第 2 課時線性規(guī)劃的實際應(yīng)用學(xué)習(xí)目標：理解并初步運用線性規(guī)劃的圖解法解決一些實際問題(重點、難點)自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知應(yīng)用線性規(guī)劃解決實際問題的類型ïîx0，思考：一家銀行的信貸部計劃年初投入 25 000 000 元用于企業(yè)投資和個人貸款，希望這筆資金至少可帶來 30 000 元的收益，其中從企業(yè)貸款中獲益 12%，從個人貸款中獲益 10%，假設(shè)信貸部用于企業(yè)投資的資金為 x 元，用于個人貸款的資金為 y 元那么 x 和 y 應(yīng)滿足哪些不等關(guān)系？提示分析題意，我們可得到以下式子ìïxy25 000 000，í12x10y3 000 000，y0.基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)將目標函數(shù)的直線平行移動，最先通過或最后通過的頂點便是最優(yōu)解()(2)當線性目標函數(shù)的直線與可行域的某條邊平行時，最優(yōu)解可能有無數(shù)個()答案(1)(2)ìïx4y3，2已知目標函數(shù) z2xy，且變量 x，y 滿足約束條件í3x5y<25，ïîx1，則(   )Azmax12，zmin3Bzmax12，無最小值Czmin3，無最大值Dz 既無最大值又無最小值D畫出可行域如圖所示，z2xy 即 y2xz 在平移過程中的縱截距 z 既無最大值也無最小值- 1 -ïî50x40y2  0003完成一項裝修工程，請木工需付工資每人每天 50 元，請瓦工需付工資每人每天 40 元現(xiàn)有工人工資預(yù)算每天 2 000 元，設(shè)請木工 x 人，請瓦工 y 人，則請工人的約束條件是_ìïx，yN*í4某旅行社租用 A，B 兩種型號的客車安排 900 名客人旅行，A，B 兩種車輛的載客量分別為36 人和 60 人，租金分別為 1 600 元/輛和 2 400 元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過 21 輛，且 B 型車不多于 A 型車 7 輛，則租金最少為_元.【導(dǎo)學(xué)號：91432334】36 800設(shè)租用 A 型車 x 輛，B 型車 y 輛，租金為 z 元，ïîyx21，則ìï36x60y900，íyx7，x，yN，乙投資的  倍，且對每個項目的投資不能低于 5 萬元設(shè)投資甲、乙兩個項目的資金分別為 x、yí3畫出可行域(如圖中陰影部分內(nèi)的整點)，則目標函數(shù) z1 600x2 400y 在點(5,12)處取得最小值 zmin36 800 元合 作 探 究·攻 重 難線性規(guī)劃的實際應(yīng)用問題探究問題1某公司有 60 萬元資金，計劃投資甲、乙兩個項目，按要求對項目甲的投資不小于對項目23萬元，那么 x、y 應(yīng)滿足什么條件？2ìïxy60，x y，提示：ïîx5，y5.2若公司對項目甲每投資 1 萬元可獲得 0.4 萬元的利潤，對項目乙每投資 1 萬元可獲得 0.6萬元的利潤，設(shè)該公司所獲利潤為 z 萬元，那么 z 與 x，y 有何關(guān)系？- 2 -提示：根據(jù)公司所獲利潤投資項目甲獲得的利潤投資項目乙獲得的利潤，可得z 與 x，y的關(guān)系為 z0.4x0.6y.3x，y 應(yīng)在什么條件下取值，x，y 取值對利潤 z 有無影響？í32ìïxy60，x y，提示：x，y 必須在線性約束條件ïîx5，y5下取值x，y 取不同的值，直接影ïîx0，y0，響 z 的取值某家具廠有方木料 90 m3，五合板 600 m2，準備加工成書桌和書櫥出售已知生產(chǎn)每張書桌需要木料 0.1 m3，五合板 2 m2，生產(chǎn)每個書櫥需要木料 0.2 m3，五合板 1 m2，出售一張書桌可獲利潤 80 元，出售一個書櫥可獲利潤 120 元. 怎樣安排生產(chǎn)可使所獲利潤最大.