第12講 函數(shù)與方程1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解.1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)方程 f(x)0 有實(shí)根函數(shù) yf(x)的圖象與 x 軸有_函數(shù) yf(x)有零點(diǎn).交點(diǎn)(2)如果函數(shù) yf(x)在區(qū)間(a，b)上的圖象是連續(xù)不斷的，且有 f(a)f(b)_0，那么函數(shù) yf(x)在區(qū)間(a，b)上有零點(diǎn).一般把這一結(jié)論稱為零點(diǎn)存在性定理.2.二分法如果函數(shù) yf(x)在區(qū)間m，n上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且 f(m)f(n)0，通過不斷地把函數(shù) yf(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.1.如圖 2-12-1 所示的是函數(shù) f(x)的圖象，它與 x 軸有 4 個(gè)不同的公共點(diǎn).給出下列四個(gè)區(qū)間，不能用二分法求出函數(shù) f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是()B圖 2-12-1A.2.1，1C.4.1,5B.1.9,2.3D.5,6.1x1.251.31251.3751.43751.51.5625f(x)0.87160.57880.28130.21010.328 430.641 152.為了求函數(shù) f(x)2x3x7 的一個(gè)零點(diǎn)，某同學(xué)利用計(jì)算器得到自變量 x 和函數(shù) f(x)的部分對(duì)應(yīng)值如下表：則方程 2x3x7 的近似解(精確到 0.1)可取為()A.1.32B.1.49C.1.4D.1.3Cx10123f(x)0.6773.0115.4325.9807.651g(x)0.5303.4514.8905.2416.8923.(2017 年山東濟(jì)南歷城區(qū)統(tǒng)測(cè))已知函數(shù) f(x)與 g(x)的圖象在 R 上不間斷，由表知函數(shù) yf(x)g(x)在下列區(qū)間內(nèi)一定有零點(diǎn)的是()A.(1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)解析：當(dāng) x1 時(shí)，f(1)g(1)0；當(dāng) x0 時(shí)，f(0)g(0)0；當(dāng) x1 時(shí)，f(1)g(1)0；當(dāng) x2 時(shí)，f(2)g(2)0；當(dāng) x3 時(shí)，f(3)g(3)0，且函數(shù) f(x)與 g(x)的圖象在 R 上不間斷，由零點(diǎn)存在性定理可得，函數(shù) y 在(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn).故選 B.答案：B包含 f(x)的零點(diǎn)的區(qū)間是(A.(0,1)C.(2,4)B.(1,2)D.(4，)C考點(diǎn)1函數(shù)零點(diǎn)的判定例1：(1)若 abc，則函數(shù) f(x)(xa)(xb)(xb)(x)c)(xc)(xa)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(A.(a，b)和(b，c)內(nèi)B.(，a)和(a，b)內(nèi)C.(b，c)和(c，)內(nèi)D.(，a)和(c，)內(nèi)解析：f(a)(ab)(ac)0；f(b)(bc)(ba)0，f(c)(cb)(ca)0，f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，所以兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi).故選 A.答案：A為_.圖 D15答案：2解析：方法一，由f 2(x)5f(x)40，得f(x)1或4.若f(x)1，當(dāng)x0時(shí)，即5|x1|11,5|x1|2，解得x1log52；當(dāng)x0時(shí)，即x24x30，解得x1或3.若f(x)4，當(dāng)x0時(shí)，5|x1|14，|x1|1，解得x0或2；當(dāng)x0時(shí)，即x24x0，解得x4.故所求實(shí)根個(gè)數(shù)共有7個(gè).故選D.圖 D16方法二，由 f 2(x)5f(x)40，得 f(x)1 或 4.作出 f(x)的圖象如圖 D16.由 f(x)的圖象，可知 f(x)1 有 4 個(gè)根，f(x)4 有3 個(gè)根.方程 f 2(x)5f(x)40 有 7 個(gè)根.故選 D.答案：D【規(guī)律方法】判斷函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)，常用以下三種方法：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí)，可通過解方程，看方程是否有根落在給定區(qū)間上如第(3)題；利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷如第(1)題；通過函數(shù)圖象，觀察圖象給定區(qū)間上的交點(diǎn)來判斷如第(2)題.考點(diǎn)2 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在情況，求參數(shù)的值答案：C解析：g(x)f(x)xa0，得 f(x)xa.若 g(x)存在 2個(gè)零點(diǎn)，即直線 yxa 與 f(x)的圖象有 2 個(gè)交點(diǎn).如圖 D17，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是a1，a1.圖 D17答案：C考點(diǎn)3二分法的應(yīng)用例3：已知函數(shù) f(x)ln x2x6.(1)求證：函數(shù) f(x)在其定義域上是增函數(shù)；(2)求證：函數(shù) f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；(1)證明：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，設(shè)x1x2，則ln x1ln x2,2x12x2.ln x12x16ln x22x26.f(x1)f(x2).f(x)在(0，)上是增函數(shù).【規(guī)律方法】(1)二分法是求方程根的近似值的一種計(jì)算方法，它只能用來求函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)；(2)給定精度，用二分法求函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：確定區(qū)間m，n，驗(yàn)證f(m)f(n)0，給定精度；求區(qū)間m，n的中點(diǎn) x1；計(jì)算f(x1)：)若f(x1)0，則x1 就是函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)；)若f(m)f(x1)0，則令nx1 此時(shí)零點(diǎn)x0(m，x1)；)若f(x1)f(n)0，則令mx1此時(shí)零點(diǎn)x0(x1，n)；判斷是否達(dá)到精度：若|mn|，則得到零點(diǎn)近似值m(或n)；否則重復(fù)步驟.【互動(dòng)探究】答案：A思想與方法 運(yùn)用函數(shù)與方程的思想判斷方程根的分布例題：已知當(dāng)x(1，)時(shí)，關(guān)于x的方程xln x(2k)xk1 有唯一實(shí)數(shù)解，則 k 值所在的范圍是()A.(3,4)C.(5,6)B.(4,5)D.(6,7)答案：B【互動(dòng)探究】答案：D