1計(jì)算下列各題的差分：；【解】?！窘狻?。2求下列差分方程的通解：；【解】這是一階常系數(shù)非齊次線性差分方程，先求其對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解：由得，可知通解為，再求非齊次線性差分方程的一個(gè)特解：由于方程右邊為一次多項(xiàng)式，可知可以為多項(xiàng)式，而一階差分的結(jié)果比高一次，因此可設(shè)方程有特解，將該特解代入方程，得，即為，對(duì)比應(yīng)有，解之得，故有，從而所求方程的通解為。；【解】這是一階常系數(shù)非齊次線性差分方程，先求其對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解：由得，可知通解為，再求非齊次線性差分方程的一個(gè)特解：由于方程右邊為二次多項(xiàng)式，可知可以為多項(xiàng)式，再因的結(jié)果與同次，因此可設(shè)為方程的一個(gè)特解，代入方程，得，即為，對(duì)比應(yīng)有，解之得，故方程有特解，從而所求方程的通解為。；【解】這是一階常系數(shù)非齊次線性差分方程，先求其對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解：由得，可知通解為，再求非齊次線性差分方程的一個(gè)特解：由于方程右邊含指數(shù)函數(shù)，可知應(yīng)含，又因，可知應(yīng)含多項(xiàng)式，易見(jiàn)所含的多項(xiàng)式與所含的多項(xiàng)式同次，而方程右邊所含多項(xiàng)式為0次的，故可設(shè)所含的多項(xiàng)式為0次的，因此可設(shè)為方程的一個(gè)特解，代入方程，得，整理得，解得，故有，從而所求方程的通解為?！窘狻窟@是一階常系數(shù)非齊次線性差分方程，先求其對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解：由得，可知通解為，再求非齊次線性差分方程的一個(gè)特解：由于方程右邊為0次多項(xiàng)式1，可知可以為多項(xiàng)式，再因的結(jié)果與同次，因此可設(shè)方程特解為，代入方程，得，亦即，解得即得，故有，從而所求方程的通解為。3求下列二階差分方程的通解：；【解】這是二階常系數(shù)線性齊次差分方程，其特征方程有兩個(gè)相異實(shí)根，根據(jù)相異特征根，對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)特解，可知方程有兩個(gè)特解為，由于常數(shù)，知與線性無(wú)關(guān)，從而得差分方程的通解為。；【解】這是二階常系數(shù)線性齊次差分方程，其特征方程，方程有兩個(gè)共軛復(fù)根，根據(jù)共軛復(fù)根對(duì)應(yīng)方程兩個(gè)特解，其中，可得：由于，而得，于是方程有兩個(gè)特解為，由于常數(shù)，知與線性無(wú)關(guān)，從而得差分方程的通解為。；【解】這是二階常系數(shù)線性非齊次差分方程，先求齊次差分方程的通解：由于特征方程有兩個(gè)實(shí)重根，于是方程有一個(gè)特解為，可以驗(yàn)證，方程有另一特解為，由于常數(shù)，知與線性無(wú)關(guān)，從而得差分方程的通解為。再求非齊次差分方程的一個(gè)特解：由于方程右邊為0次多項(xiàng)式3，可知可以為多項(xiàng)式，再因的運(yùn)算結(jié)果與同次，因此可設(shè)方程有特解為，代入方程，得，整理得，即知方程有特解為。綜上得，方程的通解為。【解】這是二階常系數(shù)線性非齊次差分方程，先求齊次差分方程的通解：由于特征方程有兩個(gè)實(shí)重根，于是方程有一個(gè)特解為，可以驗(yàn)證，方程有另一特解為，由于常數(shù)，知與線性無(wú)關(guān)，從而得差分方程的通解為。再求非齊次差分方程的一個(gè)特解：由于方程右邊含因子，可知必含因子,去掉因子后，還可以含多項(xiàng)式，因此可設(shè)方程有特解,代入方程，得，整理得，再因的運(yùn)算結(jié)果比低2次，因此可設(shè)為，代入方程，得，可取，即知方程有特解為。綜上得，方程的通解為。