基本知識(shí)排列與元素的順序有關(guān)，組合與順序無關(guān)如231與213是兩個(gè)排列，231的和與213的和是一個(gè)組合 (一)兩個(gè)基本原理是排列和組合的基礎(chǔ) (1)加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1m2m3mn種不同方法 (2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1×m2×m3××mn種不同的方法 這里要注意區(qū)分兩個(gè)原理，要做一件事，完成它若是有n類辦法，是分類問題，第一類中的方法都是獨(dú)立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n個(gè)步驟，步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的若干個(gè)互相聯(lián)系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理 這樣完成一件事的分“類”和“步”是有本質(zhì)區(qū)別的，因此也將兩個(gè)原理區(qū)分開來 (二)排列和排列數(shù) (1)排列：從n個(gè)不同元素中，任取m(mn)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列 從排列的意義可知，如果兩個(gè)排列相同，不僅這兩個(gè)排列的元素必須完全相同，而且排列的順序必須完全相同，這就告訴了我們?nèi)绾闻袛鄡蓚€(gè)排列是否相同的方法 (2)排列數(shù)公式：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有排列 ,當(dāng)mn時(shí)，為全排列Pnn=n(n1)(n1)3·2·1n！ (三)組合和組合數(shù) (1)組合：從n個(gè)不同元素中，任取m(mn)個(gè)元素并成一組，叫做從 n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合 從組合的定義知，如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，不管元素的順序如何，都是相同的組合；只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)，才是不同的組合 (2)組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有組合的個(gè) 這里要注意排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系，從n個(gè)不同元素中，任取m(mn)個(gè)元素，“按照一定的順序排成一列”與“不管怎樣的順序并成一組”這是有本質(zhì)區(qū)別的 一、排列組合部分是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)之一，原因在于 (1)從千差萬別的實(shí)際問題中抽象出幾種特定的數(shù)學(xué)模型，需要較強(qiáng)的抽象思維能力(2)限制條件有時(shí)比較隱晦，需要我們對(duì)問題中的關(guān)鍵性詞(特別是邏輯關(guān)聯(lián)詞和量詞)準(zhǔn)確理解； (3)計(jì)算手段簡(jiǎn)單，與舊知識(shí)聯(lián)系少，但選擇正確合理的計(jì)算方案時(shí)需要的思維量較大； (4)計(jì)算方案是否正確，往往不可用直觀方法來檢驗(yàn)，要求我們搞清概念、原理，并具有較強(qiáng)的分析能力。 二、兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理及應(yīng)用 (1)加法原理和分類計(jì)數(shù)法 1加法原理 2加法原理的集合形式 3分類的要求 每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏) (2)乘法原理和分步計(jì)數(shù)法 1乘法原理 2合理分步的要求 任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)；各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，則對(duì)應(yīng)的完成此事的方法也不同 例題分析排列組合思維方法選講1首先明確任務(wù)的意義 例1. 從1、2、3、20這二十個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有_個(gè)。 分析：首先要把復(fù)雜的生活背景或其它數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個(gè)明確的排列組合問題。 設(shè)a,b,c成等差， 2b=a+c, 可知b由a,c決定， 又 2b是偶數(shù)， a,c同奇或同偶，即：從1，3，5，19或2，4，6，8，20這十個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù)進(jìn)行排列，由此就可確定等差數(shù)列，因而本題為2=180。 例2. 某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，如圖。若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中路線前進(jìn)，則從M到N有多少種不同的走法? 分析：對(duì)實(shí)際背景的分析可以逐層深入 （一）從M到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步。 （二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法。 （三）事實(shí)上，當(dāng)把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右。 從而，任務(wù)可敘述為：從八個(gè)步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數(shù)， 本題答案為：=56。 2注意加法原理與乘法原理的特點(diǎn)，分析是分類還是分步，是排列還是組合 例3在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A，B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有_種。 