第三章 軸向拉壓變形題號頁碼3-2 .13-4 .23-5 .23-7 .33-8 .53-10 .63-11 .73-13 .83-15 .103-16 .103-18 . 113-19 .133-20 .143-24 .153-25 .163-27 .173-28 .183-29 .203-30 .213-32 .22（也可通過左側(cè)的題號書簽直接查找題目與解）3-2一外徑 D=60mm、內(nèi)徑 d=20mm 的空心圓截面桿，桿長 l = 400mm，兩端承受 軸向拉力 F = 200kN 作用。若彈性模量 E = 80GPa，泊松比 µ =0.30。試計算該桿外徑的改變 量 D 及體積改變量 V 。解：1.計算 D由于3 = F， = D = µ = µF3EADEA故有 D = D = µFD = 4µFD= 4 × 0.30 × 200 ×10× 0.060mEAE (D 2 d 2 )80 ×109 × × (0.0602 0.0202）= 1.79 ×105 m = 0.0179mm2.計算 V由于變形后該桿的體積為V = lA = (l + l ) (D + D)2 (d + d )2 = Al(1 + )(1 + )2 V (1 +4+ 2 )故有3V = V V = V ( + 2 ) = Fl (1 2 µ) = 200 ×10× 0.400 m 3 (1 2 × 0.3)E= 4.00 ×10 7 m 3 = 400mm380 ×1093-4圖示螺栓，擰緊時產(chǎn)生 l =0.10mm 的軸向變形。試求預(yù)緊力 F，并校核螺栓的 強度。已知：d1 = 8.0mm，d2 = 6.8mm，d3 = 7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm；E = 210GPa， =500MPa。解：1.求預(yù)緊力 F由于各段軸力數(shù)值上均等于 F ，故有題 3-4 圖l = F ( l1+ l2d1E+ l3 ) = 4F ( l1+ l2+ l3 )由此得E A1A2A3222dd23F =El9= × 210 ×10× 0.10 ×10 3N = 1.865 ×10 4 N = 18.65kNd24( l11+ l22dd2+ l3)234 × ( 0.0060.0082+ 0.0290.00682+ 0.008 )0.007 22.校核螺栓的強度=F2= 4F3= 4 ×18.65 ×10N = 5.14 ×108 Pa = 514MPamaxAmind 2 × 0.00682 m 2此值雖然超過 ，但超過的百分?jǐn)?shù)僅為 2.6，在 5以內(nèi)，故仍符合強度要求。3-5圖示桁架，在節(jié)點 A 處承受載荷 F 作用。從試驗中測得桿 1 與桿 2 的縱向正應(yīng)1-4變分別為 = 4.0×10-4與2 = 2.0×10。試確定載荷 F 及其方位角 之值。已知桿 1 與桿 2 的橫截面面積 A1= A2=200mm2，彈性模量 E1= E2=200GPa。解：1.求各桿軸力題 3-5 圖F= E A= 200 ×109 × 4.0 ×10 4 × 200 ×10 6 N = 1.6 ×10 4 N = 16kNN11 1 1FN2= E2 2 A2= 200 ×109 × 2.0 ×10 4 × 200 ×10 6 N = 8 ×103 N = 8kN2.確定 F 及 之值由節(jié)點 A 的平衡方程 Fx = 0 和 Fy = 0 可得ooFN2 sin30+ Fsin FN1sin30 = 0(a)ooFN1cos30+ FN2 cos30 Fcos = 0(b)化簡后，成為FN1 FN2 = 2Fsin(c)及聯(lián)解方程(c)與(d)，得3(FN1 + FN2 ) = 2Fcos（d）tan =FN1 FN23=(16 8) ×10= 0.1925由此得3(FN1+ FN2 )3(16 + 8) ×103 = 10.89o 10.9o3F = FN1 FN22sin= (16 8) ×102sin10.89oN = 2.12 ×10 4 N = 21.2kN3-7圖示為打入土中的混凝土地樁，頂端承受載荷 F，并由作用于地樁的摩擦力所支 持。