第四章 非線性信號(hào)的特征和表示法( Features and Representation of Nonlinear Signal),第一節(jié) 分形體和分維數(shù)（Fractal and Fractal Dimension）,一、分形體（Fractal） 具有非整數(shù)維的結(jié)構(gòu)叫做分形體。就是說真實(shí)空間都充滿分形(fractal)特征，即現(xiàn)實(shí)世界是一個(gè)分形的世界。維數(shù)大于1小于2的結(jié)構(gòu)，是一個(gè)比直線復(fù)雜而又未完全填充平面的一種結(jié)構(gòu)。維數(shù)大于2小于3的結(jié)構(gòu)，是一個(gè)比平面復(fù)雜而又未完全填充三維空間的一種結(jié)構(gòu)。 分形體的局部與整體的某種相似性叫做自相似性（self-similarity）。子女與父母，大小不同的樹葉，海上的波濤，天空的云彩，疊嶂的群山，蜿蜒的海岸線，縱橫交錯(cuò)的毛細(xì)血管網(wǎng)，呼吸道的微絨毛，肺支氣管，心電和腦電,都是局部與整體具有某種相似性的客觀現(xiàn)實(shí)。 典型的理想的分形的例子有科赫雪花(Koch snowflake)和康托塵土(Kongtor dust)。,典型的理想的分形的例子有科赫雪花(Koch snowflake)和康托塵土(Kongtor dust)。,二、分維數(shù)（fractal dimension）,量度分形體的這種結(jié)構(gòu)復(fù)雜性的量叫分維數(shù)。計(jì)算其自相似復(fù)雜性的分?jǐn)?shù)維叫相似維。 下面以科赫雪花為例，說明如何計(jì)算相似維及相似維量度其自相似復(fù)雜性的能力。圖4-3是用與圖4-1同一個(gè)1/3的生成子生成的三種不同的結(jié)構(gòu)。,由計(jì)算可以得出以下推論：,1.用生成子單位去量度同一分形體，所得的分維值最大； 2.用同一量度單位去量度具有不同的自相似復(fù)雜性的分形體，所得的分維值是不同的:復(fù)雜性大的,分維數(shù)大。 3.用不同的量度單位去量度同一分形體，結(jié)果不同。這提示：要用同一單位進(jìn)行量度，才能比較不同分形體的復(fù)雜性。 4.用生成子去量度具有不同復(fù)雜性的分形體，所得的差異最大 因此，用生成子去量度具有不同復(fù)雜性的分形體, 更便于區(qū)分其不同的復(fù)雜性。,第二節(jié) 混沌特征及其定量描述（Chaotic Characteristics and Its Quantitative Description）,一、混沌（chaos） 結(jié)果對(duì)初始條件的敏感性，也就是說出現(xiàn)了結(jié)果的不可預(yù)測(cè)性?？茖W(xué)界就把這樣的現(xiàn)象稱為“混沌”。就是說非線性就有可能導(dǎo)致混沌。在對(duì)大氣和湍流的研究中，都會(huì)得到非線性微分方程組，而大氣和湍流的運(yùn)動(dòng)都具有局部與整體的某種自相似性。研究表明自相似性也是混沌想象的一種特征。,混沌運(yùn)動(dòng)具有以下特征：,1非線性、非周期性、非隨機(jī)性。 2對(duì)初始條件的敏感性，即短期的不可預(yù)測(cè)性。 3具有某種自相似性，因而分形是混沌運(yùn)動(dòng)的一 種特征。 4寬帶譜也是混沌運(yùn)動(dòng)的一種特性。 5有界性，混沌運(yùn)動(dòng)雖然變化的范圍很大，但過程只限于一定的時(shí)空范圍。 6由于很小的初始條件的變化（擾動(dòng)）會(huì)導(dǎo)致結(jié)果的巨大變化，因而運(yùn)動(dòng)的某種不穩(wěn)定性，也是混沌運(yùn)動(dòng)的一種特征。,二、混沌運(yùn)動(dòng)的圖形特征,1相平面圖（phase plane plot）,2延遲映射圖（return map）,三、混沌診斷指標(biāo)（Signs for Diagnosing Chaos）,所謂混沌診斷，即如何判斷一種運(yùn)動(dòng)是否具有混沌特征。滿足以下兩個(gè)以上的條件，可以判斷為混沌。 1初始條件的敏感性。 2大于1的分維數(shù)。 3大于0的李雅普諾夫指數(shù)。 4寬帶譜。,四、非線性導(dǎo)致混沌的數(shù)值例子,1三分岔現(xiàn)象 2無限循環(huán)而不重復(fù) 3初始條件的敏感性 4類似隨機(jī)的特征 5有界性,第三節(jié) 復(fù)雜性和復(fù)雜度（Complexes and Complexity）,一、復(fù)雜性（Complexes） 關(guān)于什么是復(fù)雜性？尚無確切的定義。研究復(fù)雜性多數(shù)認(rèn)為是研究非線性。但是非線性是確定性。如果這樣認(rèn)為，則非線性就成了確定性的一個(gè)分支。也有人從隨機(jī)性出發(fā)研究復(fù)雜性，這就認(rèn)為復(fù)雜性不是確定性。這樣就成了兩種不同復(fù)雜性：非線性復(fù)雜性和隨機(jī)性復(fù)雜性。,二、復(fù)雜度(Complexity),復(fù)雜度就是復(fù)雜性的數(shù)字量度，或稱為數(shù)學(xué)模型。從非線性出發(fā)提出了一些數(shù)學(xué)模型；從隨機(jī)性出發(fā)也提出了一些數(shù)學(xué)模型。 除了前面已經(jīng)介紹過的分維數(shù)外，再舉幾個(gè)具體的量度復(fù)雜性的例子：近似熵和信息熵，李雅普諾夫指數(shù)和混沌度。,近似熵是用一個(gè)非負(fù)數(shù)來度量一個(gè)時(shí)間序列的復(fù)雜性的一種方法。 信息是客觀事物的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和存在方式的描述。信息熵（entropy，物理學(xué)家嚴(yán)濟(jì)慈將之譯成“熵”，隱含了Entropy的物理意義和計(jì)算要點(diǎn)）從信息論的角度描述信息的復(fù)雜性, 用以表示信息（由信號(hào)攜載）的復(fù)雜程度。 從混沌運(yùn)動(dòng)的軌道發(fā)散性出發(fā)，提出了量度運(yùn)動(dòng)狀態(tài)復(fù)雜性的公式，稱為里雅普諾夫指數(shù) 。,