第 4 講離散型隨機變量及其分布列最新考綱1理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性2理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單應用.知 識 梳 理1離散型隨機變量隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量，所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量2離散型隨機變量的分布列及性質(1)一般地，若離散型隨機變量 X 可能取的不同值為 x1，x2，xi，xn，X取每一個值 xi(i1,2，n)的概率 P(Xxi)pi，則表XPx1p1x2p2xipixnpn稱為離散型隨機變量 X 的概率分布列(2)離散型隨機變量的分布列的性質pi0(i1,2，n)；p1p2pn13常見離散型隨機變量的分布列(1)兩點分布：若隨機變量 X 服從兩點分布，其分布列為XP01p1p，其中 pP(X1)稱為成功概率(2)超幾何分布：在含有 M 件次品的 N 件產(chǎn)品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次CkMCNnkM，k0,1,2，m，其中 mminM，n，且 nN，品，則 P(Xk)nCNMN，n，M，NN *，稱隨機變量 X 服從超幾何分布.XP00n   0CMCN MCnN11n   1CMCN MCnNmn   mCmMCN MCnN學生用書第 188 頁辨 析 感 悟1離散型隨機變量(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量()(2)離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于 1.(×)(3)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的()2分布列的性質及兩個特殊的概率分布(4)如果隨機變量 X 的分布列由下表給出：X25P0.30.7則它服從二點分布(×)(5)從 4 名男演員和 3 名女演員中選出 4 人，其中女演員的人數(shù) X 服從超幾何分布()i(6)(教材習題改編 ) 已知隨機變量 X 的分布列為 P(X  i)  2a (i  1,2,3,4) ，則P(2<X4)0.7.()感悟· 提升1離散型隨機變量的特點一是在試驗之前不能斷言隨機變量取什么值，即具有隨機性；二是在大量重復試驗中能按一定統(tǒng)計規(guī)律取值的變量，即存在統(tǒng)計規(guī)律性，如(1)、(3)2分布列的兩條性質離散型隨機變量的分布列指出了隨機變量 X 的取值范圍以及取各值的概率，如(6)；要理解兩種特殊的概率分布 兩點分布與超幾何分布，如 (4)、(5)；并善于靈活運用兩性質：一是 pi0(i1,2，)；二是 p1p2pn1 檢驗分布列的正誤，如(2)考點一離散型隨機變量分布列的性質【例 1】 設離散型隨機變量 X 的分布列為XP00.210.120.130.34m求隨機變量 Y|X1|的分布列解由分布列的性質，知020.10.10.3m1，m0.3.列表X|X1|0110213243P(Y1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(Y0)P(X1)0.1，P(Y2)0.3，P(Y3)0.3.因此 Y|X1|的分布列為：YP00.110.320.330.3規(guī)律方法 (1)利用分布列中各概率之和為 1 可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數(shù)(2)若 X 是隨機變量，則 Y|X1|仍然是隨機變量，求它的分布列可先求出相應隨機變量的值，再根據(jù)互斥事件概率加法求 Y 取各值的概率，進而寫出分布列【訓練 1】 隨機變量 X 的分布列如下：XP1a0b1cC12C35C22C256C47  .C31           C4P(X1)C435，P(X2)C435，P(X3)C47，P(X4)C47.其中 a，b，c 成等差數(shù)列，則 P(|X|1)_.ìï2bac，解析由題意知íïîabc1，12則 2b1b，則 b3，ac3，2所以 P(|X|1)P(X1)P(X1)ac3.2答案3考點二離散型隨機變量的分布列【例 2】 (2013· 天津卷)一個盒子里裝有 7 張卡片，其中有紅色卡片 4 張，編號分別為 1,2,3,4；白色卡片 3 張，編號分別為 2,3,4.從盒子中任取 4 張卡片(假設取到任何一張卡片的可能性相同)(1)求取出的 4 張卡片中，含有編號為 3 的卡片的概率；(2)在取出的 4 張卡片中，紅色卡片編號的最大值設為 X，求隨機變量 X 的分布列與數(shù)學期望審題路線(1)編號為 3 的卡片來源有兩類，利用古典概型求事件的概率(2)根據(jù)任取 4 張卡片的不同情況確定 X 的所有可能取值，然后求出相應的概率，進而確定分布列、計算數(shù)學期望解(1)設“取出的 4 張卡片中，含有編號為 3 的卡片”為事件 A，則 P(A)76所以取出的 4 張卡片中，含有編號為 3 的卡片的概率為7.(2)隨機變量 X 的所有可能取值為 1,2,3,4.47733C52C6477所以隨機變量 X 的分布列是XP11352435327447且 P(X3)C342，P(X4)  C3  21，C42·C15 5        C34P(X5)  C3  14，P(X6)C321.142417隨機變量 X 的數(shù)學期望 E(X)1×352×353×74×7 5 .