高中數(shù)學(xué)圓錐曲線知識點(diǎn)總結(jié).doc
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高中數(shù)學(xué)圓錐曲線知識點(diǎn)總結(jié).doc
高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)大全圓錐曲線一、考點(diǎn)(限考)概要: 1、橢圓: (1)軌跡定義: 定義一:在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之和等于定長的點(diǎn)的軌跡是橢圓,兩定點(diǎn)是焦點(diǎn),兩定點(diǎn)間距離是焦距,且定長2a大于焦距2c。用集合表示為:; 定義二:在平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離之比是個常數(shù)e,那么這個點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。其中定點(diǎn)叫焦點(diǎn),定直線叫準(zhǔn)線,常數(shù)e是離心率。 用集合表示為:; (2)標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì): 注意:當(dāng)沒有明確焦點(diǎn)在個坐標(biāo)軸上時,所求的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)有兩個。 (3)參數(shù)方程:(為參數(shù)); 3、雙曲線: (1)軌跡定義: 定義一:在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對值等于定長的點(diǎn)的軌跡是雙曲線,兩定點(diǎn)是焦點(diǎn),兩定點(diǎn)間距離是焦距。用集合表示為: 定義二:到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離之比是個常數(shù)e,那么這個點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。其中定點(diǎn)叫焦點(diǎn),定直線叫準(zhǔn)線,常數(shù)e是離心率。 用集合表示為: (2)標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì): 注意:當(dāng)沒有明確焦點(diǎn)在個坐標(biāo)軸上時,所求的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)有兩個。 4、拋物線: (1)軌跡定義:在平面內(nèi)到定點(diǎn)和定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線,定點(diǎn)是焦點(diǎn),定直線是準(zhǔn)線,定點(diǎn)與定直線間的距離叫焦參數(shù)p。用集合表示為: (2)標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì): 焦點(diǎn)坐標(biāo)的符號與方程符號一致,與準(zhǔn)線方程的符號相反; 標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項的字母與對稱軸和準(zhǔn)線方程的字母一致; 標(biāo)準(zhǔn)方程的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對稱軸是坐標(biāo)軸,有別于一元二次函數(shù)的圖像;二、復(fù)習(xí)點(diǎn)睛: 1、平面解析幾何的知識結(jié)構(gòu): 2、橢圓各參數(shù)間的關(guān)系請記熟 “六點(diǎn)六線,一個三角形”,即六點(diǎn):四個頂點(diǎn),兩個焦點(diǎn);六線:兩條準(zhǔn)線,長軸短軸,焦點(diǎn)線和垂線PQ;三角形:焦點(diǎn)三角形。則橢圓的各性質(zhì)(除切線外)均可在這個圖中找到。 3、橢圓形狀與e的關(guān)系:當(dāng)e0,c0,橢圓圓,直至成為極限位置的圓,則認(rèn)為圓是橢圓在e=0時的特例。當(dāng)e1,ca橢圓變扁,直至成為極限位置的線段,此時也可認(rèn)為是橢圓在e=1時的特例。 4、利用焦半徑公式計算焦點(diǎn)弦長:若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,則弦長 這里體現(xiàn)了解析幾何“設(shè)而不求”的解題思想。 5、若過橢圓左(或右)焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦為AB,則; 6、結(jié)合下圖熟記雙曲線的:“四點(diǎn)八線,一個三角形”,即:四點(diǎn):頂點(diǎn)和焦點(diǎn);八線:實(shí)軸、虛軸、準(zhǔn)線、漸進(jìn)線、焦點(diǎn)弦、垂線PQ。三角形:焦點(diǎn)三角形。 7、雙曲線形狀與e的關(guān)系:,e越大,即漸近線的斜率的絕對值就越大,這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊。由此可知,雙曲線的離心率越大,它的開口就越闊。 8、雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b。 9、共軛雙曲線:以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸,虛軸為實(shí)軸,這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線。區(qū)別:三常數(shù)a、b、c中a、b不同(互換)c相同,它們共用一對漸近線。雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點(diǎn)在同一圓上。確定雙曲線的共軛雙曲線的方法:將1變?yōu)?。 10、過雙曲線外一點(diǎn)P(x,y)的直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)的情況如下: (1)P點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時,有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線,共四條; (2)P點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時,有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線,共四條; (3)P在兩條漸近線上但非原點(diǎn),只有兩條:一條是與另一漸近線平行的直線,一條是切線; (4)P為原點(diǎn)時不存在這樣的直線; 11、結(jié)合圖形熟記拋物線:“兩點(diǎn)兩線,一個直角梯形”,即:兩點(diǎn):頂點(diǎn)和焦點(diǎn);兩線:準(zhǔn)線、焦點(diǎn)弦;梯形:直角梯形ABCD。 12、對于拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為,以簡化計算; 13、拋物線的焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)為AB,且 ,則有如下結(jié)論: 14、過拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點(diǎn):兩條切線和一條平行于對稱軸的直線; 15、處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點(diǎn)問題常用代點(diǎn)相減法:即設(shè) 為曲線上不同的兩點(diǎn),是的中點(diǎn),則可得到弦中點(diǎn)與兩點(diǎn)間關(guān)系: 16、當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn)時,通常有兩種處理方法:一是韋達(dá)定理,即把直線方程代入曲線方程,消元后,用韋達(dá)定理求相關(guān)參數(shù)(即設(shè)而不求);二是點(diǎn)差法,即設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo),然后把交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程,兩式相減后,再求相關(guān)參數(shù)。在利用點(diǎn)差法時,必須檢驗(yàn)條件0是否成立。5、圓錐曲線: (1)統(tǒng)一定義,三種圓錐曲線均可看成是這樣的點(diǎn)集:,其中F為定點(diǎn),d為點(diǎn)P到定直線的l 距離, e為常數(shù),如圖。 (2)當(dāng)0e1時,點(diǎn)P的軌跡是橢圓;當(dāng)e1時,點(diǎn)P的軌跡是雙曲線;當(dāng)e=1時,點(diǎn)P的軌跡是拋物線。 (3)圓錐曲線的幾何性質(zhì):幾何性質(zhì)是圓錐曲線內(nèi)在的、固有的性質(zhì),不因?yàn)槲恢玫母淖兌淖儭?#160; 定性:焦點(diǎn)在與準(zhǔn)線垂直的對稱軸上 橢圓及雙曲線:中心為兩焦點(diǎn)中點(diǎn),兩準(zhǔn)線關(guān)于中心對稱; 橢圓及雙曲線關(guān)于長軸、短軸或?qū)嵼S、虛軸為軸對稱,關(guān)于中心為中心對稱; 拋物線的對稱軸是坐標(biāo)軸,對稱中心是原點(diǎn)。 定量: (4)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及解析量(隨坐標(biāo)改變而變) 以焦點(diǎn)在x軸上的方程為例: 6、曲線與方程: (1)軌跡法求曲線方程的程序: 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系; 設(shè)曲線上任一點(diǎn)(動點(diǎn))M的坐標(biāo)為(x,y); 列出符合條件p(M)的方程f(x,y)=0; 化簡方程f(x,y)=0為最簡形式; 證明化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上; (2)曲線的交點(diǎn): 由方程組確定,方程組有幾組不同的實(shí)數(shù)解,兩條曲線就有幾個公共點(diǎn);方程組沒有實(shí)數(shù)解,兩條曲線就沒有公共點(diǎn)。