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1、 唯思達——唯有思索才能通達！ 教師講義 專題一 牛吃草問題趣談 牛吃草問題是經(jīng)典的奧數(shù)題型之一，這里我只介紹一些比較淺顯的牛吃草問題，給大家開拓一下思維，首先，先介紹一下這類問題的背景，大家看知識要點 知識要點 一、定義 偉大的科學(xué)家牛頓著的《普通算術(shù)》一書中有這樣一道題：“12頭牛4周吃牧草3格爾，同樣的牧草，21頭牛9周吃10格爾。問24格爾牧草多少牛吃18周吃完。”（格爾——牧場面積單位），以后人們稱這類問題為“牛頓問題”的牛吃草問題。 這類問題難在哪呢？大家看看它的特點 二、特點

2、在“牛吃草”問題中，因為草每天都在生長，草的數(shù)量在不斷變化，也就是說這類問題的工作總量是不固定的，一直在均勻變化。 難嗎？難什么啊，一點都不難，只要掌握了方法，以后這樣的題就都會了，來，看看這例題 典例評析 例1 牧場上長滿牧草，每天都勻速生長。這片牧場可供27頭牛吃6天或23頭牛吃9天。問可供21頭牛吃幾天？ 【分析】這片牧場上的牧草的數(shù)量每天在變化。解題的關(guān)鍵應(yīng)找到不變量——即原來的牧草數(shù)量。因為總草量可以分成兩部分：原有的草與新長出的草。新長出的草雖然在變，但應(yīng)注意到它是勻速生長的，因而這片牧場每天新長出飛草的數(shù)量也是不變的。 從這道題我們看到，草每天在長，牛每天在吃，都是在變

3、化的，但是也有不變的，都是什么不變??？草是以勻速生長的，也就是說每天長的草是不變的;，同樣，每天牛吃草的量也是不變的，對吧？這就是我們解題的關(guān)鍵。這里因為未知數(shù)很多，我教大家一種巧妙的設(shè)未知數(shù)的方法，叫做設(shè)“1”法。我們設(shè)牛每天吃草的數(shù)量為1份，具體1份是多少我們不知道，也不用管它，設(shè)草每天增長的數(shù)量是a份，設(shè)原來的草的數(shù)量為b份，那么我們可以列方程了：27*6=b+6a；23*9=b+9a 【思考1】一片草地，每天都勻速長出青草，如果可供24頭牛吃6天，或20頭牛吃10天，那么可供18頭牛吃幾天？ 15天．設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。則每天新生的草量是（20×10-24×6）÷ (10-

4、6)=14份，原來的草量是（24-14）×6=60份。可供18頭牛吃60÷（18-14）=15天 例2 因天氣寒冷，牧場上的草不僅不生長，反而每天以均勻的速度在減少。已知牧場上的草可供33頭牛吃5天，可供24頭牛吃6天，照此計算，這個牧場可供多少頭牛吃10天? 【分析】與例1不同的是，不但沒有新長出的草，而且原有的草還在勻速減少，但是，我們同樣可以用類似的方法求出每天減少的草量和原來的草的總量 【思考2】由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天以固定的速度在減少，經(jīng)計算，牧場上的草可供20頭牛 吃5天，或可供16頭牛吃6天。那么，可供11頭牛吃幾天？ 8天，設(shè)一頭牛一天吃的草量為一份。牧場每天

5、減少的草量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4份，原來的草量：（20+4）× 5=120份，可供11頭牛吃120÷(11+4)=8天。 總結(jié)：想辦法從變化中找到不變的量。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，但是因為是勻速生長，所以每天新長出的草量也是不變的。正確計算草地上原有的草及每天新長出的草，問題就會迎刃而解。 知識衍變 牛吃草基本問題就先介紹到這，希望大家掌握這種方法，以后出現(xiàn)樣吃草問題，驢吃草問題也知道怎么做，甚至，以下這些問題都可以應(yīng)用牛吃草問題解決方法 例3 自動扶梯以均勻速度由下往上行駛，小明和小麗從扶梯上樓，已知小明每分鐘走25級臺階，小麗每分鐘走20級臺

6、階，結(jié)果小明用了5分鐘，小麗用了6分鐘分別到達樓上。該扶梯共有多少級臺階？ 【分析】在這道題中，“總的草量”變成了“扶梯的臺階總級數(shù)”，“草”變成了“臺階”，“?！弊兂闪恕八俣取?所以也可以看成是“牛吃草”問題來解答。 【思考3】兩只蝸牛同時從一口井的井頂爬向井底。白天往下爬，兩只蝸牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑，兩只蝸?；械乃俣葏s是相同的，結(jié)果一只蝸牛恰好用了5個晝夜到達井底，另一只恰好用了6個晝夜到達井底。那么，井深多少米？ 大家說這里什么是牛？什么是草？都什么是不變的？ 15米。 蝸牛每夜下降：（20×5-15×6）÷（6-5）