學生用書第 189 頁規(guī)律方法 (1)求隨機變量的分布列的主要步驟：明確隨機變量的取值，并確定隨機變量服從何種概率分布；求每一個隨機變量取值的概率；列成表格(2)求出分布列后注意運用分布列的兩條性質檢驗所求的分布列是否正確【訓練 2】 (2014· 青島質檢)已知箱中裝有 4 個白球和 5 個黑球，且規(guī)定：取出一個白球得 2 分，取出一個黑球得 1 分現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機會均等)3 個球，記隨機變量 X 為取出此 3 球所得分數(shù)之和(1)求 X 的分布列；(2)求 X 的數(shù)學期望 E(X)解(1)由題意得 X 取 3,4,5,6，315C55C4·C21099199所以 X 的分布列為XP3542410215514612113(2)由(1)知 E(X)3P(X3)4P(X4)5P(X5)6P(X6) 3 .考點三超幾何分布問題【例 3】 (2014· 哈爾濱調研)PM2.5 是指懸浮在空氣中的空氣動力學當量直徑小于或等于 2.5 微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物根據(jù)現(xiàn)行國家標準 GB30952012，PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空氣質量為一級；在 35 微克/立方米75 微克/立方米之間空氣質量為二級；在 75 微克/立方米以上空氣質量為超標從某自然保護區(qū) 2013 年全年每天的 PM2.5 監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機地抽取 10 天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示：PM2.5 日均值(微克/立方25,35    (35,45    (45,55    (55,65    (65,75    (75,85P(A)  C3   40.P(Xk)   C3 (k0,1,2,3)，P(X0) C3  24，P(X1) C3  40，P(X2) C3  40，P(X3) C33  7120，米)頻數(shù)311113(1)從這 10 天的 PM2.5 日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出 3 天，求恰有一天空氣質量達到一級的概率；(2)從這 10 天的數(shù)據(jù)中任取 3 天數(shù)據(jù)記 X 表示抽到 PM2.5 監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求 X 的分布列審題路線(1)由頻數(shù)分布表，知 10 天中僅有 3 天空氣質量達到一級，利用古典概型可求第(1)問中的概率(2)超標的天數(shù) X 服從超幾何分布利用超幾何分布的概率公式代入求解解(1)記“從 10 天的 PM2.5 日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出 3 天，恰有一天空氣質量達到一級”為事件 A，則17C3·C22110(2)依據(jù)條件，X 服從超幾何分布，其中 N10，M3，n3，且隨機變量 X 的可能取值為 0,1,2,3.k7   kC3· C31007C3C371017C3C2211027C3C1710C3C0110因此 X 的分布列為XP072412140274031120C10   x7則 P(A)1 C2 9，其中 P(Xk)   C3 ，k0,1,2,3.規(guī)律方法 (1)求解本題的關鍵在于：從統(tǒng)計圖表中準確提取信息；明確隨機變量 X 服從超幾何分布(2)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)超幾何分布的特征是：考察對象分兩類；已知各類對象的個數(shù)；從中抽取若干個個體，考查某類個體個數(shù) X 的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古典概型【訓練 3】 一袋中裝有 10 個大小相同的黑球和白球已知從袋中任意摸出 2 個7球，至少得到 1 個白球的概率是9.(1)求白球的個數(shù)；(2)從袋中任意摸出 3 個球，記得到白球的個數(shù)為 X，求隨機變量 X 的分布列解(1)記“從袋中任意摸出 2 個球，至少得到 1 個白球”為事件 A，設袋中白球的個數(shù)為 x，210得到 x5.故白球有 5 個(2)X 服從超幾何分布，其中 N10，M5，n3，k5C5C3k10于是可得其分布列為XP01121512251231121求分布列的關鍵是正確求出隨機變量的所有可能值及對應的概率，要注意避免分類不全面或計算錯誤2注意運用分布列的兩個性質檢驗求得分布列的正誤3求概率分布的常見類型(1)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)表求離散型隨機變量的分布列；(2)由古典概型求離散型隨機變量的分布列；(3)由互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率及 n 次獨立重復試驗有 k次發(fā)生的概率求離散型隨機變量的分布列學生用書第 190 頁思想方法 11分類討論思想在概率中的應用【典例】 在一個盒子中，放有標號分別為 1,2,3 的三張卡片，現(xiàn)從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標號分別為 x，y，記 X|x2|yx|.