第16講 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次).2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次).1.函數(shù)的單調(diào)性函數(shù) yf(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則：(1)若 f(x)0，則 f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若 f(x)0，即 x22x30.解得3x1.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3,1).故選 D.答案：D(3)(2015年陜西)設(shè) f(x)xsin x，則 f(x)()A.既是奇函數(shù)又是減函數(shù)C.是有零點(diǎn)的減函數(shù)B.既是奇函數(shù)又是增函數(shù)D.是沒(méi)有零點(diǎn)的奇函數(shù)解析：因?yàn)?f(x)1cos x0，所以函數(shù)為增函數(shù)，排除選項(xiàng) A 和 C.又因?yàn)?f(0)0sin 00，所以函數(shù)存在零點(diǎn)，排除選項(xiàng) D.故選 B.答案：B【規(guī)律方法】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的極值時(shí)要養(yǎng)成列表的習(xí)慣，可使問(wèn)題直觀且有條理，減少失分的可能.如果一個(gè)函數(shù)在給定的定義域上單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)，這些區(qū)間之間一般不能用并集符號(hào)“”連接，只能用“，”或“和”字隔開(kāi).考點(diǎn)2含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性例2：已知函數(shù) f(x)x3ax1.(1)討論 f(x)的單調(diào)性；(2)若 f(x)在 R 上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；(3)若 f(x)在區(qū)間(1，)上為增函數(shù)，求 a 的取值范圍；(4)若 f(x)在區(qū)間(1,1)上為減函數(shù)，試求 a 的取值范圍；(5)若 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1)，求 a 的值；(6)若 f(x)在區(qū)間(1,1)上不單調(diào)，求 a 的取值范圍.解：(1)f(x)3x2a.當(dāng) a0 時(shí)，f(x)0，所以 f(x)在 R 上為增函數(shù).(2)因?yàn)?f(x)在 R 上是增函數(shù)，所以 f(x)3x2a0 在 R上恒成立，即 a3x2 對(duì) xR 恒成立.因?yàn)?3x20，所以只需 a0.又因?yàn)?a0 時(shí)，f(x)3x20，f(x)x31 在 R 上是增函數(shù)，所以 a0，即 a 的取值范圍為(，0.(3)因?yàn)?f(x)3x2a，且 f(x)在區(qū)間(1，)上為增函數(shù)，所以 f(x)0 在(1，)上恒成立，即 3x2a0 在(1，)上恒成立.所以 a3x2 在(1，)上恒成立.所以 a3.即 a 的取值范圍為(，3.(4)由 f(x)3x2a0 在(1,1)上恒成立，得 a3x2 在(1,1)上恒成立.因?yàn)?x1，所以 3x23.所以 a3.即當(dāng) a 的取值范圍為3，)時(shí)，f(x)在(1,1)上為減函數(shù).【規(guī)律方法】若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間 D 上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)取值范圍問(wèn)題，一是可轉(zhuǎn)化為f(x)0或f(x)0恒成立問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式，要注意“”是否可以取到，二是利用集合間的包含關(guān)系處理：yf(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.【互動(dòng)探究】1.(2018 年豫西南部分示范性高中聯(lián)考)若函數(shù) f(x)2x2ln xax 在定義域上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為()DA.(4，)C.(，4)B.4，)D.(，4答案：C思想與方法 運(yùn)用分類(lèi)討論思想討論函數(shù)的單調(diào)性例題：(2016年新課標(biāo))已知函數(shù) f(x)(x2)exa(x1)2.(1)討論 f(x)的單調(diào)性；(2)若 f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求 a 的取值范圍.解：(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a).設(shè) a0，則當(dāng) x(，1)時(shí)，f(x)0.所以 f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增.設(shè) aa，則ln(2a)0；當(dāng) x(ln(2a)，1)時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(，ln(2a)，(1，)上單調(diào)遞增，在(ln(2a)，1)上單調(diào)遞減.)若a1.e2故當(dāng) x(，1)(ln(2a)，)時(shí)，f(x)0；當(dāng) x(1，ln(2a)時(shí)，f(x)0，則由(1)知，f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增.故 f(x)在(1，)上至多有一個(gè)零點(diǎn)，在(，1)上至多有一個(gè)零點(diǎn).由于 f(2)a0，f(1)e0，則 f(2)f(1)0.根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，f(x)在(1,2)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).而當(dāng) x1 時(shí)，exe，x21e(x2)a(x1)2a(x1)2e(x1)e.因此，當(dāng) x1 且 x0.設(shè)a0，若a，則由(1)知，f(x)在(，ln(2a)，又 f(1)e0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，f(x)在(，1)上有且只有一個(gè)零點(diǎn).所以 f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).設(shè) a0，則 f(x)(x2)ex，所以 f(x)有一個(gè)零點(diǎn).e2(1，)上單調(diào)遞增，在(ln(2a)，1)上單調(diào)遞減.f(x)極小值f(1)e0，f(x)極大值fln(2a)aln(2a)2210，故此時(shí)函數(shù) f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去；當(dāng)a時(shí)，f(x)ex(x2)ex2a(x1)(x1)(ex若a，則由(1)知，f(x)在(1，ln(2a)上單調(diào)遞減，在e2e)0 恒成立，此時(shí)函數(shù) f(x)至多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去；e2(，1)，(ln(2a)，)上單調(diào)遞增.f(x)極大值f(1)e0，f(x)極小值f(ln(2a)0，此時(shí)函數(shù)f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去.綜上所述，a 的取值范圍為(0，).【規(guī)律方法】本題第一問(wèn)是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，對(duì)含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的確定，通常要根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，要注意分類(lèi)討論的原則：互斥、無(wú)漏、最簡(jiǎn)；第二問(wèn)是求參數(shù)取值范圍，由于這類(lèi)問(wèn)題常涉及導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、不等式等知識(shí)，越來(lái)越受到高考命題者的青睞，解決此類(lèi)問(wèn)題的思路是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解.【互動(dòng)探究】當(dāng) 0a2，即2a0 時(shí)，0 x2 時(shí)，f(x)0；當(dāng)ax2 時(shí)，f(x)2，即 a2 時(shí)，0 xa 時(shí)，f(x)0；2xa 時(shí)，f(x)0，f(x)在(0,2)，(a，)上單調(diào)遞增，在(2，a)上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng) a2 時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)2a0 時(shí)，f(x)在(0，a)，(2，)上單調(diào)遞增，在(a,2)上單調(diào)遞減；當(dāng) a2 時(shí)，f(x)在(0,2)，(a，)上單調(diào)遞增，在(2，a)上單調(diào)遞減.