一元微積分學(xué),大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）,第十八講 函數(shù)的微分,,腳本編寫、教案制作：劉楚中 彭亞新 鄧愛(ài)珍 劉開(kāi)宇 孟益民,第四章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分,本章學(xué)習(xí)要求： 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念。熟悉導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的可 導(dǎo)、可微、連續(xù)之間的關(guān)系。 熟悉一階微分形式不變性。 熟悉導(dǎo)數(shù)和微分的運(yùn)算法則，能熟練運(yùn)用求導(dǎo)的基本公式、 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法、隱函數(shù)求導(dǎo)法、反函數(shù)求導(dǎo)法、參數(shù)方程 求導(dǎo)法、取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法等方法求出函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)和微 分。 了解 n 階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求常見(jiàn)函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)。 熟悉羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能較好運(yùn)用上述定理解決有關(guān)問(wèn)題（函數(shù)方 程求解、不等式的證明等）。 掌握羅必塔法則并能熟練運(yùn)用它計(jì)算有關(guān)的不定式極限。,第四節(jié) 函數(shù)的微分,第四章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分,一. 函數(shù)的微分,三. 二階微分,微分的運(yùn)算法則,四. 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用,五.微分在誤差估計(jì)中的應(yīng)用,,若 y = f (x) 在點(diǎn) x0 處有(有限)導(dǎo)數(shù), 則,,現(xiàn)在反過(guò)來(lái)想一想：,若在 x0 點(diǎn)處 y = f (x) 的增量 y 可以,表示為 一個(gè)線性函數(shù)與一個(gè)高級(jí)無(wú)窮小量,之和的形式,回憶復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則中的一個(gè)定理,那么, 我們自然要問(wèn) A = ?,,就是說(shuō), 在點(diǎn) x0 處若可用關(guān)于自變量的增 量 x 的線性函數(shù)逼近函數(shù)的增量 y 時(shí), 其關(guān)系式一定是 y = f (x0)x + o(x) 我們稱 f (x0)x (或 Ax) 為函數(shù)在點(diǎn) x0 處 增量的線性主部, 通常將它記為 dy = f (x0)x ( dy =Ax ).,微分,,,一. 函數(shù)的微分,1.微分的概念,y =Ax + o(x),此時(shí), 稱 f (x) 在點(diǎn) x0 處可微 。,設(shè) y = f (x) 在 U(x0) 有定義, 給 x0 以增量,x , 且 x0+x U(x0) 。,如果函數(shù)相應(yīng)的增量可表示為,則稱 y 的線性主部為 f (x)在點(diǎn) x0 處的微分,,記為 d y =Ax , 其中, A 叫微分系數(shù) 。,2.可微與可導(dǎo)的關(guān)系,y = f (x0)x + o(x),dy = f (x0)x,也就是說(shuō) , f (x) 在點(diǎn) x0 處的可微性與,可導(dǎo)性是等價(jià)的 ,,且 f (x) 在點(diǎn) x0 處可微 ,,則,解,什么意思？,自變量的增量就是自變量的微分：,函數(shù)的微分可以寫成:,該例說(shuō)明:,此外, 當(dāng) x 為自變量時(shí), 還可記,,即函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x 處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的,微分 d y 與自變量的微分 d x 的商, 故導(dǎo)數(shù)也,可稱為微商.,哈哈！除法, 這一下復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、參數(shù)方程等的求導(dǎo)公式就好理解了.,3. 微分的幾何意義,,,,,,,,,,,,,,微分的運(yùn)算法則,1.微分的基本公式,微分的基本公式與導(dǎo)數(shù)的基本公式相似,微分公式一目了然, 不必講了.,一階微分形式不變性 ( 復(fù)合函數(shù)微分法則 ),在點(diǎn) x0 處可微.,按微分的定義,但,故,說(shuō)明什么問(wèn)題？,,,,,我們發(fā)現(xiàn) y = f (u) , 當(dāng) u 為中間變量 時(shí)的微分形式與 u 為自變量時(shí)的微分的形 式相同 , 均為 dy = f (u) du , 這種性質(zhì)稱為 函數(shù)的一階微分形式不變性 .,解,故,,,由一階微分形式不變性, 再來(lái)看 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、參數(shù)方程等的求 導(dǎo)公式就會(huì)有另一種感覺(jué)：,解,三. 二階微分,其二階微分為,設(shè)函數(shù) y = f (x) 二階可導(dǎo), 當(dāng) x 為自變量時(shí),,由此看出, 當(dāng) x 為自變量時(shí),,,除法,,類似可定義 n 階微分:,注意這里 x 是自變量,具有這種不變性？,看一下二階微分的情形：,性, 且可構(gòu)成復(fù)合函數(shù) y = f ( (t)) , 則,設(shè)函數(shù) y = f (x), x = (t) 都具有相應(yīng)的可微,就是說(shuō), 二階微分不具備微分形式不變性.,三. 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用,函數(shù)增量的近似值：,函數(shù)值的近似值：,解,所以, 球的體積增量大約為,得,解,四.微分在誤差估計(jì)中的應(yīng)用,設(shè)某個(gè)量的精確值為 A, 它的近似值為 a,,為 a 的相對(duì)誤差.,A 為測(cè)量 A 的絕對(duì)誤差限, 簡(jiǎn)稱 A 的絕對(duì)誤差.,為測(cè)量 A 的相對(duì)誤差限, 簡(jiǎn)稱 A 的相對(duì)誤差.,則稱:,| A a | 為 a 的絕對(duì)誤差;,則稱:,設(shè)測(cè)得圓鋼截面的直徑 D = 60.03 mm ,,測(cè)量 D 的絕對(duì)誤差限 D0.05 mm ,試估計(jì),計(jì)算圓鋼的截面積時(shí)的面積誤差,解,,由于D 的絕對(duì)誤差限 D0.05 mm, 所以,而,因此 , A 的絕對(duì)誤差限約為,A 的相對(duì)誤差限約為,已知測(cè)量 x 的絕對(duì)誤差限為 x ,,y 的絕對(duì)誤差:,y 的絕對(duì)誤差限約為,y 的相對(duì)誤差限約為,即有,若根據(jù)直接測(cè)量的 x 值計(jì)算 y 值 ,,