設(shè)沿地樁單位長度的摩擦力為 f，且 f = ky2，式中，k 為常數(shù)。試求地樁的縮短量 。已知地樁的橫截面面積為 A，彈性模量為 E，埋入土中的長度為 l。23解：1.求總摩擦力 Fy題 3-7 圖F = lkl 3fdy = ky 2 dy =2.確定 k根據(jù) Fy = F ，得yl03kl 33F= F k =3l 3（a）3.求 y 處的軸力 FNyyky 3F = fdy = ky 2 dy =N4.求 y處dy 微段的縮短量為積分可得003d = FN dyEAl F dy = N=kl y 3 dy =kl 4（b）將式(a）代入式(b)，最后得0 EA3EA 012EA = Fl4EA3-8長度為 l = 180mm 的鑄鐵桿，以角速度 繞 O1O2 軸等速旋轉(zhuǎn)。若鑄鐵密度 =7.54×103kg/m3，許用應(yīng)力 = 40MPa，彈性模量 E = 160GPa，試根據(jù)桿的強度確定軸的許用轉(zhuǎn) 速，并計算桿的相應(yīng)伸長。解：1.求軸的許用轉(zhuǎn)速 n題 3-8 圖2離軸為 x 處的 dx 微段質(zhì)量的離心慣性力為2dF = (µAdx) 2 xx 處桿截面的軸力為F ( x) = l / 2A2 xdx = A ( l x 2 )(a)Nx24最大軸力在軸線處（ x = 0 ），其值為FN, max =A2l 28由強度要求F=N,max= 2l 2 maxA8可得 8 =8 × 40 ×106= 1144.51/ secl 27.54 ×103 × 0.1802 sec2計算中用到1N = 1kg m/sec2 。相應(yīng)之許用轉(zhuǎn)速為n = 60 = 60 ×1144.5r = 10929r/min22.計算桿的總伸長量由式(a)可得2 min22 ( x) = FN ( x) = ( l x 2 )從而有EA2E4l l = 2/ 2l / 2 ( x)dx = 2 2 l 2 x 2 dx3002E4= 2l 3= 7.54 ×10×1144.52× 0.1803m12E12 ×160 ×109= 3.00 ×10 5 m = 0.030mm計算中再次用到1N = 1kg m/sec2 。3-10圖 3-10a 所示渦輪葉片，當(dāng)渦輪等速旋轉(zhuǎn)時承受離心力作用。設(shè)葉冠 A 的重量 為 W，渦輪的角速度為 ，葉片材料的彈性模量為 E，密度為 ，許用應(yīng)力為 。試按各 橫截面的正應(yīng)力均等于許用應(yīng)力的原則，確定葉片 x 截面處的橫截面面積 A(x)，并計算葉片 的軸向變形。與葉片的離心力相比，葉片的重量很小，可以忽略不計。解：當(dāng)各橫截面上的正應(yīng)力均等于許用應(yīng)力 時，葉片微段 dx 的受力情況如圖 3-10(b)所示。由 x 方向力的平衡方程 ( A + dA) + ( Adx)2 x A = 0得dA 2 xdx= A 等號兩邊積分，得lnA = 2 x 2+ lnC2 或?qū)懗葾( x) = Ce 2 x 22 (a)確定 C 的邊界條件（坐標(biāo) x 以盤心為原點）是：W2 R當(dāng) x = R 時，A( x) = A(R ) = 0 (b)0將式(b)代入式(a)，得0g 2 2將式(c)代入式(a)，最后得到W2 RC = 0 eg W2 RA( x) =0 eg R02 0 2 ( R2 x2 )2 (c)3-11圖示剛性橫梁 AB，由鋼絲繩并經(jīng)無摩擦滑輪所支持。設(shè)鋼絲繩的軸向剛度（即 產(chǎn)生單位軸向變形所需之力）為 k，試求當(dāng)載荷 F 作用時端點 B 的鉛垂位移。題 3-11 圖解：力 F 作用后剛性梁 AB 傾斜如圖(見圖 3-11)。設(shè)鋼絲繩中的軸力為 FN ，它的總伸 長為 l 。