第三節(jié) 格林公式及其應用 分布圖示 ★ 區(qū)域的連通性 ★ 格林公式 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 利用格林公式計算平面圖形的面積 ★ 例6 ★ 例7 ★ 關(guān)于曲線積分的幾個等價命題 ★ 二元函數(shù)的全微分求積 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 全微分方程及其解法 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習 ★ 習題11—3 ★ 返回 內(nèi)容要點 一、格林公式 定理1 設閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)及在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有 (3.1) 其中L是D的取正向的邊界曲線. 若在格林公式(3.1)中，令 得 ， 上式左端是閉區(qū)域D的面積的兩倍，因此有 二、平面曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件 定理2 設開區(qū)域是一個單連通域，函數(shù)及在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則下列命題等價： （1） 曲線積分在內(nèi)與路徑無關(guān)； （2）表達式為某二元函數(shù)的全微分； （3）在內(nèi)恒成立； （4）對內(nèi)任一閉曲線，. 由定理的證明過程可見，若函數(shù)，滿足定理的條件，則二元函數(shù) (3.3) 滿足 ， 我們稱為表達式的原函數(shù). 或 例題選講 例1（E01）求，其中為圓周依逆時針方向（圖10-3-5） 解 由題意知, 為區(qū)域邊界的正向,故根據(jù)格林公式,有 例2 計算 其中曲線是半徑為的圓在第一象限部分. 解 引入輔助曲線令由格林公式,設則有 因為所以 例3（E02）求，其中為由點到點的上半圓周（圖10-3-6）. 解 在軸作連接點與點的輔助線,它與上半圓周便構(gòu)成封閉的半圓形于是 根據(jù)格林公式 由于的方程為所以 綜上所述,得 注：本例中，我們通過添加一段簡單的輔助曲線，使它與所給曲線構(gòu)成一封閉曲線，然后利用格林公式把所求曲線積分化為二重積分來計算. 在利用格林公式計算曲線積分時，這是常用的一種方法. 例4 計算 其中是以為頂點的三角形閉區(qū)域. 解 令則 應用格林公式,得 例5（E03）計算其中L為一條無重點, 分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線, L的方向為逆時針方向. 解 記所圍成的閉區(qū)域為令 則當時，有 (1) 當時，由格林公式知 (2) 當時，作位于內(nèi)圓周 記由和所圍成,應用格林公式，得 故 例6（E04）求橢圓，所圍成圖形的面積. 解 所求面積 例7 計算拋物線與軸所圍成的面積. 解 為直線曲線為 例8計算 其中為由點到點的曲線弧 解 原積分與路徑無關(guān). 故原積分 例9（E05）計算其中L為如圖10-3-11所示的圓弧段 解 因 所以曲線積分與路徑無關(guān),作新路徑折線,因而 例10（E06）計算積分沿不通過坐標原點的路徑. 解 顯然,當時， 于是 例11 試求常數(shù), 使與路徑無關(guān), 并求的值. 解 由得于是 例 12 驗證: 在整個面內(nèi), 是某個函數(shù)的全微分, 并求出一個這樣 的函數(shù). 證1 且 故在整個面內(nèi), 是某個函數(shù)的全微分.取積分路線如圖,則 證2 利用原函數(shù)法求全微分函數(shù) 由 其中是的待定函數(shù).由此得 又必須滿足 所求函數(shù)為 例13（E07）設函數(shù)在平面上具有一階連續(xù)偏導數(shù), 曲線積分與路徑無關(guān), 并且對任意t, 總有 求 解 由曲線積分與路徑無關(guān)的條件知 于是其中為待定函數(shù). 由題意可知 兩邊對求導,得 或 所以 例14（E08）設曲線積分與路徑無關(guān), 其中具有連續(xù)的導數(shù), 且計算 解 因積分與路徑無關(guān)散 由 由知 故 例15 選取使表達式 為某一函數(shù)的全微分, 并求出這個函數(shù). 解 若表達式全微分式,則即 得 例16（E09）求方程的通解. 解 原方程是全微分方程, 原方程的通解為 例17 求解 解 這里，所以題設方程是全微分方程. 可取由全微分求積公式得: 于是，方程的通解為 例18（E10）求方程的通解. 解 原方程是全微分方程, 將左端重新組合 原方程的通解為 例19求微分方程的通解. 解 將題設方程改寫為 即 將方程左端重新組合,有 故題設方程的通解為 課堂練習 1. 計算 其中L為正向圓周曲線 2. 計算 其中L為沿擺線從O(0, 0)到的一段弧. 3. 驗證是全微分, 并求其一個原函數(shù).