4.2 一般二次曲線的化簡(jiǎn)與分類(lèi)（Simplification and classification of general quadratic curves）,在中學(xué)平面解析幾何中,曾經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓(圓)、雙曲線和拋物線等圓錐曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程,它們都是二次曲線。本章討論更一般的二次曲線。 在平面直角坐標(biāo)系下,關(guān)于x和y的二元二次方程 所表示的曲線，稱(chēng)為一般二次曲線（a11，a12和a22不全為零）。,4.2.1 一些常用記號(hào)（Notations）,為了以后討論問(wèn)題和書(shū)寫(xiě)的方便,引進(jìn)下面的一些記號(hào)：,根據(jù)這些記號(hào)的含義,可驗(yàn)證下面的恒等式成立： F(x,y)= xF1(x,y) + yF2(x,y) + F3(x,y) 稱(chēng)F (x,y) 的系數(shù)所組成的矩陣 為二次曲線(4.2-1)的系數(shù)矩陣,或稱(chēng)F (x,y) 的矩陣 再引入幾個(gè)記號(hào)：,例1 試求二次曲線 的系數(shù)矩陣A,F1(x,y), F2(x,y) , F3(x,y), I1 , I2, I3, 和K1. 解 由以上記號(hào)知,4.2.2 直角坐標(biāo)變換下，二次曲線方程的系數(shù)變換規(guī)律（Variation low of coefficients equation of quadratic curves under Descartes coordinates）,為了選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換來(lái)化簡(jiǎn)二次曲線的方程，需要了解在坐標(biāo)變換下方程的系數(shù)是怎樣變化的。 由上節(jié)討論，知道一般的坐標(biāo)變換可以分解為移軸和轉(zhuǎn)軸兩部分。因此，將分別考察移軸變換和轉(zhuǎn)軸變換對(duì)方程系數(shù)的影響。,1) 平移變換下二次曲線方程的系數(shù)的變化規(guī)律,將平移公式：x = x+x0 ，y = y+y0 代入曲線方程，化簡(jiǎn)整理，設(shè)曲線方程變?yōu)?F(x,y)=a11x2+2a12xy +a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 比較方程系數(shù)，得平移變換下曲線方程系數(shù)的變化規(guī)律： (1) 二次項(xiàng)系數(shù)不變； (2) 一次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)镕1(x0,y0), F2(x0,y0)； (3) 常數(shù)項(xiàng)變?yōu)镕(x0,y0).,若取新坐標(biāo)原點(diǎn)O (x0,y0)滿(mǎn)足方程,則在新坐標(biāo)系下,方程中將無(wú)一次項(xiàng),曲線對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn),點(diǎn)(x0,y0)就是曲線的對(duì)稱(chēng)中心。如果對(duì)稱(chēng)中心是唯一的,稱(chēng)為曲線的中心。此時(shí)方程稱(chēng)為中心方程。 注：當(dāng)I20時(shí),上一方程組就有唯一解,這時(shí)曲線稱(chēng)為中心型二次曲線；當(dāng)I2=0時(shí),方程組就沒(méi)有解或有無(wú)窮多解,這時(shí)曲線稱(chēng)為非中心型二次曲線或無(wú)心型二次曲線。,例2 求二次曲線 的中心.,解 (x0,y0)是對(duì)稱(chēng)中心必須且只需滿(mǎn)足中心方程,即 解得(x0,y0)=(0,3). 