分析：條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個(gè)條件不容易用一個(gè)包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。 第一類：A在第一壟，B有3種選擇； 第二類：A在第二壟，B有2種選擇； 第三類：A在第三壟，B有一種選擇， 同理A、B位置互換 ，共12種。 例4從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有_。 (A)240 (B)180 (C)120 (D)60 分析：顯然本題應(yīng)分步解決。 （一）從6雙中選出一雙同色的手套，有種方法； （二）從剩下的十只手套中任選一只，有種方法。 （三）從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有種方法； （四）由于選取與順序無關(guān)，因而（二）（三）中的選法重復(fù)一次，因而共240種。 例5身高互不相同的6個(gè)人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個(gè)人都比他同列的身后的人個(gè)子矮，則所有不同的排法種數(shù)為_。 分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊(duì)方法只與人的選法有關(guān)系，共有三縱列，從而有=90種。 例6在11名工人中，有5人只能當(dāng)鉗工，4人只能當(dāng)車工，另外2人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車工。現(xiàn)從11人中選出4人當(dāng)鉗工，4人當(dāng)車工，問共有多少種不同的選法? 分析：采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點(diǎn)？分類的標(biāo)準(zhǔn)必須前后統(tǒng)一。 以兩個(gè)全能的工人為分類的對(duì)象，考慮以他們當(dāng)中有幾個(gè)去當(dāng)鉗工為分類標(biāo)準(zhǔn)。 第一類：這兩個(gè)人都去當(dāng)鉗工，有種； 第二類：這兩人有一個(gè)去當(dāng)鉗工，有種； 第三類：這兩人都不去當(dāng)鉗工，有種。 因而共有185種。 例7現(xiàn)有印著0，l，3，5，7，9的六張卡片，如果允許9可以作6用，那么從中任意抽出三張可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)? 分析：有同學(xué)認(rèn)為只要把0，l，3，5，7，9的排法數(shù)乘以2即為所求，但實(shí)際上抽出的三個(gè)數(shù)中有9的話才可能用6替換，因而必須分類。 抽出的三數(shù)含0，含9，有種方法； 抽出的三數(shù)含0不含9，有種方法； 抽出的三數(shù)含9不含0，有種方法； 抽出的三數(shù)不含9也不含0，有種方法。 又因?yàn)閿?shù)字9可以當(dāng)6用，因此共有2×(+)+=144種方法。 例8停車場(chǎng)劃一排12個(gè)停車位置，今有8輛車需要停放，要求空車位連在一起，不同的停車方法是_種。 分析：把空車位看成一個(gè)元素，和8輛車共九個(gè)元素排列，因而共有種停車方法。 3特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮 例9六人站成一排，求 (1)甲不在排頭，乙不在排尾的排列數(shù) (2)甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù) 分析：（1）先考慮排頭，排尾，但這兩個(gè)要求相互有影響，因而考慮分類。 第一類：乙在排頭，有種站法。 第二類：乙不在排頭，當(dāng)然他也不能在排尾，有種站法， 共+種站法。 （2）第一類：甲在排尾，乙在排頭，有種方法。 第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有種方法。 第三類：乙在排頭，甲不在排頭，有種方法。 第四類：甲不在排尾，乙不在排頭，有種方法。 共+2+=312種。 例10對(duì)某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進(jìn)行一一測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有多少種可能? 分析：本題意指第五次測(cè)試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最后一個(gè)次品，因而第五次測(cè)試應(yīng)算是特殊位置了，分步完成。 第一步：第五次測(cè)試的有種可能； 第二步：前四次有一件正品有中可能。 第三步：前四次有種可能。 共有種可能。 4捆綁與插空 例11. 8人排成一隊(duì) (1)甲乙必須相鄰 (2)甲乙不相鄰 (3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰 (4)甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰 (5)甲乙不相鄰，丙丁不相鄰 分析：（1）有種方法。 （2）有種方法。 （3）有種方法。 （4）有種方法。 （5）本題不能用插空法，不能連續(xù)進(jìn)行插空。 用間接解法：全排列-甲乙相鄰-丙丁相鄰+甲乙相鄰且丙丁相鄰，共-+=23040種方法。 例12. 某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況? 分析： 連續(xù)命中的三槍與單獨(dú)命中的一槍不能相鄰，因而這是一個(gè)插空問題。另外沒有命中的之間沒有區(qū)別，不必計(jì)數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的5個(gè)空中選出2個(gè)的排列，即。 例13. 馬路上有編號(hào)為l，2，3，10 十個(gè)路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種? 分析：即關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因?yàn)闊襞c燈之間沒有區(qū)別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個(gè)空中選出3個(gè)空放置熄滅的燈。 共=20種方法。 5間接計(jì)數(shù)法.(1)排除法 例14. 三行三列共九個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成多少個(gè)三角形? 