由剛性梁所受各力對點 A 的力矩平衡條件可得FN a + FN (a + b) = F (2a + b)FN = F由圖示的幾何關(guān)系易得y = (2a + b)由此可見，有 l = yy1+2= a + (a + b) = (2a + b)根據(jù) k 的定義，有y = l(b)FN = kl = ky即= FN = Fykk3-13圖示桁架 ABC，在節(jié)點 B 承受集中載荷 F 作用。桿 1 與桿 2 的彈性模量均為E，橫截面面積分別為 A1=320mm2 與 A2 =2 580mm2。試問在節(jié)點 B 和 C 的位置保持不變的條 件下，為使節(jié)點 B 的鉛垂位移最小， 應(yīng)取何值（即確定節(jié)點 A 的最佳位置）。解：1.求各桿軸力 由圖 3-13(a)可得題 3-13 圖FN1 =Fsin，F(xiàn)N2= Fctan2.求變形和位移由圖 3-13(b)可得l1及= FN1l1EA1=2Fl2EA1sin2，l FN2 l222EA= Fl2 ctanEA23.求 的最佳值By= l1sin+ l2tan= Fl2 (E2A1sin2sinctan 2+)A22由 dBy / d = 0 ，得2 2 (2cos2 sin + cos sin2 )2ctan csc2= 0或化成A1sin2 sin2A2cos2 sin22 + 2cos = 0再化簡為A1cos A22 A cos 3 A (1 3cos 2 ) = 012將 A1、A2 的已知數(shù)據(jù)代入并化簡，得cos 3 + 12.09375cos 2 4.03125 = 0解此三次方程，舍去增根，得由此得 的最佳值為cos = 0.564967 = 55.6o3-15圖示桿件，長為 l，橫截面面積為 A，材料密度為 ，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如圖 3-14圖 b 所示。試求桿下端截面 C 的位移。題 3-15 圖解：自桿的下端截面 C 向上取坐標(biāo) y ，在 y 處的軸力為FN = gAy根據(jù) = FN ，A= d ydy及 n = B可得dgAynB(y ) = ()ndyA由此得d y= ( g )By n dy等號兩邊積分，最后得到該桿下端截面 C 的位移為n( g )ly n dy( g )nl n+1()Cy =B0=(n + 1)B3-16圖示結(jié)構(gòu)，梁 BD 為剛體，桿 1、桿 2 與桿 3 的橫截面面積與材料均相同。在 梁的中點 C 承受集中載荷 F 作用。試計算該點的水平與鉛垂位移。已知載荷 F = 20kN，各桿的橫截面面積均為 A=100mm2，彈性模量 E = 200GPa，梁長 l = 1 000mm。解：1.求各桿軸力題 3-16 圖由 Fx = 0 ，得FN2 = 0由 Fy= 0 ，得2求各桿變形FN1F= FN3 =2= 10kNl2 = 0FN1l10 ×103×1.000- 4 l1 =m = 5.0 ×10EA200 ×109 ×100 ×10 6m = 0.50mm = l33求中點 C 的位移 由圖 3-16 易知，x = l1 = 0.50mm () ，y= l1 = 0.50mm ()3-18如圖所示桁架，試用能量法求載荷作用點沿載荷作用方向的位移。設(shè)各桿各截 面的拉壓剛度均為 EA。2題 3-18 圖(a)解：各桿編號示如圖 3-18(a)。各桿軸力依次為F=2 F，F(xiàn)= 2 F，F(xiàn)= 1 FN12該桁架的應(yīng)變能為N22N323V = 2F lNi i =1 ( 1 F 2 2 l × 2 + 1 F 2 l ) =F l ( 22 + 1)i =12EA2EA 2 2 42EA 4依據(jù)最后得到W = 1 F，W = V2 2 = 2 Fl ( 22 + 1) = (22 + 1)Fl()F 2EA44EA(b)解：各桿編號示如圖(b)列表計算如下：iFNiliF 2 lNi i1FlF 2 l20l03FlF 2 l4FlF 2 l52F2l2 2F 2 l(3 + 2 2 )F 2 l于是，522V = FNi li= (3 + 22 )F li =1依據(jù)2EA2EAW = 1 F，W = V2可得 = (3 + 22 )Fl()EA3-19試用能量法解題 3-17。