所以(0,3)是曲線的中心 .,2) 旋轉(zhuǎn)變換下二次曲線方程的系數(shù)的變化規(guī)律,將旋轉(zhuǎn)公式： x = xcos ysin , y = xsin + ycos 代入曲線方程，化簡(jiǎn)整理，曲線方程變?yōu)?F(x,y)=a11x2+2a12xy +a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 比較方程系數(shù)，得旋轉(zhuǎn)變換下曲線方程系數(shù)的變化規(guī)律: (1) 二次項(xiàng)系數(shù)一般可變,但新系下方程的二次項(xiàng)系數(shù)僅與舊系下方程的二次項(xiàng)系數(shù)及旋轉(zhuǎn)角 有關(guān),而與一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)無(wú)關(guān)； (2) 一次項(xiàng)系數(shù)一般也可變，但新系下方程的一次項(xiàng)系數(shù)僅與舊系下方程的一次項(xiàng)系數(shù)及旋轉(zhuǎn)角 有關(guān)，而與二次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)無(wú)關(guān)； (3) 常數(shù)項(xiàng)不變。,根據(jù)公式的表達(dá)式，若選取角，使,則方程中沒(méi)有交叉乘積項(xiàng)。 注：若要通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換消去交叉項(xiàng)，只須旋轉(zhuǎn)角 滿(mǎn)足： a12=(a22-a11)cos sin +a12(cos2 -sin2)=0, 即 (a22-a11)sin2 + 2a12cos2 =0 從而得旋轉(zhuǎn)角 滿(mǎn)足,因?yàn)橛嗲械闹悼梢允侨我鈱?shí)數(shù)，所以一定存在 滿(mǎn)足上式。這就是說(shuō)，一定可以通過(guò)轉(zhuǎn)角 消去交叉項(xiàng)。 上式中的 不是唯一的，為確定起見(jiàn)，一般規(guī)定0 需要說(shuō)明的是,我們?yōu)槭裁床挥?? 這是因?yàn)楫?dāng) a11=a22 時(shí), 該式?jīng)]有意義,而 完全可以決定旋轉(zhuǎn)角= /4.當(dāng)a12=0時(shí),雖然 也無(wú)意義,但這時(shí)方程中已經(jīng)不含交叉項(xiàng),就用不到轉(zhuǎn)軸變換了.,例 利用轉(zhuǎn)軸變換,消去二次曲線x2+2xy+y2-4x+y-1=0中的交叉項(xiàng).,解 設(shè)旋轉(zhuǎn)角為,由決定方程得 可取 , 故轉(zhuǎn)軸公式為： 代入原方程化簡(jiǎn)整理得轉(zhuǎn)軸后的新方程為,4.2.3 二次曲線的判別（Quadratic curve discriminant）,從前面的討論可知，二次曲線化簡(jiǎn)的關(guān)鍵是如何消去方程中的交叉項(xiàng)xy和一次項(xiàng)?；?jiǎn)一般二次曲線方程，首先要判別二次曲線的類(lèi)型，然后根據(jù)曲線的類(lèi)型，采用不同的坐標(biāo)變換。 二次曲線的類(lèi)型可以用I2來(lái)判別：當(dāng)I20時(shí),二次曲線是中心型曲線；當(dāng)I2=0時(shí),二次曲線是非中心型曲線.又可以細(xì)分為以下3種類(lèi)型： (1) 橢圓型：I20， (2) 雙曲型：I2<0， (3) 拋物型：I2=0。 注：二次曲線類(lèi)型判別的嚴(yán)格證明，參看后文的利用不變量化簡(jiǎn)曲線方程部分。,4.2.4 二次曲線的化簡(jiǎn)與作圖（Simplification and graphing of Quadratic curves）,根據(jù)坐標(biāo)變換下方程系數(shù)的變化規(guī)律，對(duì)于中心型二次曲線，可以先求出曲線的中心，通過(guò)移軸變換消去一次項(xiàng)，然后再作轉(zhuǎn)軸變換時(shí)，就不用整理一次項(xiàng)了。而對(duì)于非中心型二次曲線，由于曲線沒(méi)有中心，只能先作轉(zhuǎn)軸變換。這就是說(shuō)，要根據(jù)曲線的類(lèi)型，采用不同的化簡(jiǎn)方法。,1)中心型二次曲線(I20)的化簡(jiǎn)與作圖：,對(duì)于中心型二次曲線，采用“先移后轉(zhuǎn)”，較為簡(jiǎn)便。 其具體步驟是： 1、解中心方程組，求出曲線的中心(x0,y0) ； 2、作平移變換，消去一次項(xiàng)； 3、利用旋轉(zhuǎn)角公式，求出cos 、sin ； 4、作旋轉(zhuǎn)變換，消去交叉項(xiàng)，得到曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； 5、將旋轉(zhuǎn)變換代入平移變換，得到直角坐標(biāo)變換公式； 6、作出新舊坐標(biāo)系O-xy、O-xy和O-xy ，在新坐標(biāo)系下按照標(biāo)準(zhǔn)方程作出曲線的圖形。,例 化簡(jiǎn)二次曲線方程5x2+4xy+2y2-24x-12y+18=0，并畫(huà)出它的圖形。