分析：有些問題正面求解有一定困難，可以采用間接法。 所求問題的方法數(shù)=任意三個(gè)點(diǎn)的組合數(shù)-共線三點(diǎn)的方法數(shù)， 共種。 例15正方體8個(gè)頂點(diǎn)中取出4個(gè)，可組成多少個(gè)四面體? 分析：所求問題的方法數(shù)=任意選四點(diǎn)的組合數(shù)-共面四點(diǎn)的方法數(shù)， 共-12=70-12=58個(gè)。 例16. l，2，3，9中取出兩個(gè)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可組成多少個(gè)不同數(shù)值的對(duì)數(shù)? 分析：由于底數(shù)不能為1。 （1）當(dāng)1選上時(shí)，1必為真數(shù)， 有一種情況。 （2）當(dāng)不選1時(shí)，從2-9中任取兩個(gè)分別作為底數(shù)，真數(shù)，共，其中l(wèi)og24=log39，log42=log93, log23=log49, log32=log94. 因而一共有53個(gè)。 (3)補(bǔ)上一個(gè)階段，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題 例17. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相鄰)，共有多少種不同的方法? 如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢? 分析：（一）實(shí)際上，甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對(duì)稱，具有相同的排法數(shù)。因而有=360種。 （二）先考慮六人全排列；其次甲乙丙三人實(shí)際上只能按照一種順序站位，因而前面的排法數(shù)重復(fù)了種， 共=120種。 例185男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法? 分析：首先不考慮男生的站位要求，共種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重復(fù)了次。因而有=9×8×7×6=3024種。 若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法， 同理也有3024種，綜上，有6048種。 例19. 三個(gè)相同的紅球和兩個(gè)不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法? 分析：先認(rèn)為三個(gè)紅球互不相同，共種方法。而由于三個(gè)紅球所占位置相同的情況下，共有變化，因而共=20種。 6擋板的使用 例2010個(gè)名額分配到八個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，問有多少種不同的分配方法? 分析：把10個(gè)名額看成十個(gè)元素，在這十個(gè)元素之間形成的九個(gè)空中，選出七個(gè)位置放置檔板，則每一種放置方式就相當(dāng)于一種分配方式。因而共36種。 7注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補(bǔ)充一個(gè)階段(排序)可轉(zhuǎn)化為排列問題。 例21. 從0，l，2，9中取出2個(gè)偶數(shù)數(shù)字，3個(gè)奇數(shù)數(shù)字，可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)? 分析：先選后排。另外還要考慮特殊元素0的選取。 （一）兩個(gè)選出的偶數(shù)含0，則有種。 （二）兩個(gè)選出的偶數(shù)字不含0，則有種。 例22. 電梯有7位乘客，在10層樓房的每一層停留，如果三位乘客從同一層出去，另外兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，有多少種不同的下樓方法? 分析：（一）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四組，有種。 （二）選擇10層中的四層下樓有種。 共有種。 例23. 用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)， (1)可組成多少個(gè)不同的四位數(shù)? (2)可組成多少個(gè)不同的四位偶數(shù)? (3)可組成多少個(gè)能被3整除的四位數(shù)? (4)將(1)中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列，問第85項(xiàng)是什么? 分析：（1）有個(gè)。 （2）分為兩類：0在末位，則有種：0不在末位，則有種。 共+種。 （3）先把四個(gè)相加能被3整除的四個(gè)數(shù)從小到大列舉出來，即先選 0，1，2，3 0，1，3，5 0，2，3，4 0，3，4，5 1，2，4，5 它們排列出來的數(shù)一定可以被3整除，再排列，有：4×()+=96種。 （4）首位為1的有=60個(gè)。 前兩位為20的有=12個(gè)。 前兩位為21的有=12個(gè)。 因而第85項(xiàng)是前兩位為23的最小數(shù)，即為2301。 8分組問題 例24. 6本不同的書 (1) 分給甲乙丙三人，每人兩本，有多少種不同的分法? (2) 分成三堆，每堆兩本，有多少種不同的分法？ (3) 分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本，有多少種不同的分法？ (4) 甲一本，乙兩本，丙三本，有多少種不同的分法? (5) 分給甲乙丙三人，其中一人一本，一人兩本，第三人三本，有多少種不同的分法? 分析：（1）有中。 (2）即在（1）的基礎(chǔ)上除去順序，有種。 （3）有種。由于這是不平均分組，因而不包含順序。 （4）有種。同（3），原因是甲，乙，丙持有量確定。 （5）有種。 例25. 6人分乘兩輛不同的車，每車最多乘4人，則不同的乘車方法為_。 分析：（一）考慮先把6人分成2人和4人，3人和3人各兩組。 第一類：平均分成3人一組，有種方法。 第二類：分成2人，4人各一組，有種方法。 （二）再考慮分別上兩輛不同的車。 綜合（一）（二），有種。 例26. 5名學(xué)生分配到4個(gè)不同的科技小組參加活動(dòng)，每個(gè)科技小組至少有一名學(xué)生參加，則分配方法共有_種. 分析：（一）先把5個(gè)學(xué)生分成二人，一人，一人，一人各一組。 其中涉及到平均分成四組，有=種分組方法。 （二）再考慮分配到四個(gè)不同的科技小組，有種， 由（一）（二）可知，共=240種。