CH7 二階電路分析,由二階微分方程描述的電路稱為二階電路。分析二階電路的方法仍然是建立二階微分方程，并利用初始條件求解得到電路的響應(yīng)。本章主要討論含兩個動態(tài)元件的線性二階電路，重點是討論電路的零輸入響應(yīng)。,1. 通過例子，掌握求解二階電路的方法、步驟。,2. 通過例子得出二階電路的一般規(guī)律。,學(xué)習(xí)方法,CH7 二階電路分析,本章目錄,7.2 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),7.3 RLC串聯(lián)電路的全響應(yīng),7.4 GLC并聯(lián)電路的分析,7.1 LC電路中的正弦振蕩,CH7 二階電路分析,RLC串聯(lián)電路的微分方程,圖1 RLC串聯(lián)二階電路,為了得到圖1所示RLC串聯(lián)電路的微分方程，先列出KVL方程,RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),根據(jù)前述方程得到以下微分方程,這是一個常系數(shù)非齊次線性二階微分方程。,其特征方程為,其特征根為,零輸入響應(yīng)方程為,RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),電路微分方程的特征根，稱為電路的固有頻率。當(dāng)R，L，C的量值不同時，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況,1. 時， 為不相等的實根。過阻尼情況。,3. 時， 為共軛復(fù)數(shù)根。欠阻尼情況。,2. 時， 為兩個相等的實根。臨界阻尼情況。,RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),過阻尼情況,當(dāng) 時，電路的固有頻率s1，s2為兩個不相同的實數(shù)，齊次微分方程的解答具有下面的形式,式中的兩個常數(shù)K1，K2由初始條件iL(0)和uc(0) 確定。,RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),求解以上兩個方程，可以得到,由此得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL方程和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應(yīng)。,RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),例1 電路如圖所示，已知R=3,L=0.5H, C=0.25F, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求電容電壓和電感電流的零輸 入響應(yīng)。,解：由R，L，C，計算固有頻率,圖 RLC串聯(lián)二階電路,RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),將固有頻率s1=-2和s2=-4代入式得到,利用電容電壓的初始值uC(0)=2V和電感電流的初始值iL(0)=1A得到以下兩個方程：,K1=6 K2=-4,最后得到電容電壓的零輸入響應(yīng)為,RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),利用KCL和電容的VCR方程得到電感電流的零輸入響應(yīng),從圖示電容電壓和電感電流的波形曲線，可以看出電路各元件的能量交換過程。,臨界情況,當(dāng) 時，電路的固有頻率s1, s2為兩個相同的實數(shù)s1=s2=s。齊次微分方程的解答具有下面的形式,式中的兩個常數(shù)K1，K2由初始條件iL(0)和uC(0) 確定。令t=0，得到,RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),聯(lián)立求解以上兩個方程，可以得到,由 K1, K2的計算結(jié)果，得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL方程和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應(yīng)。,求導(dǎo)，再令t=0，得到,RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),例2 電路如圖所示。已知已知R=1 ，L=0.25 H， C=1 F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求電容電壓和電感電 流的零輸入響應(yīng)。,解：由R，L，C，計算出固有頻率的數(shù)值,圖RLC串聯(lián)二階電路,RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),利用電容電壓的初始值uC(0)=-1V和電感電流的初始值iL(0)=0得到以下兩個方程,將兩個相等的固有頻率s1=s2=-2 代入，得到,RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),得到電感電流的零輸入響應(yīng),求解以上兩個方程得到常數(shù)K1=-1和K2=-2，得到電容電壓的零輸入響應(yīng),RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),根據(jù)以上兩個表達式畫出的波形曲線，如圖所示。