,微積分建立的時(shí)代背景和歷史意義,2020年9月6日星期日,重慶市萬(wàn)州高級(jí)中學(xué) 曾國(guó)榮,.,微積分的概念 微積分的萌芽 微積分的發(fā)展 微積分的建立 微積分創(chuàng)立的現(xiàn)實(shí)意義 牛頓與萊布尼茨 數(shù)學(xué)史料,微積分建立的時(shí)代背景和歷史意義,1、微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。微積分是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支科學(xué)。微積分中的基本概念是函數(shù)、極限、實(shí)數(shù)、導(dǎo)數(shù)、積分等，其中極限是微積分的基石。,2、研究函數(shù)，從量的方面研究事物運(yùn)動(dòng)變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數(shù)學(xué)分析。,一、微積分的概念,4、微分學(xué)的主要內(nèi)容包括：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。,3、本來從廣義上說，數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學(xué)科，但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等同起來，數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞，一提數(shù)學(xué)分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)。,5、積分學(xué)的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分等。,一、微積分的概念,6、微積分的產(chǎn)生和發(fā)展被譽(yù)為“近代技術(shù)文明產(chǎn)生的關(guān)鍵事件之一，它引入了若干極其成功的、對(duì)以后許多數(shù)學(xué)的發(fā)展起決定性作用的思想?！倍鞲袼狗Q之為“17世紀(jì)自然科學(xué)的三大發(fā)明之一?！?7、微積分的建立，無論是對(duì)數(shù)學(xué)還是對(duì)其他科學(xué)以至于技術(shù)的發(fā)展都產(chǎn)生了巨大的影響，充分顯示了數(shù)學(xué)對(duì)于人的認(rèn)識(shí)發(fā)展、改造世界的能力的巨大促進(jìn)作用。,一、微積分的概念,（1）中國(guó)數(shù)學(xué)家的極限、積分思想, “割圓求周”（三國(guó)劉徽）, 圓周率、球體積、球表面積的研究 （祖沖之、祖暅）,一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭（戰(zhàn)國(guó)莊周）,樸素、典型的極限概念,二、微積分的萌芽,（2）外國(guó)數(shù)學(xué)家的極限、積分思想, 公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。, 歐幾里得(公元前330年前275年)是古希臘數(shù)學(xué)家，以其所著的幾何原本聞名于世，其中對(duì)不可約量及面積與體積的研究，包含了窮竭法的萌芽。,二、微積分的萌芽,1、到了十六世紀(jì)，有許多科學(xué)問題需要解決，由于航海、機(jī)械制造、軍事上的需要，運(yùn)動(dòng)的研究成了自然科學(xué)的中心議題，于是在數(shù)學(xué)中開始研究各種變化過程中的量（變量）之間的依賴關(guān)系，變量的引進(jìn)，形成了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。,2、到了十七世紀(jì)，生產(chǎn)的發(fā)展提出了許多技術(shù)上的新要求，這些科學(xué)問題的解決，對(duì)數(shù)學(xué)提出了新的要求，也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。,三、微積分的發(fā)展,3、十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決問題作了大量的研究工作，如法國(guó)的費(fèi)爾瑪、笛卡兒、羅伯瓦、笛沙格；英國(guó)的巴羅、瓦里士；德國(guó)的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。,三、微積分的發(fā)展,第一類是研究物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問題。,第二類問題是求曲線的切線的問題。,4、十七世紀(jì)中葉其他科學(xué)提出的 四種亟待解決的數(shù)學(xué)問題：,天文學(xué)、力學(xué)等涉及許多非勻速運(yùn)動(dòng)，大多數(shù)也不是直線運(yùn)動(dòng)，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法無能為力，要求新的數(shù)學(xué)工具。,不僅是幾何學(xué)的問題，而且也是許多其他科學(xué)問題的要求，如物體作曲線運(yùn)動(dòng)，光的折射和反射。,第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。,第四類問題是求曲線長(zhǎng)、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。,天文學(xué)和力學(xué)都有關(guān)，例如求行星運(yùn)動(dòng)的近日點(diǎn)遠(yuǎn)日點(diǎn)，拋射體的最大射程和高度等。,4、十七世紀(jì)中葉其他科學(xué)提出的 四種亟待解決的數(shù)學(xué)問題：,1、十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績(jī)是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問題（微分學(xué)的中心問題），一個(gè)是求積問題(積分學(xué)的中心問題)。,四、微積分的建立,2、牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的。,四、微積分的建立,1、微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運(yùn)用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。,2、一門科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個(gè)人的業(yè)績(jī)，他必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的。微積分也是這樣。