第二章 恒定電場(chǎng),下 頁,4. 電導(dǎo)和接地電阻,3. 恒定電場(chǎng)的基本計(jì)算方法,重點(diǎn)：,2. 恒定電場(chǎng)的基本方程、邊界條件,Steady Electric Field,1. 電流密度的概念,自由電荷在電場(chǎng)作用下做宏觀定向運(yùn)動(dòng)形成電流，通有電流的導(dǎo)電媒質(zhì)中的場(chǎng)稱為電流場(chǎng)，當(dāng)空間各點(diǎn)的電流密度不隨時(shí)間而變時(shí)就是恒定電流場(chǎng)，簡(jiǎn)稱恒定電場(chǎng)。,下 頁,上 頁,1.恒定電場(chǎng),2.導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng),導(dǎo)電媒質(zhì),超導(dǎo)體或理想導(dǎo)體,理想介質(zhì),下 頁,上 頁,有推動(dòng)自由電荷運(yùn)動(dòng)的電場(chǎng)存在，說明E不僅存在于介質(zhì)中而且存在于導(dǎo)體中；,恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)不同之處,電流恒定說明流走的自由電子被新的自由電子補(bǔ)充，空間電荷密度處于動(dòng)態(tài)平衡，因而場(chǎng)分布不同于靜電場(chǎng)；,靜電場(chǎng),恒定電場(chǎng),下 頁,上 頁,導(dǎo)體不是等位體；,導(dǎo)體媒質(zhì)內(nèi)外伴隨有磁場(chǎng)和溫度場(chǎng)。,導(dǎo)線端面電荷引起的電場(chǎng),導(dǎo)線側(cè)面電荷引起的電場(chǎng),所有電荷引起的電場(chǎng)疊加,3.導(dǎo)電媒質(zhì)周圍介質(zhì)中的恒定電場(chǎng),介質(zhì)中的恒定電場(chǎng)是導(dǎo)電媒質(zhì)中動(dòng)態(tài)平衡電荷所產(chǎn)生的恒定場(chǎng)，與靜電場(chǎng)的分布相同。,下 頁,上 頁,進(jìn)一步理解直流電路中的有關(guān)規(guī)律；,4.研究恒定電場(chǎng)的意義,本章主要討論導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)。,注意,解決絕緣電阻、接地電阻的計(jì)算等實(shí)際問題；,為實(shí)驗(yàn)方法研究場(chǎng)的問題提供理論依據(jù)。,1. 電流 (Current),定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過某一橫截面的電量。,2.1 導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流,Current in Conductive Media,A,運(yùn)流電流帶電粒子在真空或稀薄氣體中定向 運(yùn)動(dòng)形 成的電流，其運(yùn)動(dòng)受牛頓定律制約。,下 頁,上 頁,傳導(dǎo)電流電子或離子在導(dǎo)電媒質(zhì)中受電場(chǎng)作用而定 向運(yùn)動(dòng)形成的電流。,體電流 面電流 線電流,電流面密度 J,電流,體電荷 以速度 v 運(yùn)動(dòng)形成的電流。,電流密度,2. 電流密度（Current Density),下 頁,上 頁,電流面密度矢量,電流的計(jì)算,電流線密度 K,電流,en 是垂直于dl，且通過 dl 與曲面相切的單位矢量,面電荷 在曲面上以速度 v 運(yùn)動(dòng)形成的電流,電流線密度及其通量,下 頁,上 頁,電流線密度,元電流的概念,面電流的實(shí)例,媒質(zhì)磁化后的表面磁化電流；,同軸電纜的外導(dǎo)體視為電流線密度分布；,高頻時(shí)，因集膚效應(yīng)，電流趨于導(dǎo)體表面分布。,下 頁,上 頁,媒質(zhì)的磁化電流,線電荷 在曲線上以速度 v 運(yùn)動(dòng)形成的電流,3. 歐姆定律的微分形式,J 與 E 成正比，且方向一致。