表示、向量的線性運算,本部分知識是平面向量的基礎(chǔ)知識，考查的知識點主要有向量的有關(guān)概念、 運算法則，向量共線的條件和基本定理，多以填空題的形式出現(xiàn)，屬于簡單題型,【命題預(yù)測】,【應(yīng)試對策】,1平面向量內(nèi)容豐富，用途廣泛，可以與高中數(shù)學(xué)的各個知識點相結(jié)合，高考命題時非常重視向量的知識與其他知識的綜合應(yīng)用，而且常出常新由于零向量的方向是任意的，而且規(guī)定零向量平行于任何向量，因此在向量的共線中，一定要看清是否是“非零向量”與向量a同向的單位向量為 ，與向量a平行的單位向量為 .,2由向量相等的定義可知，對于一個向量，只要不改變它的大小與方向，它是可以任意平移的，因此，用有向線段表示向量時，可以任意選取有向線段的起點運用向量加法平行四邊形法則時，兩向量的起點必須相同，向量加法的三角形法則要首尾相接，可以推廣到多個向量相加的情形向量的化簡計算中，要充分利用向量的首尾字母 3注意向量共線與直線共線的區(qū)別：平行向量不一定都共線，但是所有的平行向量都可以平移到同一條直線上；所有共線的向量，方向要么相同要么相反，所以共線的向量都是平行向量而兩直線共線是指兩直線重合 判斷或證明A、B、C三點共線時，只需判斷或證明以A、B、C三點為起點或終點組成的任意兩個向量a，b滿足ba即可(其中為實數(shù)) 數(shù)乘向量是刻畫平行向量性質(zhì)的運算，通過向量共線的條件可證向量共線以及多點共線問題，這是十分重要的技能，要注意兩向量平行與直線平行的區(qū)別,兩向量平行包括兩向量所在直線重合的情況,1用向量共線定理可以證明幾何中的三點共線和直線平行問題，但是向量平行與直線平行是有區(qū)別的，直線平行不包括重合的情況也就是說，要證明三點共線或直線平行都是先探索有關(guān)的向量滿足向量等式ba，再結(jié)合條件或圖形有無公共點證明幾何位置 2用基本向量表示某一向量的技巧 觀察各向量的位置；尋找相應(yīng)的三角形或多邊形； 運用法則找關(guān)系；化簡結(jié)果,【知識拓展】,1向量的有關(guān)概念 (1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向量 的大小叫做向量 的 (或模)，記作 . (2)零向量： 的向量叫做零向量，其方向是 的 (3)單位向量：長度等于 的向量叫做單位向量,大小,方向,長度,長度為0,任意,1個單位長度,(4)平行向量：方向 或 的 向量叫做平行向量平行向量又稱 為 ，任一組平行向量都可以移到同一直線上 規(guī)定：0與任一向量 (5)相等向量：長度 且方向 的向量叫做相等向量 (6)相反向量：與向量a長度 且方向 的向量叫做a的相反向量 規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量,共線向量,相同,相反,非零,平行,相等,相同,相等,相反,2向量的加法和減法 (1)加法：法則：服從三角形法則，平行四邊形法則 運算性質(zhì)：ab (交換律)； (ab)c (結(jié)合律)；a0 . (2)減法：減法與加法互為逆運算；法則：服從三角形法則,ba,a(bc),0a,a,3實數(shù)與向量的積 (1)長度與方向規(guī)定如下： |a| ； 當(dāng) 時，a與a的方向相同；當(dāng) 時，a與a的方向相反； 當(dāng)0時，a ，方向任意 (2)運算律：設(shè)、R，則：(a) ； ()a ；(ab) .,|a|,0,<0,0,()a,aa,ab,4向量共線定理 向量b與a(a0)共線的充要條件是 .,有且只有一個實數(shù)，使得ba,1如圖所示，在等腰梯形ABCD中，ABCD，E、F分別為AD、BC的中點，則圖中與 共線的向量有_個 解析：方向相同和方向相反的向量就是共線向量， 所以 均與向量 共線 答案：5,2如圖所示，ABC和ABC是在各邊的 處相交的 兩個全等的正三角形設(shè)正ABC的邊長為a，圖中列出了 長度均為 的若干個向量，則(1)與向量 相等的 向量是_；(2)與向量 共線的向量有_ 答案：(1) (2),已知正方形ABCD邊長為1， 則abc的模等于_ 解析：|abc|cc|2|c|2 2 . 答案：2,3,4已知一點O到平行四邊形ABCD的3個頂點A、B、C的向量分別為a、b、c，則向量 等于_ 解析：如圖，點O到平行四邊形的三個頂點A、B、C的向量分別為a，b，c.綜合圖形有 =a+c-b. 答案：a+c-b,在ABCD中， ，M為BC中點， 則 _(用a、b表示) 解析：解法一：如圖， = 解法二：設(shè)AC交BD于O，由于N為AC的 處分點，則有N為OC中點， 答案：,5,我們把具有大小和方向的量叫做向量，更具體一些，向量可以理解為“一個位移”或表達(dá)“一個點相對于另一點的位置”的量有些向量不僅有大小和方向，而且還有作用點例如，力就是既有大小，又有方向，并且還有作用點的向量有些向量只有大小與方向，而無特定的位置例如：位移、速度等通常將后一種向量叫做自由向量以后無特殊說明，我們所提到的向量，都是自由向量，即我們高中階段所研究的向量只有大小、方向兩個要素，如果兩個向量的大小、方向都相同，則說這兩個向量相等,【例1】 給出下列六個命題： 兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；若|a|b|，則ab； 若 ，則ABCD為平行四邊形;在ABCD中，一定有 若mn，np，則mp；若ab，bc，則ac.