第4講數(shù)列的求和1.掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式.2.了解一般數(shù)列求和的幾種方法.數(shù)列求和BA3.若數(shù)列an滿(mǎn)足a11，an12an(nN*)，則a5_，前8項(xiàng)的和S8_(用數(shù)字作答).10，則項(xiàng)數(shù) n_.16255120考點(diǎn) 1 公式或分組法求和例 1：(2018 年天津)設(shè)an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(nN*)；bn是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為T(mén)n(nN*).已知b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn(T1T2Tn)an4bn，求正整數(shù)n的值.(2)由(1)，知T1T2Tn(21222n)n2n1n2.整理，得n23n40.解得n1(舍)，或n4.所以 n 的值為 4.【規(guī)律方法】若一個(gè)數(shù)列是由等比數(shù)列和等差數(shù)列組成，則求和時(shí)，可采用分組求和，即先分別求和，再將各部分合并.【互動(dòng)探究】9考點(diǎn) 2 裂項(xiàng)相消法求和例 2：(2017 年新課標(biāo))設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通項(xiàng)公式；解：(1)因?yàn)?a13a2(2n1)an2n，故當(dāng)n2時(shí)，a13a2(2n3)an12(n1)，兩式相減，得(2n1)an2.又因題設(shè)可得 a12，滿(mǎn)足上式，【規(guī)律方法】常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式：【互動(dòng)探究】2.(2018 年天津)設(shè)an是等比數(shù)列，公比大于 0，其前 n 項(xiàng)和為Sn(nN*)，bn是等差數(shù)列.已知a11，a3a22，a4b3b5，a5b42b6.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和為T(mén)n(nN*)，求Tn；(1)解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.由a11，a3a22，可得 q2q20.因?yàn)閝0，可得q2，故an2n1.設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d，由a4b3b5，可得b13d4.由a5b42b6，可得3b113d16，從而b11，d1，故bnn.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bnn.考點(diǎn) 3 錯(cuò)位相減法求和例 3：(2018 年浙江)已知等比數(shù)列an的公比 q1，且a3a4a528，a42是a3，a5的等差中項(xiàng).數(shù)列bn滿(mǎn)足b11，數(shù)列(bn1bn)an的前n項(xiàng)和為2n2n.(1)求 q 的值；(2)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.解：(1)由a42是a3，a5的等差中項(xiàng)，得a3a52a44，所以 a3a4a53a4428.解得 a48.因?yàn)?q1，所以 q2.(2)設(shè)cn(bn1bn)an，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn.【規(guī)律方法】(1)一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前 n 項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列bn的公比，然后作差求解.(2)在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“SnqSn”的表達(dá)式.【互動(dòng)探究】3.(2014 年新課標(biāo))已知an是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程 x25x60 的根.(1)求an的通項(xiàng)公式；思想與方法 放縮法在數(shù)列中的應(yīng)用例題：已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a12,3Snan12.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(1)解：由題設(shè) 3Snan12，當(dāng)n2時(shí)，3Sn1an2，兩式相減，得3anan1an，即an14an.又a12,3a1a22，可得a28，a24a1.數(shù)列an構(gòu)成首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列.an24n122n1.【互動(dòng)探究】