題 3-17 圖解：依據(jù)題 3-17 圖，可列表計算如下：iFNiliF 2 lNi i12F / 2lF 2 l / 222F / 2lF 2 l / 232F / 2lF 2 l / 242F / 2lF 2 l / 25 F2l2F 2 l(2 +2 )F 2 l由表中結(jié)果可得V =依據(jù)5i =12F lNi i2EA= (2 +2 )F 2 l2EAW = 1 F2B / C及W = V得B / C= (2 +2 )FlEA()3-20試用能量法解題 3-6。題 3-6 圖解：1.求 ( x)由題 3-6 圖可知，若自左向右取坐標(biāo) x ，則有x 截面上有應(yīng)力b( x) = b1+ b2 b1 x l2求V ( x) =Fb( x)= (b1 +F10b2 b1 x)l2v ( x) = 2 ( x)2EV =vl 1( x)b( x)dx =FdxF 2lln(b + b2 b1 x) |ll 0 2E (b + b2 b1 x)2E (b2 b1 )l1l3求 l由F 2l=2E (b2 b1 )ln b2 b1W = F l = V得 l =2FlE (b2 b1 )ln b2b13-24圖示桁架，各桿各截面的拉壓剛度相同。試計算在載荷 F 作用時各桿的軸力。(a)解：此為一度靜不定桁架。題 3-24 圖設(shè) FN ,AB 以壓為正，其余各段軸力以拉力為正。先取桿 AB 為研究對象，由 Fy得FN ,BC + FN ,AB = F= 0 ，(a)后取節(jié)點 A 為研究對象，由 Fx = 0 和 Fy = 0 依次得到FN ,AD = FN ,AG(b)及o2FN ,AD cos45= FN ,AB(c)在節(jié)點 A 處有變形協(xié)調(diào)關(guān)系（節(jié)點 A 鉛垂向下）l AD物理關(guān)系為lBC l AB =cos45o2l AD(d)lBC= FN ,BC lEA，l AB= FN ,AB lEA，l AD =FN ,AD2lEA= l AG(e)將式(e)代入式(d)，化簡后得FN ,BC FN ,AB = 2FN ,AD(d)聯(lián)解方程 (a)、(c) 和 (d) ，得FN ,BC =22 F （拉）， FN ,AB =222F （壓）， FN ,AD = FN ,AG =2 12F （拉）(b)解：此為一度靜不定問題?？紤]小輪 A 的平衡，由 Fy= 0 ，得oFN1sin45 F = 0由此得FN1 =2F在 F 作用下，小輪 A 沿剛性墻面向下有一微小位移，在小變形條件下， l2 0 ，故有FN 2 = 0FN1 的水平分量由剛性墻面提供的約束反力來平衡。3-25圖示桁架，桿 1、桿 2 與桿 3 分別用鑄鐵、銅和鋼制成，許用應(yīng)力分別為 1 =40MPa， 2 =60MPa， 3 =120MPa，彈性模量分別為 E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若載荷 F=160kN，A1= A2= 2A3，試確定各桿的橫截面面積。題 3-25 圖解：此為一度靜不定結(jié)構(gòu)。節(jié)點 C 處的受力圖和變形圖分別示如圖 3-25(a)和(b)。