,五、微積分創(chuàng)立的歷史意義,3、不幸的事，由于人們?cè)谛蕾p微積分的宏偉功效之余，在提出誰(shuí)是這門學(xué)科的創(chuàng)立者的時(shí)候，竟然引起了一場(chǎng)悍然大波，造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國(guó)數(shù)學(xué)家的長(zhǎng)期對(duì)立。英國(guó)數(shù)學(xué)在一個(gè)時(shí)期里閉關(guān)鎖國(guó)，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前，因而數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了一百年。,五、微積分創(chuàng)立的歷史意義,4、其實(shí)，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨(dú)立研究，在大體上相近的時(shí)間里先后完成的。比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼茨早10年左右，但是正式公開發(fā)表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長(zhǎng)處，也都各有短處。那時(shí)候，由于民族偏見，關(guān)于發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)論竟從1699年始延續(xù)了一百多年。,五、微積分創(chuàng)立的歷史意義,5、應(yīng)該指出，這是和歷史上任何一項(xiàng)重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時(shí)間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們?cè)跓o窮和無窮小量這個(gè)問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時(shí)候是零，有時(shí)候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎(chǔ)方面的缺陷，最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。,五、微積分創(chuàng)立的歷史意義,6、微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，最初牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程為了從萬(wàn)有引力定律導(dǎo)出了開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律。此后，微積分學(xué)極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)也極大的推動(dòng)了天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支中的發(fā)展。并在這些學(xué)科中有越來越廣泛的應(yīng)用，特別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。,五、微積分創(chuàng)立的歷史意義,牛頓，是英國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家和自然哲學(xué)家。1642年12月25日生于英格蘭林肯郡格蘭瑟姆附近的沃爾索普村,1727年3月20日在倫敦病逝。 牛頓1661年入英國(guó)劍橋大學(xué)三一學(xué)院，1665年獲文學(xué)士學(xué)位。隨后兩年在家鄉(xiāng)躲避瘟疫。這兩年里，他制定了一生大多數(shù)重要科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖。1667年回劍橋后當(dāng)選為三一學(xué)院院委，次年獲碩士學(xué)位。1669年任盧卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造幣廠監(jiān)督，并移居倫敦。1703年任英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)。1706年受女王安娜封爵。他晚年潛心于自然哲學(xué)與神學(xué)。 牛頓在科學(xué)上最卓越的貢獻(xiàn)是微積分和經(jīng)典力學(xué)的創(chuàng)建。,牛頓,牛頓在1671年寫了流數(shù)法和無窮級(jí)數(shù)，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量，把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑，求給定時(shí)刻的速度（微分法）；已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。,牛頓,萊布尼茨,萊布尼茨，德國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家，和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人；1646年7月1日生于萊比錫，1716年11月14日卒于德國(guó)的漢諾威。 他父親是萊比錫大學(xué)倫理學(xué)教授，家庭豐富的藏書引起他廣泛的興趣。1661年入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，又曾到耶拿大學(xué)學(xué)習(xí)幾何，1666年在紐倫堡阿爾特多夫取得法學(xué)博士學(xué)位。他當(dāng)時(shí)寫的論文論組合的技巧已含有數(shù)理邏輯的早期思想，后來的工作使他成為數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人。 1667年他投身外交界，曾到歐洲各國(guó)游歷。1676年到漢諾威，任腓特烈公爵顧問及圖書館的館長(zhǎng)，并常居漢諾威，直到去世。 萊布尼茨的多才多藝在歷史上很少有人能和他相比，他的著作包括數(shù)學(xué)、歷史、語(yǔ)言、生物、地質(zhì)、機(jī)械、物理、法律、外交等各個(gè)方面。,萊布尼茨是一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者,1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個(gè)很長(zhǎng)而且很古怪的名字一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時(shí)代的意義。他以含有現(xiàn)代的微分符號(hào)和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào)，這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響?，F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的.,萊布尼茨,再見,重慶市萬(wàn)州高級(jí)中學(xué) 曾國(guó)榮,