第八節(jié) 點(diǎn)函數(shù)的積分概念 迄今為止, 我們先后學(xué)習(xí)了定積分、二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分等多種不同類型的積分. 在學(xué)習(xí)過程中, 我們也注意到上述各類積分在定義與性質(zhì)的表述上相當(dāng)類似,那么是否可從上述積分概念中抽象出一種統(tǒng)一的積分概念的表述, 使得上述各類積分都是它的一種特殊情形呢? 這個(gè)問題的答案是肯定的. 由此要引入點(diǎn)函數(shù)積分的概念. 分布圖示 ★ 引 言 ★ 點(diǎn)函數(shù)積分的概念 ★ 點(diǎn)函數(shù)積分的性質(zhì) ★ 點(diǎn)函數(shù)積分的分類及其關(guān)系 ★ 返回 內(nèi)容要點(diǎn) 點(diǎn)函數(shù)積分的概念 點(diǎn)函數(shù)積分的性質(zhì) 點(diǎn)函數(shù)積分的分類及其關(guān)系 一、點(diǎn)函數(shù)積分的概念 定義1 設(shè)為有界閉區(qū)域, 函數(shù)為上的有界點(diǎn)函數(shù). 將形體任意分成n個(gè)子閉區(qū)域其中表示第i個(gè)子閉區(qū)域, 也表示它的度量, 在上任取一點(diǎn), 作乘積 并作和 如果當(dāng)各子閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時(shí), 這和式的極限存在, 則稱此極限為點(diǎn)函數(shù)在上的積分, 記為, 即 其中稱為積分區(qū)域, 稱為被積函數(shù), P稱為積分變量, 稱為被積表達(dá)式, 稱為的度量微元. 點(diǎn)函數(shù)積分具有如下物理意義: 設(shè)一物體占有有界閉區(qū)域, 其密度為則該物體的質(zhì)量 特別地, 當(dāng)時(shí), 有 如果點(diǎn)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù), 則在上可積. 二、點(diǎn)函數(shù)積分的性質(zhì) 設(shè)在有界閉區(qū)域上都可積, 則有 性質(zhì)1 性質(zhì)2 性質(zhì)3 其中且與無(wú)公共內(nèi)點(diǎn). 性質(zhì)4 若 則 性質(zhì)5 若 則 特別地, 有 性質(zhì)6 若在積分區(qū)域上的最大值為M, 最小值為m, 則 性質(zhì)7 (中值定理)若在有界閉區(qū)域上連續(xù), 則至少有一點(diǎn)使得 其中稱為函數(shù)在上的平均值. 三、點(diǎn)函數(shù)積分的分類及其關(guān)系 1.若這時(shí)則 (1) 這是一元函數(shù)在區(qū)間上的定積分. 當(dāng)時(shí), 是區(qū)間長(zhǎng). 2.右且L是一平面曲線, 這時(shí)于是 (2) 當(dāng)時(shí), 是曲線的弧長(zhǎng). (2)式稱為第一類平面曲線積分. 3.若且是空間曲線, 這時(shí)則 (3) 當(dāng)時(shí), 是曲線的弧長(zhǎng). (3)式稱為第一類空間曲線積分. 2、3的特殊情形是曲線為直線段, 而直線段上的點(diǎn)函數(shù)積分本質(zhì)上是一元函數(shù)的定積分,這說明可用一次定積分計(jì)算, 因此用了一次積分號(hào). 4.若且D是平面區(qū)域, 這時(shí) 則 (4) (4)式稱為二重積分. 當(dāng)時(shí), 是平面區(qū)域D的面積. 5.若且是空間曲面, 這時(shí) 則 (5) (5)式稱為第一類曲面積分. 當(dāng)時(shí), 是空間曲面的面積. 由于(5)的特殊情形是平面區(qū)域上的二得積分, 說明該積分可化為兩次定積分的計(jì)算, 因此用二重積分號(hào). 6.若為空間立體, 這時(shí) 則 (5) (6)式稱為三重積分. 當(dāng), 則是空間立體的體積. 更進(jìn)一步, 我們還可以利用點(diǎn)函數(shù)積分的概念統(tǒng)一來表述占有界閉區(qū)域的物體的重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等物理概念, 此處不再表述.