,下 頁,上 頁,J 與 E 之關(guān)系,歐姆定律,導(dǎo)體內(nèi)流過的電流與導(dǎo)體兩端的電壓成正比。,設(shè)小塊導(dǎo)體，在線性情況下,Ohms Law 微分形式,說明,上式也適用于非線性情況,4. 焦?fàn)柖傻奈⒎中问?導(dǎo)體有電流時(shí)，必伴隨功率損耗，其功率為,下 頁,上 頁,J 與 E 之關(guān)系,設(shè)小塊導(dǎo)體,功率密度,Joules Law微分形式,提供非靜電力將其它形式的能轉(zhuǎn)為電能的裝置稱為電源。,1. 電源 (Source),2.2 電源電勢(shì)與局外場(chǎng)強(qiáng),Source EMF and 0ther Field Intensity,電源電動(dòng)勢(shì)是電源本身的特征量，與外電路無關(guān)。,局外場(chǎng)強(qiáng),局外力,2. 電源電動(dòng)勢(shì) (Source EMF),下 頁,上 頁,恒定電流的形成,把電源接到電路里，通過電源的電流有兩種可能性：從負(fù)極到正極，或從正極到負(fù)極。,1. 電源的充電和放電,下 頁,上 頁,+,-,Ee,EC,12,電源充放電,實(shí)際電源的類型很多，不同電源中形成非靜電力的過程不同。化學(xué)電池的非靜電力是與離子的溶解和沉積過程相聯(lián)系的化學(xué)作用；在溫差電池中，非靜電力是與溫度差和電子的濃度差相聯(lián)系的擴(kuò)散作用；在普通的發(fā)電機(jī)中，非靜電力是電磁感應(yīng)作用。,下 頁,上 頁,1. 干電池和鈕扣電池（化學(xué)電源）,實(shí)際電源,干電池電動(dòng)勢(shì)1.5V，僅取決于（糊狀）化學(xué)材料，其大小決定儲(chǔ)存的能量，化學(xué)反應(yīng)不可逆。,鈕扣電池電動(dòng)勢(shì)1.35V，用固體化學(xué)材料，化學(xué)反應(yīng)不可逆。,干電池,鈕扣電池,下 頁,上 頁,氫氧燃料電池示意圖,2. 燃料電池（化學(xué)電源）,電池電動(dòng)勢(shì)1.23V。以氫、氧作為燃料。約40-45%的化學(xué)能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔?。?shí)驗(yàn)階段加燃料可繼續(xù)工作。,下 頁,上 頁,3. 太陽能電池（光能電源）,一塊太陽能電池電動(dòng)勢(shì)0.6V。太陽光照射到P-N結(jié)上，形成一個(gè)從N區(qū)流向P區(qū)的電流。約 11%的光能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔?，故常用太陽能電池板?一個(gè)50cm2太陽能電池的電動(dòng)勢(shì)0.6V,電流0.1A,太陽能電池示意圖,下 頁,上 頁,蓄電池示意圖,4. 蓄電池（化學(xué)電源）,電池電動(dòng)勢(shì)2V。使用時(shí)，電池放電，當(dāng)電解液濃度小于一定值時(shí)，電動(dòng)勢(shì)低于2V，常要充電，化學(xué)反應(yīng)可逆。,上 頁,上 頁,因此，對(duì)閉合環(huán)路積分,電源電動(dòng)勢(shì)與局外場(chǎng)強(qiáng),電源電動(dòng)勢(shì),總場(chǎng)強(qiáng),下 頁,上 頁,1. 基本方程 (Basic Equations),2.3 基本方程分界面銜接條件,Basic Equations Boundary Conditions,下 頁,上 頁,E的閉合線積分及旋度,若所取積分路徑不經(jīng)過電源區(qū)，則,得,恒定電場(chǎng)是無旋場(chǎng),在恒定電場(chǎng)中,上式亦稱電流連續(xù)性方程，即流進(jìn)的電流等于流出的電流，電流線是閉合曲線。,故,電荷守恒原理,J 的閉合面積分及散度,下 頁,上 頁,恒定電場(chǎng)是無源場(chǎng),恒定電場(chǎng)是無源無旋場(chǎng)，在無源區(qū)是守恒場(chǎng)。