靜力學(xué)方面由圖(a)可得F = 0，F(xiàn)=3 F(a) xN112N2幾何方面 Fy = 0， 2 FN2 + FN3 = F(b)由圖(b)得變形協(xié)調(diào)方程為物理方面 根據(jù)胡克定律，有l(wèi)1ctan30o +l2sin30o= l3(c)l1= FN1l1E1 A1= FN1l12E1 A3，l2= FN2 l2 =E2 A2FN2 l13E2 A3，l3= FN3 l3 =E3 A3FN3 l13E3 A3(d)將式(d)代入式(c)，化簡后得15FN1 + 32FN2 = 8FN3(c)聯(lián)解方程(a)、(b)和 (c) ，并代入數(shù)據(jù)，得FN1 = 22.6kN (壓)， FN2 = 26.1kN （拉）， FN3 = 146.9kN （拉）2根據(jù)強度要求，計算各桿橫截面面積如下：FN122.6 ×103422A1 =1 m240 ×106= 5.65 ×10m = 565mmFN226.1×103422A2 = 2 m260 ×106= 4.35 ×10m = 435mmFN3146.9 ×103322A3 = 3 根據(jù)題意要求，最后取m120 ×106= 1.224 ×10m = 1224mm2BA1 = A2 = 2 A3 2450mm3-27圖示兩端固定的等截面桿 AB，桿長為 l。在非均勻加熱的條件下，距 A 端 x處的溫度增量為 T = TBx 2 / l 2 ，式中的 T為桿件 B 端的溫度增量。試求桿件橫截面上的應(yīng)力。材料的彈性模量與線膨脹系數(shù)分別為 E 與 l 。解：1.求溫度增高引起的桿件伸長題 3-27 圖此為一度靜不定問題。假如將 B 端約束解除掉，則在 x 處的桿微段 dx 就會因溫升而有一 個微伸長d(l2) = Tdx = l TB x dx全桿伸長為tll 2l T x 2l = lBdx = l TB l2求約束反力t0l 23設(shè)固定端因阻止伸長而產(chǎn)生的約束反力為 F ，桿件因 F 作用而引起的縮短量為由變形協(xié)調(diào)條件l F= FN l = FlEAEAlF= lt可得F = EA l TB l = EAl TB3求桿件橫截面上的應(yīng)力l = FNA33= F = El TBA33-28圖示桁架，桿 BC 的實際長度比設(shè)計尺寸稍短，誤差為 。如使桿端 B 與節(jié)點G 強制地連接在一起，試計算各桿的軸力。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為 EA。題 3-28 圖解：此為一度靜不定問題。自左向右、自上向下將各桿編號15 。由強制裝配容易判斷， 桿13 受拉，桿 4 和 5 受壓。裝配后節(jié)點 G 和 C 的受力圖分別示如圖 3-28(a)和(b)。靜力學(xué)方面由圖(a)可得由圖(b)可得FN1 = FN2 = FN3oFN4 = FN5 ，F(xiàn)N3 = 2FN4 cos30 =3FN4(a) (b)幾何方面 變形協(xié)調(diào)關(guān)系為(參看原題圖)物理方面 依據(jù)胡克定律，有l(wèi)1cos60o+l4cos30o+ l3(c)將式(d)代入式(c)，得li= FNi liEA(i = 1 5)(d) = 2FN1l + 2FN43l + FN3l(e)EA3EAEA補充方程(e)與靜力學(xué)方程(a)、(b)聯(lián)立求解，最后得F= (9 23)EA ,F= (33 2)EAN3即F= F23l= FN4= (9 223l3)EA （拉）N ,BCFN,CDN ,GD= FN,CEN ,GE= (323l3 2)EA 23l（壓）3-29一種制作預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土的方式如圖所示。首先用千斤頂以拉力 F 拉伸鋼 筋（圖 a），然后澆注混凝土（圖 b）。待混凝土凝固后，卸除拉力 F（圖 c），這時，混凝土受壓，鋼筋受拉，形成預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土。設(shè)拉力 F 使鋼筋橫截面上產(chǎn)生的初應(yīng)力 0 =820MPa， 鋼筋與混凝土的彈性模量之比為 8:1，橫截面面積之比為 1:30，試求鋼筋與混凝土橫截面上的預(yù)應(yīng)力。解：此為一度靜不定問題。題 3-29 圖卸除拉力 F 后，鋼筋仍受拉，而混凝土卻受壓。