第二節(jié) 第二類曲線積分 分布圖示 ★ 引例 變力沿曲線所作的功 ★ 第二類曲線積分的概念 ★ 空間曲線弧上的第二類曲線積分 ★ 第二類曲線積分的性質 ★ 第二類曲線積分的計算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 內容小結 ★ 課堂練習 ★ 習題11—2 ★ 返回 內容要點 一、引例：設有一質點在面內從點沿光滑曲線弧移動到點,在移動過程中，這質點受到力 (2.1) 的作用，其中，在上連續(xù). 試計算在上述移動過程中變力所作的功. 二、 第二類曲線積分的定義與性質： 平面上的第二類曲線積分在實際應用中常出現(xiàn)的形式是 性質1 設L是有向曲線弧, 是與L方向相反的有向曲線弧，則 ； 即第二類曲線積分與積分弧段的方向有關. 性質2 如設由和兩段光滑曲線組成，則 . 三、第二類曲線積分的計算： . (2.9) 如果曲線的方程為 起點為a, 終點為b，則 如果曲線的方程為 起點為c, 終點為d，則 例題選講 第二類曲線積分的計算 例1（E01）計算的值, 其中L分別為圖10-2-3中的路徑: (1) 從到的直線; (2) 從到再從到的折線; (3) 從沿拋物線到 解 連接兩點的直線方程為對應于的方向,從變到 所以 (2) 從到的直線為從變到且又從到的直線為 從變到，且于是 (3) 化為對的定積分, 從變到1，于是 注: 本例表明,即使被積函數(shù)相同,起點和終點也相同,但沿不同的積分路徑的積分結果并不相等. 例2（E02）計算其中L為曲線上從到的一段?。▓D10-2-4）. 解 (1) 化為對的定積分, (2) 化為對的定積分, 從變到1. 注: 易見化為對的定積分計算較為簡單. 例3 計算，其中分別為圖10-2-5中的路線： (1) 直線； (2) 拋物線：； (3) 折線. 解 (1) 直線的方程為對于的方向,參數(shù)從變到1， 于是 (2) 拋物線的方程為對于的方向,參數(shù)從1變到2,于是 (3) 在折線中，從1變到 2; 從1 變到 3. 注: 本例表明,如果被積函數(shù)相同,起點和終點也相同,沿著不同積分路徑的積分結果也可能相等. 例4（E03）計算為點至點的空間有向線段. 解 直線的方程為改寫為參數(shù)方程為 對應著起點，對應著終點 于是 例5（E04）求質點在力的作用下沿著曲線（圖10-2-6） 從點移動到點時所作的功. 解 注意到對于的方向, 參數(shù)從變到所以 課堂練習 1.計算其中L為與x軸所圍的閉曲線, 依順時針方向. 2. 計算其中是從點A(3, 2, 1)到點B(0, 0, 0)的直線段AB.