7、=10分米 所以井深：（20+10）×5=150分米=15米 例4 一條船有一個漏洞，水以均勻的速度漏進船內(nèi)，待發(fā)現(xiàn)時船艙內(nèi)已進了一些水。如果用12人舀水，3小時舀完。如果只有5個人舀水，要10小時才能舀完?，F(xiàn)在要想在2小時舀完，需要多少人？ 【分析】典型的“牛吃草”問題，找出“牛”和“草”是解題的關(guān)鍵 【思考4】一個水池，池底有泉水不斷涌出，用10部抽水機20小時可以把水抽干，用15部相同的抽水機10小時可把水抽干。那么用25部這樣的抽水機多少小時可以把水抽干？ 5小時。設(shè)一臺抽水機一小時抽水一份。則每小時涌出的水量是：（20×10-15×10）÷(20-10)=5份，池內(nèi)原有的水

8、是：（10-5）×20=100份.所以,用25部抽水機需要:100÷(25-5)=5小時 思維拓展 例5 有一牧場長滿牧草，牧草每天勻速生長，這個牧場可供17頭牛吃30天，可供19頭牛吃24天，現(xiàn)在有若干頭牛在吃草，6天后，4頭牛死亡，余下的牛吃了2天將草吃完，問原來有牛多少頭？ 【分析】“牛吃草”問題的特點是隨時間的增長，所研究的量也等量地增加。解答時，要抓住這個關(guān)鍵問題，也就是要求出原來的量和每天增加的量各是多少。 【思考5】一個牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供27頭牛吃6天，或供23頭牛吃9天，現(xiàn)有一群牛吃了4天后賣掉2頭，余下的牛又吃了4天將草吃完。這群牛原來有多少頭？

9、 25頭。設(shè)每頭牛每天的吃草量為1份。每天新生的草量為：（23×9-27×6）÷（20-10）=15份，原有的草量為（27-15）×6=72份。如兩頭牛不賣掉，這群牛在4+4=8天內(nèi)吃草量72+15×8+2×4=200份。所以這群牛原來有200÷8=25頭 例6 有三塊草地，面積分別為5公頃，6公頃和8公頃。每塊地每公頃的草量相同而且長的一樣快，第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。第三塊草地可供19頭牛吃多少天？ 【分析】由題目可知，這是三塊面積不同的草地，為了解決這個問題，首先要將這三塊草地的面積統(tǒng)一起來。 鞏固練習(xí) 1.一塊牧場長滿了草，每天均勻生長。

10、這塊牧場的草可供10頭牛吃40天，供15頭牛吃20天?？晒?5頭牛吃＿＿天。 （ ） A. 10 B. 5 C. 20 A 假設(shè)1頭牛1天吃草的量為1份。每天新生的草量為：(10×40-15×20)÷（40-20）=5（份）。那么愿草量為：10×40-40×5=200（份），安排5頭牛專門吃每天新長出來的草，這塊牧場可供25頭牛吃：200÷（25-5）=10（天）。 2.一塊草地上的草以均勻的速度生長，如果20只羊5天可以將草地上的草和新長出的草全部吃光，而14只羊則要10天吃光。那么想用4天的時間，把這塊草地的草吃

11、光，需要＿＿只羊。 （ ） A. 22 B. 23 C. 24 B假設(shè)1只羊1天吃草的量為1份。每天新生草量是：（14×10-20×5）÷（10-5）=8（份）原草量是：20×5-8×5＝60（份）安排8只羊?qū)ｉT吃每天新長出來的草，4天時間吃光這塊草地共需羊：60÷4+8＝23（只） 3．畫展9時開門，但早有人來排隊等候入場。從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多。如果開3個入場口，9點9分就不再有人排隊了，那么第一個觀眾到達的時間是8點＿＿分。

12、 （ ） A. 10 B. 12 C. 15 C假設(shè)每個人口每分鐘進入的觀眾量是1份。 每分鐘來的觀眾人數(shù)為（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5（份） 到9時止，已來的觀眾人數(shù)為：3×9-0.5×9＝22.5（份） 第一個觀眾來到時比9時提前了：22.5÷0.5＝45（分） 所以第一個觀眾到達的時間是9時-45分=8時15分。 4. 經(jīng)測算，地球上的資源可供100億人生活100年，或 可供80億人生活300年。假設(shè)地球新生成的資源增長速度是一樣的。那么，為了滿足人類不斷發(fā)展的要求，地球最多只能養(yǎng)活（

