1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,正弦、余弦、正切、 余切的誘導(dǎo)公式. 2.兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)、半角 的三角函數(shù)公式. 3.通過簡單的三角恒等變換解決三角函數(shù)問題的化 簡、求值與證明. 4.掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三 角形度量問題. 5.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一 些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.,學(xué)案11 三角變換與解三角形,1.(2009江西)若函數(shù) 則f(x)的最大值為 ( ) A.1 B.2 C. D. 解析 當(dāng)x= 時(shí),函數(shù)取得最大值為2.,B,2.(2009廣東)已知ABC中,A,B,C的對邊分 別為a,b,c,若a=c= 且A=75,則b等于 ( ) A.2 B. C. D. 解析 因sin A=sin 75=sin(30+45) =sin 30cos 45+sin 45cos 30= 由a=c= 可知,C=75, 所以B=30,sin B= . 由正弦定理得,A,3.(2009全國)已知ABC中,tan A= ,則 cos A等于 ( ) A. B. C. D. 解析,D,4.(2009全國)若 則函數(shù)y=tan 2xtan3x 的最大值為_. 解析,-8,題型一 已知三角函數(shù)求值 【例1】(2009廣東)已知向量a=( ,-2)與b=(1, )互相垂直,其中 (1)求 的值； 解 (1)a與b互相垂直,則ab=,【探究拓展】在解有關(guān)根據(jù)條件求三角函數(shù)值問題 時(shí)，首先根據(jù)條件限定某些角的取值范圍,由范圍進(jìn) 而確定出三角函數(shù)值的符號,還應(yīng)注意公式的正用與 逆用及變形應(yīng)用,根據(jù)條件還要注意適當(dāng)拆分角、拼 角等技巧的應(yīng)用.,變式訓(xùn)練1 已知 (1)求sin x的值； 解,題型二 三角函數(shù)與解三角形 【例2】(2009四川)在ABC中,A,B為銳角,角A, B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,且cos2A= sinB= (1)求A+B的值； (2)若a-b= 求a,b,c的值. 解 (1)A、B為銳角,sin B= cos B= 又cos 2A=1-2sin2A=,cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,【探究拓展】本小題主要考查同角三角函數(shù)間的關(guān) 系,兩角和差的三角函數(shù)、二倍角公式、正弦定理等 基礎(chǔ)知識及基本運(yùn)算能力.在求解三角形的面積時(shí)， 應(yīng)注意面積的表達(dá)式有幾種不同表達(dá)方式，應(yīng)靈活 選擇.,變式訓(xùn)練2 在ABC中,sin(C-A)=1,sin B= (1)求sin A的值； (2)設(shè)AC= ,求ABC的面積. 解,(2)如圖所示,由正弦定理得 又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,題型三 向量與解三角形 【例3】(2009湖南)在ABC,已知 求角A,B,C的大小. 解設(shè)BC=a,AC=b,AB=c，,【探究拓展】解答這一類問題,首先要保證向量運(yùn)算 必須正確,否則,反被其累,要很好的掌握正、余弦定 理的應(yīng)用的條件及靈活變形,方能使問題簡捷解答.,變式訓(xùn)練3 (2009江西)在ABC中,A、B、C所對 的邊分別為a、b、c， (1)求C； (2)若 求a,b,c. 解,題型四 解三角形與實(shí)際問題 【例4】(2009海南)如圖,為了解某海域海底構(gòu)造， 對海平面內(nèi)一條直線上的A、B、C三點(diǎn)進(jìn)行測量.已 知AB=50 m,BC=120 m,于A處測得水深A(yù)D=80 m,于B 處測得水深BE=200 m,于C處測得水深CF=110 m,求 DEF的余弦值.,解 作DMAC交BE于N,交CF于M. 在DEF中,由余弦定理得 【探究拓展】對幾何中的計(jì)算問題,往往通過正、余 弦定理把幾何問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問題,再通過解三 角函數(shù)達(dá)到求解三角形問題的目的.,變式訓(xùn)練4 如圖所示,扇形AOB,圓 心角AOB=60,半徑OA=2,在弧 AB上有一點(diǎn)P,過點(diǎn)P做平行于OB 的直線交OA于點(diǎn)C,設(shè)AOP= 求COP面積的最大值及此時(shí) 的值. 解 因?yàn)锳OB=60且CPOB,所以O(shè)CP=120, 則在OCP中， OP2=OC2+CP2-2OCCPcos 120 =OC2+CP2+OCCP， 又因OC2+CP22OCCP,所以O(shè)P23OCCP,又OP=OA=2,即OCCP 所以SCOP= OCCPsin 120 = OCCP 即(SCOP)max= 此時(shí)OC=CP， 又OCP=120,所以 =AOP=30.,【考題再現(xiàn)】 (2009山東)設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x+ )+sin2x. (1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期； (2)設(shè)A,B,C為ABC的三個(gè)內(nèi)角,若 且C為銳角,求sin A.,【解題示范】 f(x)取得最大值,f(x)最大值= f(x)的最小正周期 故函數(shù)f(x)的最大值為 最小正周期為 6分,因此sin A=sin -(B+C)=sin(B+C) =sin Bcos C+cos Bsin C,1.