專題突破練 16空間中的垂直與幾何體的體積11.(2018 江蘇卷,15)在平行六面體 ABCD-A B1C1D1 中,AA1=AB,AB1B1C1.求證:(1)AB平面 A1B1C;(2)平面 ABB1A1平面 A1BC.2.如圖,四面體 ABCD 中ABC 是正三角形,AD=CD.(1)證明:ACBD;(2)已知ACD 是直角三角形,AB=BD,若 E 為棱 BD 上與 D 不重合的點(diǎn),且 AEEC,求四面體ABCE 與四面體 ACDE 的體積比.3.(2018 江 西 南 昌 三 模 , 文 18) 如 圖 , 多 面 體 ABCDEF 中 , 四 邊 形 ABCD 為 正 方形,AB=2,AE=3,DE=,EF=,cosCDE=,且 EFBD.(1)證明:平面 ABCD平面 EDC;(2)求三棱錐 A-EFC 的體積.4.如圖,菱形 ABCD 的對(duì)角線 AC 與 BD 交于點(diǎn) O,點(diǎn) E,F 分別在 AD,CD 上,AE=CF,EF 交 BD 于點(diǎn)將DEF 沿 EF 折到D'EF 的位置.(1)證明:ACHD'(2)若 AB=5,AC=6,AE= ,OD'=2,求五棱錐 D'-ABCFE的體積.25.(2018 河南鄭州三模,文 19)如圖,四棱錐 E-ABCD中,ADBC,AD=AB=AE= BC=1,且 BC底面ABE,M 為棱 CE 的中點(diǎn),(1)求證:直線 DM平面 CBE;(2)當(dāng)四面體 D-ABE 的體積最大時(shí),求四棱錐 E-ABCD 的體積.6.如圖,在三棱臺(tái) ABC-DEF中,平面 BCFE平面 ABC,ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求證:BF平面 ACFD;(2)求直線 BD 與平面 ACFD 所成角的余弦值.7.(2018 全國卷 3,文 19)如圖,矩形 ABCD 所在平面與半圓弧 所在平面垂直,M 是 上異于C,D 的點(diǎn).3(1)證明:平面 AMD平面 BMC;(2)在線段 AM 上是否存在點(diǎn) P,使得 MC平面 PBD?說明理由.8.如圖(1),在直角梯形 ABCD 中,ADBC,ABC=90°,AB=BC=2,AD=6,CEAD 于點(diǎn) E把DEC沿 CE 折到D'EC 的位置,使 D'A=2,如圖(2).若 G,H 分別為 D'B,D'E 的中點(diǎn).(1)求證:GHD'A;(2)求三棱錐 C-D'BE 的體積.4參考答案專題突破練 16空間中的垂直與幾何體的體積11.證明 (1)在平行六面體 ABCD-A B1C1D1 中,ABA1B1.因?yàn)?#160;AB 平面 A1B1C,A1B1 平面 A1B1C,所以 AB平面 A1B1C.1(2)在平行六面體 ABCD-A B1C1D1 中,四邊形 ABB1A1 為平行四邊形.又因?yàn)?#160;AA1=AB,所以四邊形 ABB1A1 為菱形,因此 AB1A1B.又因?yàn)?#160;AB1B1C1,BCB1C1,所以 AB1BC.又因?yàn)?#160;A1BBC=B,A1B 平面 A1BC,BC 平面 A1BC,所以 AB1平面 A1BC.因?yàn)?#160;AB1 平面 ABB1A1,所以平面 ABB1A1平面 A1BC.2.(1)證明 取 AC 的中點(diǎn) O,連接 DO,BO.因?yàn)?#160;AD=CD,所以 ACDO.又由于ABC 是正三角形,所以 ACBO.從而 AC平面 DOB,故 ACBD.(2)解 連接 EO.由(1)及題設(shè)知ADC=90°,所以 DO=AO.在 AOB 中,BO2+AO2=AB2.又 AB=BD,所以 BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90°.5由題設(shè)知AEC 為直角三角形,所以 EO= AC.又ABC 是正三角形,且 AB=BD,所以 EO= BD.故 E 為 BD 的中點(diǎn),從而 E 到平面 ABC 的距離為 D 到平面 ABC 的距離的 ,四面體 ABCE 的體積為四面體 ABCD 的體積的 ,即四面體 ABCE 與四面體 ACDE 的體積之比為 11.3.