【導(dǎo)學(xué)號：91432335】思路探究：可先設(shè)出變量，建立目標函數(shù)和約束條件，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題來求解解設(shè)生產(chǎn)書桌 x 張，生產(chǎn)書櫥 y 個，利潤為 z 元，則目標函數(shù)為 z80x120y，根據(jù)題意知，ìï0.1x0.2y90，約束條件為í2xy600，xN，yN，ïîx0，y0，即ìïx2y900，í2xy600，xN，yN，畫出可行域如圖所示，作直線 l：80x120y0，并平移直線 l，由圖可知，當直線 l 過點 C 時，z 取得最大值，解ïî2xy600，ìïx2y900，í得 C(100,400)，所以 zmax80×100120×40056 000，即生產(chǎn) 100 張書桌，400 個書櫥，可獲得最大利潤母題探究：(變結(jié)論)例題中的條件不變，如果只安排生產(chǎn)書桌可獲利潤多少？如果只安排生- 3 -產(chǎn)書櫥呢？解(1)若只生產(chǎn)書桌，則 y0，此時目標函數(shù) z80x，由圖可知 zmax80×30024 000，即只生產(chǎn)書桌，可獲利潤 24 000 元(2)若只生產(chǎn)書櫥，則 x0，此時目標函數(shù) z120y，由圖可知 zmax120×45054 000，即只生產(chǎn)書櫥，可獲利潤 54 000 元規(guī)律方法解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟(1)審題仔細閱讀，對關(guān)鍵部分進行“精讀”，準確理解題意，明確有哪些限制條件，起關(guān)鍵作用的變量有哪些.由于線性規(guī)劃應(yīng)用題中的變量比較多，為了理順題目中量與量之間的關(guān)系，有時可借助表格來理順.(2)轉(zhuǎn)化設(shè)元.寫出約束條件和目標函數(shù)，從而將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的線性規(guī)劃問題.(3)求解解這個純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問題.(40)作答就應(yīng)用題提出的問題作出回答.線性規(guī)劃中的最優(yōu)整數(shù)解問題某運輸公司有 7 輛載重量為 6 噸的 A 型卡車，4 輛載重量為 10 噸的 B 型卡車，有 9 名駕駛員在建筑某段高速公路的工程中，此公司承包了每天運送360 噸瀝青的任務(wù)已知每輛卡車每天往返次數(shù)為：A 型車 8 次，B 型車 6 次，每輛卡車往返一次的成本費為：A 型車 160 元，B 型車 280 元每天派出 A 型車與 B 型車各多少輛時，公司花的成本費最低？思路探究：本題的線性約束條件及目標函數(shù)分別是什么？根據(jù)實際問題的需要，該題是否為整點問題？B解設(shè)公司每天所花成本費為 z 元，每天派出 A 型車 x 輛， 型車 y 輛，則 z160x280y,ìx7，xyïy49，x，y 滿足的約束條件為í48x60y360，ïx0，îy0，xN，yN，作出不等式組的可行域，如圖- 4 -作直線 l：160x280y0，即 l：4x7y0.將 l 向右上方移至 l1 位置時，直線 l1 經(jīng)過可行域上的 M 點，且此時直線與原點的距離最近，z 取得最小值ìï48x60y360由方程組íîïx7，ìïx7解得íîïy0.4.但 y0.4 不是整數(shù)，故取 x7，y1，此時 z 取得最小值所以，當每天派出 A 型車 7 輛、B 型車 1 輛時，公司所花費用最低規(guī)律方法尋找整點最優(yōu)解的三種方法(1)平移找解法：先打網(wǎng)格，描整點，平移直線 l，最先經(jīng)過或最后經(jīng)過的整點便是最優(yōu)整點解， 這種方法應(yīng)充分利用整點最優(yōu)解的信息，結(jié)合精確的作圖才行，當可行域是有限區(qū)域且整點個數(shù)又較少時，可逐個將整點坐標代入目標函數(shù)求值，經(jīng)比較求最優(yōu)解.(2)小范圍搜尋法：即在求出的非整點最優(yōu)解附近的整點都求出來，代入目標函數(shù)，直接求出目標函數(shù)的最大(小)值.