(1)求隨機變量 X 的最大值，并求事件“X 取得最大值”的概率；(2)求隨機變量 X 的分布列解(1)x，y 可能的取值為 1,2,3，|x2|1，|yx|2，X3，且當 x1，y3 或 x3，y1 時，X3.因此，隨機變量 X 的最大值為 3.有放回地抽兩張卡片的所有情況有 3×39(種)，2P(X3)9.2故隨機變量 X 的最大值為 3，事件“X 取得最大值”的概率為9.(2)X 的所有取值為 0,1,2,3.X0 時，只有 x2，y2 這一種情況，X1 時，有 x1，y1 或 x2，y1 或 x2，y3 或 x3，y3 四種情況，X2 時，有 x1，y2 或 x3，y2 兩種情況142P(X0)9，P(X1)9，P(X2)9.則隨機變量 X 的分布列為XP0191492293298C32因此 P(X0) C2 11，故 P(X   2)C2 11，反思感悟 (1)解決本題的關鍵是正確求出隨機變量的所有可能值及對應的概率(2)隨機變量 X 的值是 x，y 的函數(shù)，所以要對 x，y 的取值進行分類討論(3)分類不全面或計算錯誤是本題易錯點【自主體驗】(2012· 江蘇卷)設 X 為隨機變量，從棱長為 1 的正方體的 12 條棱中任取兩條，當兩條棱相交時，X0；當兩條棱平行時，X 的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時，X1.求隨機變量 X 的分布列解若兩條棱相交，則交點必為正方體 8 個頂點中的 1 個，過任意 1 個頂點恰有3 條棱，所以共有 8C23對相交棱，412若兩條棱平行，則它們的距離為 1 或 2，其中距離為 2的共有 6 對，6112416于是 P(X1)1P(X0)P(X 2)1111111，所以隨機變量 X 的分布列是XP041116112111基礎鞏固題組(建議用時：40 分鐘)一、選擇題1(2014· 武漢模擬)從裝有 3 個白球，4 個紅球的箱子中，隨機取出了 3 個球，恰好是 2 個白球，1 個紅球的概率是4A.3512C.35(   )6B.3536D.343問題，故所求概率為 P  C3  35.解析如果將白球視為合格品，紅球視為不合格品，則這是一個超幾何分布4C23C1127答案C2設 X 是一個離散型隨機變量，其分布列為：XP10.5012q1q2則 q 等于A12C1 2解析由分布列的性質得：(   )2B1± 22D1 2ïîq1±   2.ìï012q1，í0q21，ïî0.512qq212ìï0q1，í22q1 2 .答案C3設某項試驗的成功率是失敗率的 2 倍，用隨機變量 X 去描述 1 次試驗的成功次數(shù)，則 P(X0)等于112A0B.2C.3D.3(   )解析由已知得 X 的所有可能取值為 0,1，且 P(X1)2P(X0)，1由 P(X1)P(X0)1，得 P(X0)3.答案C4在 15 個村莊有 7 個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選 10 個村莊，用 X 表示這10 個村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率中等于 C10 的是8C47C615(   )AP(X2)CP(X4)BP(X2)DP(X4)解析  X 服從超幾何分布，故 P(Xk)C10，k4.n(n1)k8C7C10k15答案Ca5隨機變量 X 的概率分布規(guī)律為 P(Xn)(n1,2,3,4)，其中 a 是常數(shù)，則 Pç2<X<2÷的值為æ15öèø(   )2A.34C.5解析因為 P(Xn)an(n1)3B.45D.6(n1,2,3,4)，所以    a1×2 2×3 3×4 4×5aç12233445÷5a. 5 1，則 a4.則 Pç2<X<2÷P(X1)P(X2)263a6.aaaæ1111111ö4èø4a5æ15öaa25èø答案D二、填空題6(2014· 西安質檢)已知隨機變量 X 只能取三個值 x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則公差 d 的取值范圍是_解析設 X 取 x1，x2，x3 時的概率分別為 ad，a，ad，1則(ad)a(ad)1，a3，ïî1d0，由ìï1d0，í331     1得3d3.答案  ê3，3ú又 P(X3)C310，P(X4)C310，P(X5)C35.é11ùëû7設隨機變量 X 等可能取值 1,2,3，n，如果 P(X<4)0.3，那么 n_.解析由于隨機變量 X 等可能取 1,2,3，n.1所以取到每個數(shù)的概率均為n.3P(X<4)P(X1)P(X2)P(X3)n0.3，n10.答案108口袋中有 5 只球，編號為 1,2,3,4,5，從中任意取 3 只球，以 X 表示取出的球的最大號碼，則 X 的分布列為_解析X 的取值為 3,4,5.211C33C243555隨機變量 X 的分布列為XP30.140.350.6答案XP30.140.350.6三、解答題9(2014· 長沙調研)某商店試銷某種商品 20 天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)頻數(shù)01152935試銷結束后 (假設該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變 )，設某天開始營業(yè)時有該商品 3 件，當天營業(yè)結束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于 2 件，則當天進貨補充至 3 件，否則不進貨，將頻率視為概率(1)求當天商店不進貨的概率；(2)記 X 為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求 X 的分布列解(1)P(當天商店不進貨)153P(當天商品銷售量為 0 件)P(當天商品銷售量為 1 件)202010.