第三節(jié) 數(shù)量積 向量積 混合積 分布圖示 ★ 兩向量的數(shù)量積 ★ 數(shù)量積的運算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 向量積概念的引入 ★ 向量積的定義 ★ 向量積的運算 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 向量的混合積 ★ 混合積的幾何意義 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習 ★ 習題8-3 ★ 返回 內(nèi)容要點 一、兩向量的數(shù)量積 定義1設(shè)有向量、，它們的夾角為，乘積稱為向量與的數(shù)量積（或稱為內(nèi)積、點積），記為，即 . 根據(jù)數(shù)量積的定義，可以推得： （1） ; （2） ; （3） 設(shè)、為兩非零向量，則 的充分必要條件是 . 數(shù)量積滿足下列運算規(guī)律： （1）交換律 （2）分配律 （3）結(jié)合律 ,（為實數(shù)）. 二、兩向量的向量積 定義2 若由向量與所確定的一個向量滿足下列條件： （1）的方向既垂直于又垂直于, 的指向按右手規(guī)則從轉(zhuǎn)向來確定（圖8-3-4）； （2）的模 ，(其中為與的夾角)， 則稱向量為向量與的向量積（或稱外積、叉積），記為 . 根據(jù)向量積的定義，即可推得 （1）； （2）設(shè)、為兩非零向量，則 的充分必要條件是 . 向量積滿足下列運算規(guī)律: （1） （2）分配律 （3）結(jié)合律 ,（為實數(shù)）. 三、向量的混合積 例題選講 兩向量的數(shù)量積 例1(E01) 已知 求 (1) (2) 與的夾角; (3) 與上的投影. 解 (1) (2) (3) 例2 證明向量與向量垂直. 證 例3 試用向量方法證明三角形的余弦定理. 證 如圖所示(見系統(tǒng)演示), 設(shè)在中, 現(xiàn)要證記則有從而 由即得 例4 (E02) 設(shè)與垂直, 與垂直, 求與之間的 夾角. 解 所以,即 (1) 又所以 即 (2) 聯(lián)立方程(1), (2)得 所以 ， 例5 (E03) 設(shè)液體流過平面S上面積為A的一個區(qū)域, 液體在這區(qū)域上各點處的流速均為(常向量) v. 設(shè)n為垂直于S的單位向量(圖7-3-3a), 計算單位時間內(nèi)經(jīng)過這區(qū)域流向n所指一方的液體的質(zhì)量P (液體的密度為). 解 如圖(見系統(tǒng)演示)，單位時間內(nèi)流過這區(qū)域的液體組成一個底面積為、斜高為的斜柱體, 這柱體的斜高與底面的垂線的夾角就是與的夾角所以這柱體的高為體積為 從而，單位時間內(nèi)經(jīng)過這區(qū)域流向所指一方的液體的質(zhì)量為 兩向量的向量積 例6 (E04) 求與都垂直的單位向量. 解 例7 在頂點為和的三角形中, 求AC邊上的高BD. 解 三角形的面積為 又 所以從而 例8 設(shè)向量兩兩垂直, 伏隔右手規(guī)則, 且 計算 解 依題意知與同向, 例9 (E05) 設(shè)剛體以等角速度繞l軸旋轉(zhuǎn), 計算剛體上一點M的線速度. 解 剛體繞軸旋轉(zhuǎn)時，我們可以用在軸上的一個向量表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手規(guī)則寫出: 即右手握住軸,當右手的四個手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時，大拇指的指向就是的方向，如圖，設(shè)點至旋轉(zhuǎn)軸的距離為再在軸上任取一點作向量并以表示與的夾角，則設(shè)線速度為那么由物理學(xué)上線速度與角速度的關(guān)系可知, 的大小為 的方向垂直于通過點與軸的平面，即垂直于與 又的指向是使符合右手規(guī)則. 因此有 例10 利用向量積證明三角形正弦定理. 證 設(shè)的三個內(nèi)角為三邊長為, 如圖(見系統(tǒng)演示). 因為，所以 故即 兩邊取模即故 同理可證 因此三角形正弦定理得證. 向量的混合積 例11 (E06) 已知, 計算 解 例12 (E07) 已知空間內(nèi)不在同一平面上的四點 求四面體的體積. 解 由立體幾何知，四面體的體積等于以向量、、為棱的平行六面體的體積的六分之一: 式中正負號的選擇必須和行列式的符號一致 例13 已知, 求一單位向量 使, 且與此同時共面. 解 設(shè)所求向量依題意與共面，可得 (1) 即 (2) 即 (3) 將式(1)式(2)與式(3)聯(lián)立解得 或或或 所以 課堂練習 1.已知向量 證明 2.已知兩兩垂直, 且求的長度與它和的夾角.