,恒定電場(chǎng)（電源外）的基本方程,積分形式,微分形式,下 頁,上 頁,說明,電位方程,拉普拉斯方程,由基本方程出發(fā), =常數(shù),下 頁,上 頁,2）適用于均勻線性媒質(zhì)，對(duì)于不均勻媒質(zhì)要分區(qū)列方程；,注意,1）恒定電場(chǎng)的拉普拉斯方程適用于無源區(qū)；,3）恒定電場(chǎng)中沒有泊松方程；,下 頁,上 頁,恒定電場(chǎng)的基本方程與電路的基本定律,恒定電場(chǎng)的基本方程是基爾霍夫定律的場(chǎng)的表示。,2. 分界面上的銜接條件（Boundary Conditions),說明分界面上 E 切向分量連續(xù)，J 的法向分量連續(xù)。,靜電場(chǎng)（=0）,下 頁,上 頁,采用與靜電場(chǎng)類比的方式可以方便的得到恒定電場(chǎng)中不同媒質(zhì)分界面的銜接條件。,恒定電場(chǎng)（無源區(qū)）,下 頁,上 頁,在不同媒質(zhì)分界面上,一般情況下介質(zhì)交界面上總有凈自由電荷存在,表明,有關(guān)靜電場(chǎng)的定律適用于恒定電場(chǎng)，因靜電場(chǎng)是恒定電場(chǎng)的特例,注意,折射定律,電流線的折射,下 頁,上 頁,分界面上電位 的銜接條件,由,下 頁,上 頁,良導(dǎo)體與不良導(dǎo)體的交界面。,1）不良導(dǎo)體中電流線與良導(dǎo)體界面幾乎垂直。,2）良導(dǎo)體可以近似認(rèn)為是等位體。,表明,討論,3）可以用電流場(chǎng)模擬靜電場(chǎng)。,導(dǎo)體與理想介質(zhì)的分界面,在理想介質(zhì)中,空氣中,導(dǎo)體中,1）分界面導(dǎo)體側(cè)的電流一定與導(dǎo)體表面平行。,下 頁,上 頁,導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面,討論,2）導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面上必有面電荷。,表明,3）電場(chǎng)切向分量不為零，導(dǎo)體非等位體，導(dǎo)體表 面非等位面,下 頁,上 頁,理想導(dǎo)體與理想介質(zhì)的分界面。,1）理想導(dǎo)體中電場(chǎng)為零，沿電流方向沒有壓降,2）理想介質(zhì)中的E垂直于導(dǎo)體表面。,表明,討論,1. 恒定電場(chǎng)的邊值問題,邊值問題,下 頁,上 頁,2.4 恒定電場(chǎng)的求解,對(duì)恒定電場(chǎng)的求解可以歸結(jié)為恒定電場(chǎng)的邊值問題。,試用邊值問題求解電弧片中電位、電場(chǎng)及導(dǎo)體分界面上的面電荷分布。,( 區(qū)域）,選用圓柱坐標(biāo)系，邊值問題為：,( 區(qū)域）,下 頁,上 頁,不同媒質(zhì)弧形導(dǎo)電片,例,解,電位,電場(chǎng)強(qiáng)度,電荷面密度,通解,下 頁,上 頁,2. 恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬,下 頁,上 頁,基本方程,導(dǎo)出方程,下 頁,上 頁,邊界條件,對(duì)應(yīng)物理量,根據(jù)唯一性定理可知，當(dāng)兩種場(chǎng)的各物理量滿足的定解問題相似，則解也相似。因此，通過對(duì)一個(gè)場(chǎng)的求解或?qū)嶒?yàn)研究，利用對(duì)應(yīng)量關(guān)系置換物理量便可得到另一個(gè)場(chǎng)的解。這種方法叫靜電比擬法。,下 頁,上 頁,結(jié)論,兩種場(chǎng)的基本方程相似，只要把對(duì)應(yīng)物理量互換，一個(gè)場(chǎng)的基本方程就變?yōu)榱硪粓?chǎng)的基本方程。,兩種場(chǎng)的有相同的定義，且都滿足拉普拉斯方程。,兩種場(chǎng)的邊界條件相似。,微分方程相同；,場(chǎng)域幾何形狀及邊界條件相同；,媒質(zhì)分界面折射情況相似，滿足,下 頁,上 頁,靜電比擬的條件,試求同軸電纜的電場(chǎng)。