,解 因 I252-2260，所以曲線為中心型二次曲線?！跋纫坪筠D(zhuǎn)”。 1、解中心方程組 得到曲線中心（2,1） 2、做移軸變換 原方程變?yōu)?x2+4xy + 2y2-12=0 這里實(shí)際上只需計(jì)算F (2,1)12，因?yàn)橐戚S時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)不變,一次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)?。 3、再做轉(zhuǎn)軸變換消去xy項(xiàng)，令 得 tan =1/2 或 tan =-2 取 tan =1/2，可得 cos =2/51/2，sin = 1/51/2,4、轉(zhuǎn)軸變換公式 ：,代入,可將方程化簡(jiǎn)為 標(biāo)準(zhǔn)方程是 這是一個(gè)橢圓,如圖所示. 作圖要點(diǎn)：要比較準(zhǔn)確地畫(huà)出新舊坐標(biāo)系和曲線的圖形,必須掌握好比例、新舊原點(diǎn)的位置以及坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角.本題中坐標(biāo)系O-xy平移到(2,1)成O-xy,再把坐標(biāo)系O-xy旋轉(zhuǎn)角得 O-xy.在新坐標(biāo)系O-xy 中根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作圖.,注：本題轉(zhuǎn)軸時(shí)若取tan-2，,則可得cos =1/51/2，sin = -2/51/2 ，所得的轉(zhuǎn)軸公式是 得到的標(biāo)準(zhǔn)方程為 , 圖形相對(duì)于原坐標(biāo)系的位置不變。此時(shí)Ox軸的正向恰好是圖中y 軸的反向。,例 化簡(jiǎn)二次曲線方程x2-3xy+y2+10 x-10y+21=0,寫(xiě)出坐標(biāo)變換公式并作出它的圖形,解 因?yàn)镮2<0,所給的二次曲線是雙曲型的. 中心方程組 解得中心坐標(biāo)為 ( 2,2) .作移軸變換 原方程化為 再作轉(zhuǎn)軸變換 ， 得旋轉(zhuǎn)角為 .故轉(zhuǎn)軸變換為,二次曲線的方程化簡(jiǎn)為,標(biāo)準(zhǔn)方程為 這是一條雙曲線,其圖形如圖所示。 作圖時(shí),先將坐標(biāo)系O-xy平移到(-2,2)成O-xy,再把坐標(biāo)系O-xy旋轉(zhuǎn)角 / 4得 O-xy.在新坐標(biāo)系O-xy 中根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程作圖.,將轉(zhuǎn)軸公式,代入移軸公式, 得坐標(biāo)變換公式為,注：利用移軸可以直接化簡(jiǎn)缺少xy項(xiàng)的二次曲線方程,化簡(jiǎn)的關(guān)鍵是找到恰當(dāng)?shù)囊戚S公式.常用的方法有配方法和代入法.在應(yīng)用配方法時(shí)必須注意,要分別先對(duì)關(guān)于x與y的項(xiàng)進(jìn)行集項(xiàng),然后把x2與y2項(xiàng)的系數(shù)括出來(lái)再配方. 利用直角坐標(biāo)變換的方法化簡(jiǎn)曲線方程，不僅能夠得到曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，而且同時(shí)得到坐標(biāo)變換公式，并能作出曲線的圖形，這是其它方法所不能做到的。,2)非中心型二次曲線( I2=0)的化簡(jiǎn)與作圖：,對(duì)于非中心型二次曲線，采用“先轉(zhuǎn)后移”，較為簡(jiǎn)便。其具體步驟是： 1、利用旋轉(zhuǎn)角公式，求出cos 、sin ； 2、作旋轉(zhuǎn)變換,消去交叉項(xiàng)，同時(shí)消去1個(gè)二次項(xiàng)； 3、對(duì)轉(zhuǎn)軸后的方程“配方”，先配二次項(xiàng),再配一次項(xiàng)； 4、令“配方”后的括號(hào)內(nèi)分別為x和 y (相當(dāng)于作平移變換),得到曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 5、將平移變換代入旋轉(zhuǎn)變換,得到直角坐標(biāo)變換公式。 6、作出新舊坐標(biāo)系O-xy，O-xy和O-xy ,在新坐標(biāo)系下按照標(biāo)準(zhǔn)方程作出曲線的圖形。