,(a) 電容電壓的波形 (b) 電感電流的波形 臨界阻尼情況,RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),欠阻尼情況,當(dāng) 時，電路的固有頻率s1，s2為為兩個共軛復(fù)數(shù)根，它們可以表示為,其中,RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),齊次微分方程的解答具有下面的形式,式中,由初始條件iL(0)和uC(0)確定常數(shù)K1，K2后，得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL和VCR方程得到電感電流的零輸入響應(yīng)。,RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),例3 電路如圖所示。已知R=6, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求電容電壓和電感電流的 零輸入響應(yīng)。,解：由R，L，C，計算出固有頻率的數(shù)值,圖1 RLC串聯(lián)二階電路,RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),利用電容電壓的初始值uC(0)=3V和電感電流的初始值iL(0)=0.28A得到以下兩個方程,求解以上兩個方程得到常數(shù)K1=3和K2=4，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng):,將兩個不相等的固有頻率 s1=-3+j4 和 s2=-3-j4 代入得,(a) 衰減系數(shù)為3的電容電壓的波形 (b) 衰減系數(shù)為3的電感電流的波形 (c) 衰減系數(shù)為0.5的電容電壓的波形 (d) 衰減系數(shù)為0.5的電感電流的波形 圖 欠阻尼情況,畫出的波形曲線，如圖(a)和(b)所示,可以看出，欠阻尼情況的特點是能量在電容與電感之間交換，形成衰減振蕩。電阻越小，單位時間消耗能量越少，曲線衰減越慢。 當(dāng)例3中電阻由R=6減小到R=1，衰減系數(shù)由3變?yōu)?.5時，得到的電容電壓和電感電流的波形曲線，如圖(c)和(d)所示，由此可以看出曲線衰減明顯變慢。假如電阻等于零，使衰減系數(shù)為零時，電容電壓和電感電流將形成無衰減的等幅振蕩。,RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),例4 電路如圖所示。已知R=0, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V, iL(0)=0.28A，求電容電壓和電感電流的零 輸入響應(yīng)。,解：由R，L，C計算出固有頻率的數(shù)值,圖 RLC串聯(lián)二階電路,RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),將兩個不相等的固有頻率s1=j5和s2=-j5代入得到,利用電容電壓的初始值uC(0)=3V和電感電流的初始值iL(0)=0.28A 得到以下兩個方程,求解以上兩個方程得到常數(shù)K1=3和K2=1.4，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng):,畫出的電容電壓和電感電流的波形曲線，如圖所示。,圖 無阻尼情況,RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),從電容電壓和電感電流的表達式和波形曲線可見，由于電路中沒有損耗，能量在電容和電感之間交換，總能量不會減少，形成等振幅振蕩。電容電壓和電感電流的相位差為90，當(dāng)電容電壓為零，電場儲能為零時，電感電流達到最大值，全部能量儲存于磁場中；而當(dāng)電感電流為零，磁場儲能為零時，電容電壓達到最大值，全部能量儲存于電場中。 從以上分析計算的結(jié)果可以看出，RLC二階電路的零輸入響應(yīng)的形式與其固有頻率密切相關(guān)，我們將響應(yīng)的幾種情況畫在圖6上。,RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),圖6,由圖6可見： 1. 在過阻尼情況，s1和s2是不相等的負實數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上負實軸上，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。 2.在臨界阻尼情況，s1=s2是相等的負實數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上負實軸上，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。 3.在欠阻尼情況，s1和s2是共軛復(fù)數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上的左半平面上，響應(yīng)是振幅隨時間衰減的正弦振蕩，其振幅隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減系數(shù) 越大，衰減越快。