解三角形常見類型及解法:(1)已知一邊和兩角，用 正弦定理求解,在有解時(shí)只有一解;(2)已知兩邊和夾 角,用余弦定理或正弦定理求解,在有解時(shí)只有一解; (3)已知三邊,用余弦定理求解，在有解時(shí)只有一解; (4)已知兩邊和其中一邊的對角，用余弦定理或正弦 定理求解,可有兩解、一解或無解. 2.應(yīng)用正、余弦定理解斜三角形應(yīng)用問題的方法步 驟:(1)分析:理解題意,分清已知與待求,并畫出示意 簡圖;(2)建模：根據(jù)條件與所求的目標(biāo),把已知量與 待求量盡量集中在有關(guān)三角形中,建立解斜三角形的,數(shù)學(xué)模型;(3)求解:利用余弦定理或正弦定理有序的 解三角形,求得數(shù)學(xué)模型的解；(4)檢驗(yàn):檢驗(yàn)上述所 求解是否有實(shí)際意義，進(jìn)而得出實(shí)際問題的解. 3.在ABC中常用關(guān)系：(1)abc ABC sin Asin Bsin C;(2)A、B、C成等差數(shù)列 B=60;(3)2b=a+c或b2=ac 0B60.,一、選擇題 1.函數(shù)f(x)=sin2x+ sin xcos x在區(qū)間 上的最 大值是 ( ) A.1 B. C. D. 解析,C,2.(2009遼寧)已知 等于 ( ) A. B. C. D. 解析,D,3.已知銳角三角形的邊長分別是2,3,x,則x的取值范 圍是 ( ) A.1x5B. C. D. 解析若3是最大邊,則32x2+22,即x3, 若x是最大邊,則x2<32+22,即3x . 由上可知,B,4.已知a、b、c是ABC的三條對應(yīng)邊,若滿足(a+b+c) (a+b-c)=3ab,且sin A=2sin Bcos C,那么ABC 是 ( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形 解析 因?yàn)?a+b+c)(a+b-c)=a2+b2-c2+2ab=3ab, 則 所以C=60, 又sinA=2sin Bcos C,則sin A=sin B,即A=B. ABC為等邊三角形.,D,5.在ABC中,若(sin A+sin B):(sin B+sin C): (sin C+sin A)=4:5:6,則C的值為 ( ) A. B. C. D. 解析 由題意可知:(a+b):(b+c):(c+a)=4:5:6, 則a:b:c=5:3:7,令a=5k,b=3k,c=7k (k0),C,6.在ABC中,若有一個(gè)內(nèi)角不小于120,則最長邊 與最短邊之比的最小值是 ( ) A. B. C.2 D. 解析 設(shè)C120,則c為最大邊,設(shè)a為最小邊， 則AB,所以A+B=180-C,A(0, ,B,二、填空題 7.(2009湖南)在銳角ABC中,BC=1,B=2A,則 的值等于_,AC的取值范圍為_. 解析 由正弦定理:,答案 2 8.在ABC中,C=60,a、b、c分別為A、B、C的對 邊，則 =_. 解析 由余弦定理可知:a2+b2=c2+ab,1,9.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù),則對于區(qū)間D上 任意的x1,x2,xn,都有: 現(xiàn)已知y=sin x在0, 上是凸 函數(shù),則在ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值 是_. 解析 由題意可知： 所以sin A+sin B+sin C的最大值是,10.在ABC中，AC=2BC,若AB=3,則ABC的最大面 積為_. 解析 如圖,作CDAB或其延長線于D， 設(shè)BC=m,CD=h,BD=t, 則4m2-(3+t)2=m2-t2=h2,m2=2t+3, 當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí),(SABC)max=3.,3,三、解答題 11.(2009全國)設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長 分別為a、b、c,cos(A-C)+cos B= b2=ac,求B. 解 由cos(A-C)+cos B= 得cos(A-C)-cos(A+C)= cos Acos C+sin Asin C-(cos Acos C- sin Asin C)= sin Asin C= 又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sin Asin C, 故sin2B= sin B= 或sin B= (舍去), 于是B= 或B= 又由b2=ac知ba或bc,所以B=,12.(2009江西)在ABC中,角A、B、C所對的邊分 別為a,b,c.且 sin(B-A)=cos C. (1)求A,C； (2)若SABC= 求a,c. 解 (1)因?yàn)?所以sin Ccos A+sin Ccos B=cos Csin A+cos C sin B,即sin Ccos A-cos Csin A=cos Csin B- sin Ccos B, 得sin(C-A)=sin(B-C). 所以C-A=B-C或C-A= -(B-C)(不成立)，,返回,