其中不正確的個數(shù)是_ 思路點撥：正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵注意到特殊情況，否定某個命題只要舉出一個反例即可,解析： 兩個向量起點相同，終點相同，則兩向量相等；不一定有相同的起點和終點，所以不正確； |a|b|，但a，b方向不確定，所以a，b不一定相等，故不正確；因為 可能有A、B、C、D在同一直線上，所以不正確；零向量與任一非零向量都平行，當(dāng)b0時，a與c不一定平 行，故不正確 答案：4,變式1：下面命題：平行向量的方向一定相同；共線向量一定相等；相等向量一定共線，不相等的向量一定不共線； 是兩平行向量；兩向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點也相同其中正確命題為_(只寫上正確命題的序號即可),解析：平行向量的方向不一定相同平行向量是以方向這一要素定義的，它有方向相同和方向相反兩種不同情況不一定共線向量就是平行向量，只要保證方向相同或相反，它們就共線，與模的大小無關(guān)相等必共線，共線未必相等，不相等的可以是不共線的，也可以是共線的，故不正確 是相反向量，故為平行向量，正確由平移概念知，向量可自由平移到任一位置，而方向大小不變，故不正確,答案：,1用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量的加法、減法、數(shù)乘向量外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理 2在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線，相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解,【例2】 如右圖所示， 若ABCD是一個等腰梯形，ABDC，M、N分別是DC、AB的中點，已知 ，試用a、b、c表示 思路點撥：結(jié)合圖形性質(zhì)，準(zhǔn)確靈活運用三角形法則和平行四邊形法則是向量加減運算的關(guān)鍵,解： = =a-2b-c.,變式2：在OAB中，延長BA到C，使ACBA，在OB上取點D，使DB OB.DC與OA交于E，設(shè) ，用a，b表示向量 解：因為A是BC的中點，所以 2ab. 2ab；,向量共線定理為解決三點共線和兩直線平行問題提供了一種方法，要證三點共線或兩直線平行，主要是看能否找到唯一的實數(shù)使兩向量相等把向量平行的問題轉(zhuǎn)化為尋求實數(shù)使向量相等的問題,【例3】 已知非零向量e1和e2不共線 如果 ， 求證：A、B、D三點共線； (2)欲使ke1e2和e1ke2共線，試確定實數(shù)k的值,思路點撥：（1） （2）,證明： （1） e1e2， 2e18e23e13e2 5(e1e2)5 ， 、 共線，又 與 有公共點B. A、B、D三點共線,(2)解：ke1e2與e1ke2共線， 存在使ke1e2(e1ke2)，則(k)e1(k1)e2. 由于e1與e2不共線，只能有 解得k1.,變式3：設(shè)兩個非零向量e1和e2不共線 (1)如果 e1e2， 3e12e2， 8e12e2， 求證：A、C、D三點共線； (2)如果 e1e2， 2e13e2， 2e1ke2， 且A、C、D三點共線，求k的值,(1)證明： e1e2， 3e12e2， 8e12e2， 4e1e2 (8e12e2) ， 與 共線，又 與 公共點C.A、C、D三點共線 (2)解： (e1e2)(2e13e2)3e12e2，A、C、D三點共線， 與 共線，從而存在實數(shù)使得 ，即3e12e2(2e1ke2)， 由平面向量的基本定理，得 ，解之得,【規(guī)律方法總結(jié)】,1向量不同于數(shù)量向量既有大小，又有方向向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大小 2向量的加減法實質(zhì)上是向量的平移，實數(shù)乘向量實質(zhì)是向量的伸縮 3數(shù)形結(jié)合思想是向量加法、減法運算的核心，向量是一個幾何量，是有“形”的量，因此在研究向量的有關(guān)問題時，一定要結(jié)合圖形進(jìn)行分析判斷求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧 4向量共線的充要條件常用來解決三點共線和兩直線平行問題 5關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運算公式、法則在向量范圍內(nèi)并不完全適用，要防止負(fù)遷移.,【例4】 考查下面四個命題：0a0；0a0；0 ； |ab|a|b|，正確的個數(shù)為_,【答題實錄】,【錯因分析】,根據(jù)向量數(shù)量積的概念，0a應(yīng)是一個實數(shù)0，而不能是一個向量；根據(jù)實數(shù)與向量的定義，0a應(yīng)是一個向量，它的模等于0，方向是任意的；正確由數(shù)量積定義知|ab|a|bcos |a|b|cos |，只有0或時才成立,【正確答案】,正確：由以上分析可知正確答案填1.,1如題圖所示，在ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若 ， 則mn的值為_,解析：解法一：如圖所示，作ODAC，DEMN， 又 = =1， m+n=2.,解法二：取特殊情況，MN與BC重合m+n=1+1=2. 答案：2,2如圖所示，在四面體OABC中，D為BC的中點，E為AD的中點，則 _.(用a，b，c表示) 解析： 答案：,