,例,解,靜電場(chǎng),I,恒定電場(chǎng),下 頁,上 頁,結(jié)論,恒定電場(chǎng),1）把求解恒定電場(chǎng)的解析解問題轉(zhuǎn)化為求解靜電場(chǎng)的 解析解問題；,2）把求解恒定電場(chǎng)的數(shù)值解問題轉(zhuǎn)化為求解靜電場(chǎng)的 數(shù)值解問題；,3）把靜電場(chǎng)的鏡像法直接用于恒定電場(chǎng)。,應(yīng)用靜電比擬可以,鏡像法的比擬,靜 電 場(chǎng),恒 定 電 場(chǎng),下 頁,上 頁,例,在實(shí)驗(yàn)室用恒定電場(chǎng)模擬靜電場(chǎng),固體模擬 （如導(dǎo)電紙模擬）,實(shí)驗(yàn)方法：,液體模擬 （如電解槽模擬）,恒定電流場(chǎng)的電極表面近似為等位面,( 條件 ),下 頁,上 頁,由于實(shí)驗(yàn)研究靜電場(chǎng)十分困難，而許多工程實(shí)際問題可以近似看作靜電場(chǎng)問題，用恒定電流場(chǎng)模擬靜電場(chǎng)的方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究是一種可行的方法。,也可以用恒定電流場(chǎng)來研究非電的相似問題。,1. 電導(dǎo)的計(jì)算 (Conductance),定義電導(dǎo),2.5 電導(dǎo)與接地電阻,Conductance and Ground Resistor,計(jì)算方法,下 頁,上 頁,電導(dǎo)的計(jì)算是場(chǎng)的計(jì)算,當(dāng)滿足比擬條件時(shí)，用比擬法由電容計(jì)算電導(dǎo)。,多導(dǎo)體電極系統(tǒng)的部分電導(dǎo)可與靜電系統(tǒng)的部分電容比擬。,比擬法,下 頁,上 頁,求圖示同軸電纜的絕緣電阻。,設(shè),電導(dǎo),用靜電比擬法求解,由靜電場(chǎng),絕緣電阻,下 頁,上 頁,同軸電纜橫截面,例,解,代入邊界條件，得,取圓柱坐標(biāo)系，邊值問題,試求圖示電導(dǎo)片的電導(dǎo)。已知,。,下 頁,上 頁,電場(chǎng)強(qiáng)度,弧形導(dǎo)電片,例,解,通解,電流,電導(dǎo),電流密度,下 頁,上 頁,2. 接地電阻(Ground Resistor),下 頁,上 頁,電路中某一點(diǎn)和大地連接。,接地,接地器電阻、接地器與土壤之間的接觸電阻、土壤電阻構(gòu)成。,接地的工程意義,人身安全，屬于保護(hù)性接地。,設(shè)備的運(yùn)行需要，屬于工作性接地。,接地器,埋在地中的導(dǎo)體系統(tǒng)（棒、球、柱及其它組合）。,接地電阻,屏蔽室接地電阻（深度20米）,下 頁,上 頁,高壓大廳網(wǎng)狀接地電阻（深度1米）,上 頁,下 頁,定義接地電阻（以為參考）,下 頁,上 頁,接地電阻的計(jì)算,計(jì)算接地電阻必需研究地中電流分布，認(rèn)為在接地器附近電流密度最大，接地電阻主要集中在接地器附近。,因此接地電阻與接地器的形狀尺寸、埋入深度及土壤的導(dǎo)電系數(shù)有關(guān)。,求深埋地中的球形接地器的接地電阻,通過電流場(chǎng)計(jì)算電阻,靜電比擬法,下 頁,上 頁,例,解一,解二,求淺埋的球形接地器的接地電阻。,用鏡像法,下 頁,上 頁,例,解,采用數(shù)值解,求淺埋的半球形接地器的接地電阻。,接地器接地電阻,解,下 頁,上 頁,例,為危險(xiǎn)區(qū)半徑,求跨步電壓 (Step Voltage),以淺埋半球接地器為例,人體的安全電壓U040V,上 頁,解,例,上 頁,基本方程,E 的旋度,邊值問題,邊界條件,電 位,一般解法,電導(dǎo)與接地電阻,特殊解(靜電比擬),恒定電場(chǎng)知識(shí)結(jié)構(gòu),基本物理量 J、 E,歐姆定律,J 的散度,上 頁,求直立管形接地器的接地電阻。（l d）,考慮地面的影響，可用鏡像法。,實(shí)際電導(dǎo),即,在靜電場(chǎng)中,比擬法,下 頁,上 頁,解,例,