衰減振蕩的角頻率d 越大，振蕩周期越小，振蕩越快。,RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),圖中按Ke-t畫出的虛線稱為包絡(luò)線，它限定了振幅的變化范圍。 4.在無阻尼情況，s1和s2是共軛虛數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上的虛軸上，衰減系數(shù)為零，振幅不再衰減，形成角頻率為0的等幅振蕩。 顯然，當(dāng)固有頻率的實部為正時，響應(yīng)的振幅將隨時間增加，電路是不穩(wěn)定的。由此可知，當(dāng)一個電路的全部固有頻率均處于s平面上的左半平面上時，電路是穩(wěn)定的。,RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),直流激勵下RLC串聯(lián)電路的響應(yīng),對于圖示直流激勵的RLC串聯(lián)電路，當(dāng)uS(t)=US時，可以得到以下非齊次微分方程,電路的全響應(yīng)由對應(yīng)齊次微分方程的通解與微分方程的特解之和組成,電路的固有頻率為,當(dāng)電路的固有頻率s1s2時，對應(yīng)齊次微分方程的通解為,直流激勵下RLC串聯(lián)電路的響應(yīng),直流激勵下RLC串聯(lián)電路的響應(yīng),微分方程的特解為,全響應(yīng)為,利用以下兩個初始條件,可以得到,對uC(t)求導(dǎo)，再令t=0得到,求解這兩個代數(shù)方程，得到常數(shù)K1和K2后就可得到uC(t)。,直流激勵下RLC串聯(lián)電路的響應(yīng),例5 電路如圖所示。已知 R=4，L=1H， C=1/3F， uS(t)=2V，uC(0)=6V，iL(0)=4A。求t0時，電容電 壓和電感電流的響應(yīng)。,解：先計算固有頻率,直流激勵下RLC串聯(lián)電路的響應(yīng),這是兩個不相等的負實根，其通解為,特解為,全響應(yīng)為,利用初始條件得到,直流激勵下RLC串聯(lián)電路的響應(yīng),聯(lián)立求解以上兩個方程得到,最后得到電容電壓和電感電流的全響應(yīng),直流激勵下RLC串聯(lián)電路的響應(yīng),例6 電路如圖所示。已知R=6, L=1H, C=0.04F, uS(t)= (t)V。求t0時電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)。,解：t0時，(t)=1V，可以作為直流激勵處理。首先計算 電路的固有頻率,直流激勵下RLC串聯(lián)電路的響應(yīng),根據(jù)這兩個固有頻率s1=-3+j4和s2=-3-j4，可以得到全響應(yīng)的表達式為,利用電容電壓的初始值uC(0)=0和電感電流的初始值iL(0)=0得到以下兩個方程,直流激勵下RLC串聯(lián)電路的響應(yīng),求解以上兩個方程得到常數(shù)K1-1和K2-0.75，得到電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng),直流激勵下RLC串聯(lián)電路的響應(yīng),注：圖(c)和(d)表示當(dāng)電阻由R=6減小到R=1，衰減系數(shù)由3變?yōu)?.5時的電 容電壓和電感電流零狀態(tài)響應(yīng)的波形曲線。,注：圖(a)和(b)表示畫出的電容電壓和電感電流的波形。,圖9-7,RLC并聯(lián)電路的響應(yīng),RLC并聯(lián)電路如圖所示，為了得到電路的二階微分方程，列出KCL方程,代入電容，電阻和電感的VCR方程,得到微分方程,這是一個常系數(shù)非齊次線性二階微分方程。,其特征方程為,由此求解得到特征根,當(dāng)電路元件參數(shù)G,L,C的量值不同時，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況：,1. 時，s1,s2為兩個不相等的實根。,2. 時，s1,s2為兩個相等的實根。,3. 時，s1,s2為共軛復(fù)數(shù)根。,當(dāng)兩個特征根為不相等的實數(shù)根時，稱電路是過阻尼的；當(dāng)兩個特征根為相等的實數(shù)根時，稱電路是臨界阻尼的；當(dāng)兩個特征根為共軛復(fù)數(shù)根時，稱電路是欠阻尼的。,例7 電路如圖所示。已知G=3S,L=0.25H, C=0.5F, iS(t)=(t)A。求t0時電感電流和電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)。,解：根據(jù)G,L,C 的量值，計算出固有頻率,RLC并聯(lián)電路的響應(yīng),利用電容電壓的初始值uC(0)=0和電感電流的初始值iL(0)=0得到以下兩個方程,求得常數(shù)K1=-2,K2=1。最后得到電感電流和電容電壓,這是兩個不相等的實根，電感電流的表達式為,例8 RLC并聯(lián)電路中，已知G=0.1S,L=1H, C=1F, iS(t)=(t)A。求t0時，電感電流的零狀態(tài)響應(yīng)。 解：首先計算固有頻率,其響應(yīng)為,RLC并聯(lián)電路的響應(yīng),利用零初始條件，得到,由此可得,最后得到電感電流為,RLC并聯(lián)電路的響應(yīng),畫出的電感電流波形如下所示。,衰減系數(shù)為0.05的電感電流的波形,