《高等數(shù)學(xué)備課資料：第八章 空間解析幾何與向量代數(shù) 06 第六節(jié) 平面及其方程》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)備課資料：第八章 空間解析幾何與向量代數(shù) 06 第六節(jié) 平面及其方程（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第六節(jié) 平面及其方程 平面是空間中最簡單而且最重要的曲面. 本節(jié)我們將以向量為工具，在空間直角坐標(biāo)系中建立其方程，并進(jìn)一步討論有關(guān)平面的一些基本性質(zhì). 分布圖示 ★ 平面的點法式方程 ★ 例1 ★ 例2 ★ 平面的一般方程 ★ 例3 ★ 例4 ★ 平面的截距式方程 ★ 例5 ★ 平面的夾角 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 點到平面的距離 ★ 例9 ★ 例10

2、 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí) ★ 習(xí)題8-6 ★ 返回 內(nèi)容要點 一、平面的點法式方程： 二、平面的一般方程： 三、平面的截距式方程： 四、兩平面的夾角：設(shè)有兩平面和： 則兩平面的夾角 從兩向量垂直和平行的充要條件，即可推出： （1） 的充要條件是； （2）的充要條件是 （3）重合的充要條件是 五、點到平面的距離： 例題選講 平面的點法式方程 例1 (E01) 求過點且與平面平行的平面方程. 解 因為所求平面和已知平面平行，

3、而已知平面的法向量為設(shè)所求平面的法向量為則故可取于是，所求平面方程為 即 例2 (E02) 求過點和的平面方程. 解 取 所求平面方程為 化簡得 平面的一般方程 例3 (E03) 求通過軸和點的平面方程. 解 設(shè)所求平面的一般方程為因為所求平面通過軸，且法向量垂直于軸,于是法向量在軸上的投影為零，即 又平面通過原點，所以從而方程成為 (1) 又因平面過點因此有即 以此代入當(dāng)成(1)，再除以便得到所求方程為 例4 (E04) 設(shè)平面過原點及點，且與平面垂直，求此平面方程. 解 設(shè)平面為由平面過原點知由平面過點知 所求平面方程為

4、 平面的截距式方程 例5 (E05) 求平行于平面而與三個坐標(biāo)面所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程. 解 設(shè)平面方程為 由所求平面與已知平面平行得向量平行的充要條件 令 由 所求平面方程為 即 兩平面的夾角 例6 (E06) 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系: (1) (2) 解 且 故兩平面相交，夾角為 且又 故兩平面平行但不重合. 例7 求平面II, 使其滿足: (1) 過軸; (2) II與平面夾角為. 解 因為平面過軸，可設(shè)其方程為又因為與已知平面夾角為故 或 或 例8 (E07) 求經(jīng)過兩點和且與平面垂直

5、的平面的方程. 解 設(shè)所求的平面方程為由于點和在平面上，故 又由于所求平面與平面垂直,由兩平面垂直條件有 從上面三個方程中解出得 代入所設(shè)方程，并約去因子得所求的平面方程 點到平面的距離 例9 (E08) 求兩平行平面：和： 之間的距離. 解 可在平面上任取一點，該點到平面的距離即為這兩平行平面間的距離. 為此，在平面上取點則 例10 求平行于平面, 且與球面相切的平面的方程. 解 可利用條件寫出平面的一般式方程,再利用球心到平面的距離來確定一般式方程中的特定系數(shù). 由可設(shè)平面的方程為 因為平面與球面相切，故球心到平面的距離 得 故所求平面的方程為或 課堂練習(xí) 1.若平面與平面的夾角為,求. 2.求通過點且垂直于平面 的平面方程.