(1) 證明 AB=2,AE=3,DE=, 由勾股定理得AD DE.又正方形 ABCD 中 AD DC, 且DEDC=D,AD平面 EDC.AD 面 ABCD,平面 ABCD平面 EDC.(2)解 由已知 cosCDE=,連接 AC 交 BD 于 G.作 OECD 于 O,則 OD=DE·cosCDE=1,OE=2.又由(1)知,平面 ABCD平面 EDC,平面 ABCD平面 EDC=CD,OE 平面 EDC,得 OE面 ABCD.由 EFBD,EF=,知四邊形 DEFG 為平行四邊形,即 DEFG,而 VA-EFC=VE-AFC,進(jìn)而 VA-EFC=VE-AFC=VD-AFC=VF-ADC.又由 EFBD,VF-ADC=VE-ADC=×2×2×2= ,所以,三棱錐 A-EFC 的體積為 .4.(1)證明 由已知得 ACBD,AD=CD.又由 AE=CF 得,故 ACEF.由此得 EFHD,EFHD',所以 ACHD'.6(2)解 由 EFAC 得.由 AB=5,AC=6 得 DO=BO=4.所以 OH=1,D'H=DH=3.于是 OD'2+OH2=(2)2+12=9=D'H2,故 OD'OH.由(1)知 ACHD',又 ACBD,BDHD'=H,所以 AC平面 BHD',于是 ACOD'.又由 OD'OH,ACOH=O,所以,OD'平面 ABC.又由得 EF= .五邊形 ABCFE 的面積 S= ×6×8-×3=.所以五棱錐 D'-ABCFE的體積 V=×2.5.解 (1)AE=AB,設(shè) N 為 EB 的中點(diǎn),ANEB.又 BC平面 AEB,AN 平面 AEB,BCAN.又 BCBE=B,AN平面 BCE.MNBC,MN= BC,AD MN.四邊形 ANMD 為平行四邊形,DMAN,DM平面 CBE.(2)設(shè)EAB= ,AD=AB=AE=1,且 AD底面 ABE,則四面體 D-ABE 的體積 V=×AE·AB·sin  ·AD= sin  ,當(dāng)  =90°,即 AEAB 時(shí)體積最大.又 BC平面 AEB,AE 平面 AEB,AEBC,BCAB=B,AE平面 ABC,=VE-ABCD×(1+2)×1×1= .6.(1)證明 延長 AD,BE,CF 相交于一點(diǎn) K,如圖所示.7因?yàn)槠矫?#160;BCFE平面 ABC,且 ACBC,所以 AC平面 BCK,因此 BFAC.又因?yàn)?#160;EFBC,BE=EF=FC=1,BC=所以BCK 為等邊三角形,且 F 為 CK 的中點(diǎn),則 BFCK.所以 BF平面 ACFD.(2)解 因?yàn)?#160;BF平面 ACK,所以BDF 是直線 BD 與平面 ACFD 所成的角.在 BFD 中,BF=,DF= ,得 cosBDF=,所以直線 BD 與平面 ACFD 所成角的余弦值為.7.解 (1)由題設(shè)知,平面 CMD平面 ABCD,交線為 CD.因?yàn)?#160;BCCD,BC 平面 ABCD,所以 BC平面 CMD,故 BCDM.因?yàn)?#160;M 為上異于 C,D 的點(diǎn),且 DC 為直徑,所以 DMCM.又 BCCM=C,所以 DM平面 BMC.而 DM 平面 AMD,故平面 AMD平面 BMC.(2)當(dāng) P 為 AM 的中點(diǎn)時(shí),MC平面 PBD.證明如下:連接 AC 交 BD 于 O.因?yàn)?#160;ABCD 為矩形,所以 O 為 AC 中點(diǎn).連接 OP,因?yàn)?#160;P 為 AM 中點(diǎn),所以 MCOP.MC 平面 PBD,OP 平面 PBD,所以 MC平面 PBD.8.(1)證明 連接 BE,GH,AC在AED'中,ED'2=AE2+AD'2,可得 AD'AE.又 DC=2,AC=2,可得 AC2+AD'2=CD'2,可得 AD'AC.8因?yàn)?#160;AEAC=A,所以 AD'平面 ABCE,所以 AD'BE.又 G,H 分別為 D'B,D'E 的中點(diǎn),所以 GHBE,所以 GHD'A.(2)解 設(shè)三棱錐 C-D'BE 的體積為 V,則 V=  BCE·AD'=×2×2×2.9