設(shè)它們的應(yīng)力分別為 s 和 c ，由靜力平衡條件可得 c Ac = s As(a)這里 s 以拉為正， c 以壓為正。變形協(xié)調(diào)方程為l0 = ls + lc(b)式中，l0 代表初加 F 時鋼筋的總伸長量，ls 代表卸除 F 后鋼筋保留的伸長量，而 lc 則代表卸除 F 后混凝土產(chǎn)生的縮短量，并以縮短為正。物理關(guān)系為E0sl 0 l，lsc= s l，lEs= c lEc(c)將式(c)代入式(b)，稍作化簡，得Es 0 = s + cEc考慮到式(a)，有 = (1 + Es As ) = 19 由此得0sEAcc15 s = 15 s19 0= 15 × 820MPa = 64719MPa （拉）根據(jù)式(a)，最后得到 c =As sAc= 1 × 647MPa = 21.630MPa （壓）3-30圖示組合桿，由直徑為 30mm 的鋼桿套以外徑為 50mm、內(nèi)徑為 30mm 的銅 管組成，二者由兩個直徑為 10mm 的鉚釘連接在一起。鉚接后，溫度升高 40，試計算鉚釘剪切面上的切應(yīng)力。鋼與銅的彈性模量分別為 Es = 200GPa 與 Ec=100GPa，線膨脹系數(shù)分別ls為 =12.5×10-6-1 與 lc =16×10-6-1。題 3-30 圖解：設(shè)溫度升高 T 時鋼桿和銅管自由伸長量分別為 Ts 和 Tc ，由于二者被鉚釘連在一起，變形要一致，即Ts + ls = Tc lc或?qū)懗蒷s + lc = Tc Ts這是本題的變形協(xié)調(diào)方程。這里，伸長量 ls 和縮短量 lc 均設(shè)為正值。引入物理關(guān)系，得FNs lEs As+ FNc lEc Ac= (lc ls )lT將靜力平衡條件 FNs = FNc = F 代入上式，得F = Es As Ec Ac ( ) TE A + E Alclss sc c注意到每個鉚釘有兩個剪切面，故其切應(yīng)力為 = FSA= F = Es As Ec Ac (lc ls )T2 A2 A(Es As + Ec Ac )200 ×10 9 × 0.030 2 ×100 ×10 9 × (0.050 2 0.030 2 ) × (16 12.5) ×10 6 × 40N=2 × 0.010 2 ×200 ×10 9 × 0.030 2 + 100 ×10 9 × (0.050 2 0.030 2 )m 2= 5.93 ×107 Pa = 59.3MPa3-32圖示桁架，三桿的橫截面面積、彈性模量與許用應(yīng)力均相同，并分別為 A，E與 ，試確定該桁架的許用載荷F。為了提高許用載荷之值，現(xiàn)將桿 3 的設(shè)計長度 l 變?yōu)閘 + 。試問當(dāng) 為何值時許用載荷最大，其值Fmax 為何。解:此為一度靜不定問題。題 3-32 圖節(jié)點 C 處的受力及變形示如圖 3-32(a)和(b)。 靜力學(xué)方面由圖(a)可得oFN1 = FN2，2FN1cos30+ FN3 = F(a)幾何方面由圖(b)可得l = l cos30o(b)13物理方面 依據(jù)胡克定律,有 li= FNi liEA(i = 1,2,3)(c)將式(c)代入式(b)，化簡后得F= 4 F（b)'將方程 (b) 與方程(a)聯(lián)解，得N33 N1FN1= FN2=34 + 3 3FN3F，F(xiàn)N3 =4F44 + 3F > FN13 max =A(4 + 3 3) A由此得F (4 + 33) A ,4F = (4 + 33) A4為了提高F 值，可將桿 3 做長 ，參考圖(b)給的幾何關(guān)系，這里有l(wèi)3+ =l1cos30o式中， l3、 l1 均為受載后的伸長，依題意，有了 后，應(yīng)使三根桿同時達(dá)到 ，即 l + = 4 l由此得E3E = ( 4 1) l = l3E3E此時，各桿的強度均充分發(fā)揮出來，故有oF max = 2(Acos30) + A = (1 +3)A