13、 ）億人。 70 設(shè)1億人1年所消耗的資源為1份 那么地球上每年新生成的資源量為：（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份） 只有當(dāng)?shù)厍蛎磕晷律Y源不少于消耗點的資源時，地球上的資源才不至于逐漸減少，才能滿足人類不斷發(fā)展的需要。所以地球最多只能養(yǎng)活：70÷1=70（億人） 5. 快、中、慢三車同時從A地出發(fā)，追趕一輛正在行駛的自行車。三車的速度分別是每小時24千米、20千米、19千米?？燔囎飞献孕熊囉昧?小時，中車追上自行車用了10小時，慢車追上自行車用（ ）小時。 12 自行車的速度是：（20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米/小時）

14、 三車出發(fā)時自行車距A地：（24-14）×6==60（千米） 慢車追上自行車所用的時間為：60÷（19-14）=12（小時） 6. 一水池中原有一些水，裝有一根進水管，若干根抽水管。進水管不斷進水，若用24根抽水管抽水，6小時可以把池中的水抽干，那么用16根抽水管，（ ）小時可將可將水池中的水抽干。 18 設(shè)1根抽水管每小時抽水量為1份。 （1）進水管每小時卸貨量是：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份） （2）水池中原有的水量為：21×8-12×8＝72（份） （3）16根抽水管，要將水池中的水全部抽干需：72÷（16-12）=18（小時） 7. 某碼頭

15、剖不斷有貨輪卸下貨物，又不斷用汽車把貨物運走，如用9輛汽車，12小時可以把它們運完，如果用8輛汽車，16小時可以把它們運完。如果開始只用3輛汽車，10小時后增加若干輛，再過4小時也能運完，那么后來增加的汽車是（ ）輛。 19 設(shè)每兩汽車每小時運的貨物為1份。 （1）進水管每小時的進水量為：（8×16-9×12）÷（16-12）=5（份） （2）碼頭原有貨物量是：9×12-12×5＝48（份） （3）3輛汽車運10小時后還有貨物量是：48+（5-3）×10=68（份） （4）后來增加的汽車輛數(shù)是：（68+4×5）÷4-3=19（輛） 8．有一片草地，每天都在勻速生長，這片

16、草可供16頭牛吃20天，可供80只羊吃12天。如果一頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天？ 8天 （1）按牛的吃草量來計算，80只羊相當(dāng)于80÷4=20（頭）牛。 （2）設(shè)1頭牛1天的吃草量為1份。 （3）先求出這片草地每天新生長的草量：（16×20-20×12）÷（20-12）=10（份） （4）再求出草地上原有的草量：16×20-10×20＝120（份） （5）最后求出10頭牛與60只羊一起吃的天數(shù)：120÷（10+60÷4-10）=8（天） 9. 某水庫建有10個泄洪閘，現(xiàn)在水庫的水位已經(jīng)超過安全警戒線，上游的河水還在按一不變的速度增加

17、。為了防洪，需開閘泄洪。假設(shè)每個閘門泄洪的速度相同，經(jīng)測算，若打開一個泄洪閘，30小時水位降到安全線，若打開兩個泄洪閘，10小時水位降到安全線。現(xiàn)在抗洪指揮部要求在5.5小時內(nèi)使水位降到安全線，問：至少要同時打開幾個閘門？ 4個 設(shè)1個泄洪閘1小時的泄水量為1份。 （1）水庫中每小時增加的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份） （2）水庫中原有的超過安全線的水量為：1×30-0.5×30＝15（份） （3）在5.5小時內(nèi)共要泄出的水量是：15+0.5×5.5＝17.75（份） （4）至少要開的閘門個數(shù)為：17.75÷5.5≈4（個）（采用“進1”法取值） 10. 現(xiàn)有速度不變的甲、乙兩車，如果甲車以現(xiàn)在速度的2倍去追乙車，5小時后能追上，如果甲車以現(xiàn)在的速度去追乙車，3小時后能追上。那么甲車以現(xiàn)在的速度去追，幾小時后能追上乙車？ 15小時 設(shè)甲車現(xiàn)在的速度為每小時行單位“1”，那么乙車的速度為： （2×5-3×3）÷（5-3）=0.5 乙車原來與甲車的距離為： 2×5-0.5×5＝7.5 所以甲車以現(xiàn)在的速度去追，追及的時間為： 7.5÷（1-0.5）=15（小時） 小學(xué)六年級奧數(shù) 第 - 4 - 頁 共 4 頁