,例 化簡(jiǎn)二次曲線方程下x2+4xy+4y2+12x-y+1=0 ,寫(xiě)出坐標(biāo)變換公式并畫(huà)出它的圖形。,解 由于I2=14-22=0,曲線是非中心型的,應(yīng)先轉(zhuǎn)軸后移軸。 1、設(shè)旋轉(zhuǎn)角為,則有 得 tan =-1/2 或 tan =2 取 tan =2(若取 tan =-1/2 ,同樣可將原方程化簡(jiǎn)),則有： cos =1/51/2，sin = 2/51/2 2、得轉(zhuǎn)軸公式為,代入原方程化簡(jiǎn)整理得轉(zhuǎn)軸后的新方程為,配方得： 3、再做移軸變換 曲線方程就化為最簡(jiǎn)形式 4、寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)方程為：,這是一條拋物線.它的頂點(diǎn)是新坐標(biāo)系O-xy 的原點(diǎn),原方程的圖形可以根據(jù)它在坐標(biāo)系O-xy 中的標(biāo)準(zhǔn)方程作出,如圖 所示.,將移軸公式代入轉(zhuǎn)軸公式,得坐標(biāo)變換公式為 作圖要點(diǎn)：坐標(biāo)系O-xy旋轉(zhuǎn)角tan2成O-xy,再把坐標(biāo)系O-xy 平移,得到O-xy.在新坐標(biāo)系O-xy 中可根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程作圖.為了看出曲線在原坐標(biāo)系中的位置,作圖時(shí)需要將新舊坐標(biāo)系同時(shí)畫(huà)出.,例 化簡(jiǎn)二次曲線方程 2x2+xy-3y2-13x-2y+21=0,解 計(jì)算得I2 < 0, I3 = 0,可知所給二次曲線是退化的雙曲型曲線,表示兩條相交直線直接將原方程左邊分解因式,得 (x-y +3)(2x + 3y-7) = 0, 故原二次曲線的方程表示兩條相交直線 x-y + 3 = 0 和 2x + 3y-7 = 0. 綜上所述,利用直角坐標(biāo)變換化簡(jiǎn)二次曲線方程,不僅可以得到二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,還可以寫(xiě)出所作的坐標(biāo)變換公式,并作出曲線的圖形,這正是直角坐標(biāo)變換的優(yōu)勢(shì)所在.,4.2.5 二次曲線方程的分類(lèi)（Classification of equation of Quadratic curves),根據(jù)上面的討論可知,對(duì)于中心型二次曲線,先通過(guò)移軸消去一次項(xiàng),再通過(guò)轉(zhuǎn)軸消去交叉項(xiàng),曲線的方程可化為標(biāo)準(zhǔn)方程 按照標(biāo)準(zhǔn)方程系數(shù)的正負(fù),中心型二次曲線又分為橢圓型和雙曲型 () 橢圓型: I2=a11a220。 1 實(shí)橢圓: a330, a11 a330 ； 3 點(diǎn)橢圓: a33=0。,() 雙曲型： I2=a11a22<0。,4 雙曲線： a330； 5 兩條相交直線： a33=0。 對(duì)于非中心型曲線也稱(chēng)為拋物型曲線,通過(guò)轉(zhuǎn)軸消去交叉項(xiàng),再對(duì)轉(zhuǎn)軸后的方程“配方”,曲線的方程可化為標(biāo)準(zhǔn)方程 或 按照系數(shù)情況分為,() 拋物型：I2=0， a11=0， a220。,6 拋物線： a130； 7 一對(duì)平行的直線： a13=0， a22 a33 <0; 8 無(wú)軌跡(兩平行共軛虛直線)： a13=0， a22 a33 =0; 9 一條直線(兩重合直線)： a13=0， a33=0。 拋物線6沒(méi)有對(duì)稱(chēng)中心,稱(chēng)為無(wú)心曲線。7-9類(lèi)型的曲線有無(wú)窮多對(duì)稱(chēng)中心,他們構(gòu)成一條直線,也稱(chēng)為線心曲線。 綜上所述,通過(guò)適當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)系,二次曲線的方程總可以寫(xiě)成下面9種標(biāo)準(zhǔn)方程中的一種形式(為簡(jiǎn)便起見(jiàn),標(biāo)準(zhǔn)方程中的撇號(hào)略去),一般二次曲線按照標(biāo)準(zhǔn)方程，可以分為3類(lèi)9種： 橢圓 橢圓型：I20 虛橢圓 點(diǎn)橢圓 雙曲型：I2<0 雙曲線 一對(duì)相交直線 拋物型：I2=0. 拋物線 一對(duì)平行直線 一對(duì)虛平行線 一對(duì)重合直線,End,