(2)由題意知，X 的可能取值為 2,3.51P(X2)P(當天商品銷售量為 1 件)204；P(X3)P(當天商品銷售量為 0 件)P(當天商品銷售量為 2 件)P(當天商1953品銷售量為 3 件)2020204.所以 X 的分布列為XP21433410.(2013· 重慶卷)某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定：在一次摸獎中，摸獎者先從裝有 3 個紅球與 4 個白球的袋中任意摸出 3 個球，再從裝有 1 個藍球與 2 個白球的袋中任意摸出 1 個球根據(jù)摸出 4 個球中紅球與藍球的個數(shù)，設一、二、三等獎如下：獎級摸出紅、藍球個數(shù)  獲獎金額一等獎二等獎三等獎3 紅 1 藍3 紅 0 藍2 紅 1 藍200 元50 元10 元其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級(1)求一次摸獎恰好摸到 1 個紅球的概率；(2)求摸獎者在一次摸獎中獲獎金額 X 的分布列與數(shù)學期望 E(X)C31C42(1)恰好摸到 1 個紅球的概率為 P(A1)  C3  35.P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1)C3· 3105；P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0)C3· 3105，P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)  C3  · 335，解設 Ai(i0,1,2,3)表示摸到 i 個紅球，Bj(j0,1)表示摸到 j 個藍球，則 Ai與 Bj 獨立187(2)X 的所有可能值為：0,10,50,200，且C3 117C3 22721C3C4 1471246P(X0)1105105357.綜上知，獲獎金額 X 的分布列為XP0671043550210520011056421從而有 E(X)0×710×3550×105200×1054(元)能力提升題組(建議用時：25 分鐘)一、選擇題1(2014· 蘭州模擬)從 4 名男生和 2 名女生中任選 3 人參加演講比賽，設隨機變量 X 表示所選 3 人中女生的人數(shù)，則 P(X1)等于(   )1A.53C.52B.54D.5C41C22解  P(X1)1P(X2)1  C3  5.46答案D2設隨機變量 X 的概率分布列如下表所示：X012P   a   1316F(x)P(Xx)，則當 x 的取值范圍是1,2)時，F(xiàn)(x)等于(   )1A.31C.21B.65D.6111解a361，a2.x1,2)，115F(x)P(Xx)236.答案D二、填空題3(2014· 青島調研)為質檢某產(chǎn)品的質量，現(xiàn)抽取 5 件，測量產(chǎn)品中微量元素 x，y 的含量(單位：毫克)，測量數(shù)據(jù)如下：編號xy116975217880316677417570518081P(X0)C20.3，如果產(chǎn)品中的微量元素 x，y 滿足 x175 且 y75 時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品現(xiàn)從上述 5 件產(chǎn)品中，隨機抽取 2 件，則抽取的 2 件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù) X 的分布列為_解析5 件抽測品中有 2 件優(yōu)等品，則 X 的可能取值為 0,1,2.2C35C31·C12C52P(X1)0.6，P(X2)C20.1.C25優(yōu)等品數(shù) X 的分布列為XP00.310.620.1答案XP00.310.620.1三、解答題4(2014· 廣州質檢)某班 50 位學生期中考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100C96           C1· C1P(X0)C2 11，P(X1)  C2   22，C32P(X2)C2 22.(1)求圖中 x 的值；(2)從成績不低于 80 分的學生中隨機選取 2 人，該 2 人中成績在 90 分以上(含90 分)的人數(shù)記為 X，求 X 的分布列與數(shù)學期望解(1)由頻率分布直方圖知 (0.006×30.01x0.054)×101，解得 x0.018.(2)由頻率分布直方圖知成績不低于 80 分的學生人數(shù)為(0.018  0.006)×10×50  12 ， 成 績 在 90 分 以 上 ( 含 90 分 ) 的 人 數(shù) 為0.006×10×503.因此 X 可能取 0,1,2 三個值91212112X 的分布列為XP0611192221226911故 E(X)0×111×222×222.學生用書第 191 頁