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1、第三章 隨機變量的數(shù)字特征,隨機變量的數(shù)學(xué)期望（2）,第二講,我們經(jīng)常要求隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 ， 例如飛機的機翼受到的壓力是風(fēng)速的二次函數(shù) 如果知道風(fēng)速這個隨機變量的分布情況，需要 求壓力的數(shù)學(xué)期望，就是求隨機變量函數(shù)的數(shù) 學(xué)期望。,2、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,設(shè) X為隨機變量，Y=g(X), g(x) 是連續(xù)函數(shù),（1）若離散型隨機變量X 的分布律為,則,（2）若連續(xù)型隨機變量X 的概率密度為 f(x),則,例1 設(shè)隨機變量 X 的分布律為,求E(X)及E(X2),解：,例2 設(shè)風(fēng)速V在(0,a)上服從均勻分布，即密度函數(shù),又設(shè)飛機機翼受到的正壓力W是V的函數(shù)W=kV2, 求W 的數(shù)學(xué)期

2、望。,解：,例3 某公司計劃開發(fā)一種新產(chǎn)品市場，并試圖確 定該產(chǎn)品的產(chǎn)量。他們估計出售一件產(chǎn)品可獲利 m元,而積壓一件產(chǎn)品導(dǎo)致n元的損失。再者，他 們預(yù)測銷售量Y (件) 服從指數(shù)分布，概率密度為,問若要獲得利潤的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)生產(chǎn)多少 件產(chǎn)品？(m , n , 均為已知),解：設(shè)生產(chǎn) x 件，則獲利 Q 是 x 的函數(shù),,Q是隨機變量，且是 Y 的函數(shù)，數(shù)學(xué)期望為,m=500元， n=2000元，則,故取產(chǎn)量x=2231件，可使得利潤的數(shù)學(xué)期望 取得最大值。,3、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),(1) 設(shè)C為常數(shù)，則E(C)=C,(2) 設(shè)X是一隨機變量，C為常數(shù)，則有,E(CX)=CE(X),(3) 設(shè)

3、X、Y是兩個隨機變量，則有,E(X + Y)=E(X) + E(Y),可推廣為,(4) 設(shè)X、Y是兩個相互獨立隨機變量，則有,E(XY)=E(X)E(Y),例4 一空港巴士載有20位旅客自機場開出，沿途 有10個車站可以下客。如到達一個車站沒有旅客 下車就不停車，以 X 表示停車的次數(shù)，求X 的數(shù) 學(xué)期望（假設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能 的，且各位旅客是否下車相互獨立）。,解：引入隨機變量,任一旅客在第i站下車的概率為1/10，在第i站不 下車的概率為9/10。因此，第i 站沒人下車的概 率為,第i 站有人下車的概率為,即該空港巴士在到達目的地的途中平均停車 8.784次。,例5 求二項分布隨機變量 X b( n , p ) 的數(shù)學(xué)期望,解：,二項分布的分布律為,小 結(jié):,1、離散型隨機變量函數(shù) g (X)的數(shù)學(xué)期望,2、連續(xù)型隨機變量函數(shù) g (X) 的數(shù)學(xué)期望,3、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),E (a X + b)=a E (X) + b a , b為常數(shù),E(X + Y)=E(X) + E(Y),若X、Y獨立，則E(XY)=E(X)E(Y),