《微分方程第五節(jié)常系數(shù)線性方程》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《微分方程第五節(jié)常系數(shù)線性方程（34頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、- 1 -,第五節(jié) 常系數(shù)線性方程,常系數(shù)齊次線性方程通解的求法 常系數(shù)非齊次線性方程的通解求法 歐拉方程,,,,- 2 -,n階常系數(shù)線性微分方程的標準形式,二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式,二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式,其中,為常數(shù)。,常系數(shù)齊次線性方程,常系數(shù)非齊次線性方程,其中,為常數(shù)。,- 3 -,一 常系數(shù)齊次線性方程通解的求法,二階常系數(shù)齊次線性微分方程:,和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,,代入得,稱為微分方程的特征方程,,1. 當(dāng),有兩個相異實根,方程有兩個線性無關(guān)的特解:,因此方程的通解為,( r 為待定常數(shù) ),,,,所以令的解為,,則微分,其根稱為特征根.,,時,,- 4

2、-,2. 當(dāng),特征方程有兩個相等實根,則微分方程有一個特解,設(shè)另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,,,是特征方程的重根,取 u = x ,,因此原方程的通解為,,,則得,時,,- 5 -,3. 當(dāng),特征方程有一對共軛復(fù)根,這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解:,利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解:,因此原方程的通解為,時,,- 6 -,例1,求下列微分方程的通解。,解,(1),特征方程為,特征根為,微分方程通解為,(2),特征方程為,特征根為,微分方程通解為,- 7 -,例2,求解微分方程初始值問題,解,特征方程為,特征根為,微分方程通解為,所求解為,- 8 -,若特征方程含k重復(fù)根,

3、若特征方程含k重實根r ,,則其通解中必含,對應(yīng)項,特征方程:,推廣:,則其通解中必含對應(yīng)項,- 9 -,例3,的通解.,解:,特征根:,因此原方程通解為,例4,解:,特征根 :,原方程通解:,(不難看出, 原方程有特解,特征方程,特征方程:,- 10 -,例5,解:,即,其根為,方程通解 :,特征方程:,- 11 -,例6,為特解的 4 階常系數(shù)線性齊次微分方程,,并求其通解 .,解: 根據(jù)給定的特解知特征方程有根 :,因此特征方程為,即,故所求方程為,其通解為,- 12 -,二 常系數(shù)非齊次線性方程通解的求法,二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :,根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為,求特解的方法,

4、根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,,的待定形式,,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù) .,, 待定系數(shù)法,- 13 -, 為實數(shù) ,,設(shè)特解為,其中 為待定多項式 ,,代入原方程 , 得,,(1) 若 不是特征方程的根,,則取,從而得到特解,形式為,,,,,,為 m 次多項式 .,,Q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項式,1,- 14 -,(2) 若 是特征方程的單根 ,,為m 次多項式,,故特解形式為,(3) 若 是特征方程的重根 ,,是 m 次多項式,,故特解形式為,小結(jié),對方程,,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .,,,即,即,當(dāng) 是特征方程的 k 重根 時,,可設(shè),,特解,-

5、 15 -,例7,寫出下列微分方程特解的形式,(1),解,由于對應(yīng)的齊次方程的特征方程,的根,所以,不是特征方程,的根，,因此,因此特解形式為,(2),解,由于對應(yīng)的齊次方程的特征方程,的根,所以,是特征方程的單根，,此,因此特解形式為,因,- 16 -,(3),解,由于對應(yīng)的齊次方程的特征方程,的根,所以,是特征方程的二重根，,此,因此特解形式為,因,(4),解,對應(yīng)的特征方程,特征根為,所以,是特征方程的三重根，,此,因此特解形式為,因,- 17 -,例8,求微分方程,的通解。,解,特征方程,特征根,對應(yīng)的齊次方程通解為,不是特征根，,因此,因此設(shè)微分方程特解為,代入原方程得,比較系數(shù)可知

6、,因此,原方程通解為,- 18 -,,,,,,例9,求微分方程,的通解。,解,特征方程,特征根,對應(yīng)的齊次方程通解為,不是特征根，,因此,因此設(shè)微分方程特解為,代入原方程消去,比較系數(shù)可知,因此,原方程通解為,得,,,- 19 -,,,,,,,,例10,求微分方程,的通解。,解,特征方程,特征根,對應(yīng)的齊次方程通解為,是單特征根，,因此,因此設(shè)微分方程特解為,代入原方程消去,比較系數(shù)可知,因此,原方程通解為,得,,,- 20 -,例11,求微分方程,的通解。,解,特征方程,特征根,對應(yīng)的齊次方程通解為,是單特征根，,因此,因此設(shè)微分方程特解為,代入原方程消去,所以,得,(1),(2),求,的特

7、解。,所以,的特解為,- 21 -,原方程通解為,(3),求,的特解。,不是特征根，,因此,設(shè)微分方程特解為,代入原方程得,比較系數(shù)得,所以,的特解為,(4),- 22 -,例12,設(shè),二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，,且,曲線積分,與路徑,無關(guān)，,求,解,由于曲線積分與路徑無關(guān)，,所以,因此,滿足微分方程,,特征方程,特征根,- 23 -,對應(yīng)的齊次方程通解為,設(shè)非齊次方程的特解為,代入方程得,因此方程通解為,由于,所以,- 24 -,2,為實數(shù)，,分別為l ，n 次多項式。,對非齊次方程,則可設(shè)特解:,其中,為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),,上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.,- 25 -,

8、例13,寫出下列微分方程的特解形式。,(1),解,特征方程,特征根,不是特征根，,所以,所以,因此,(2),解,特征方程,特征根,是單特征根，,所以,所以,因此,- 26 -,(3),解,特征方程,特征根,是二重特征根，,所以,所以,因此,- 27 -,,,,,,例14,的一個特解 .,解:,特征方程,故設(shè)特解為,不是特征方程的根,,代入方程得,比較系數(shù) , 得,于是求得一個特解,,,,,,本題,,,- 28 -,,,,,,例15,的通解 .,解,特征方程為,特征根,不是特征根，,所以,所以,所以對應(yīng)的齊次方程的通解為,故設(shè)特解為,代入方程得,,,,,,,所以,通解為,,,- 29 -,,,,

9、,,例16,的通解.,解:,特征方程為,其根為,對應(yīng)齊次方程的通解為,比較系數(shù), 得,因此特解為,代入方程:,所求通解為,為特征方程的單根 ,,,,,,因此設(shè)非齊次方程特解為,,,- 30 -,三 歐拉方程,n 階歐拉方程的一般形式為,則,,,- 31 -,則由上述計算可知:,用歸納法可證,于是歐拉方程,轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性方程:,- 32 -,例17,解:,則原方程化為,亦即,其根,則對應(yīng)的齊次方程的通解為,特征方程,,- 33 -, 的通解為,換回原變量, 得原方程通解為,設(shè)特解:,代入確定系數(shù), 得,- 34 -,例18,解:,將方程化為,(歐拉方程),則方程化為,即,,特征根:,設(shè)特解:,代入 解得 A = 1,,所求通解為,