(3)調(diào)整優(yōu)值法：先求非整點最優(yōu)解及最優(yōu)值，再調(diào)整最優(yōu)值，最后篩選出整點最優(yōu)解.跟蹤訓(xùn)練某廠有一批長為 18 m 的條形鋼板，可以割成 1.8 m 和 1.5 m 長的零件它們的加工費分別為每個 1 元和 0.6 元售價分別為 20 元和 15 元，總加工費要求不超過 8 元問如何下料能獲得最大利潤.【導(dǎo)學(xué)號：91432336】解設(shè)割成的 1.8m 和 1.5 m 長的零件分別為 x 個、y 個，利潤為 z 元，則 z20x15y(x0.6y)即 z19x14.4yìï1.8x1.5y18，且íx0.6y8，ïîx，yN，- 5 -20    60       æ2060ö解出 x，y，所以 Mç，   ÷，æ2060öMç，   ÷附近的點(1,10)，(2,9)，ìï1.8x1.5y18，作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖，又由íîïx0.6y8，77è 77 ø因為 x，y 為自然數(shù)，在可行域內(nèi)找出與 M 最近的點為(3,8)，此時 z19×314.4×8172.2(元)又可行域的另一頂點是(0,12)，z19×014.4×12172.8(元)：過頂點(8,0)的直線使 z19×814.4×0152(元)è 77 ø直線 z19x14.4y 過點(1,10)時，z163；過點(2,9)時 z167.6.所以當 x0，y12 時，z172.8 元為最大值答：只截 1.5 m 長的零件 12 個，可獲得最大利潤當 堂 達 標·固 雙 基1某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每千克需用原料 A 和原料 B 分別為 a1，a2 千克，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每千克需用原料 A 和原料 B 分別為 b1，b2 千克，甲，乙產(chǎn)品每千克可獲利潤分別為 d1，d2 元，月初一次性購進原料 A，B 分別為 c1，c2 千克，要計劃本月生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品各多少千克才能使月利潤總額達到最大？在這個問題中，設(shè)全月生產(chǎn)甲，乙兩種產(chǎn)品分別為 x，y 千克，月利潤總額為 z 元，那么，用于求使總利潤 zd1xd2y 最大的數(shù)學(xué)模型中，約束條件為_ìïa xb yc ，ïîx0，111ía2xb2yc2，y0 由題設(shè)和本題的限制條件可得，另外容易遺漏的限制條件是x0，y0.2一農(nóng)民有基本農(nóng)田 2 畝，根據(jù)往年經(jīng)驗，若種水稻，則每季每畝產(chǎn)量為 400 公斤；若種花生，則每季每畝產(chǎn)量為 100 公斤，但水稻成本較高，每季每畝 240 元，而花生只需 80 元，且花生每公斤賣 5 元，稻米每公斤賣 3 元，現(xiàn)該農(nóng)民手頭有 400 元，那么獲得最大收益為_元.【導(dǎo)學(xué)號：91432337】ïîx0，ìïxy2，1 50設(shè)該農(nóng)民種 x 畝水稻，y 畝花生時能獲得利潤 z 元，則í240x80y400，y0，即- 6 -ïîx0，ìïxy2，í3xy5，y0，z960x420y，將目標函數(shù)變形為 yx  ，作出直線 yx，在可行域內(nèi)平移直線 yx，可知當直線過點 B 時，z 有最大值，作出可行域如圖陰影部分所示，16z1674207167解得 Bç  ， ÷，故當 x1.5，y0.5 時，zmax 1  650è22øæ31öìïxy2，由íîï3xy5，元，故該農(nóng)民種 1.5 畝水稻，0.5 畝花生時，能獲得最大利潤，最大利潤為 1 650 元3某廠在計劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，這些產(chǎn)品分別需要在A，B，C，D 四種不同的設(shè)備上加工，按工藝規(guī)定，產(chǎn)品甲和產(chǎn)品乙分別在各種設(shè)備上需要加工的臺時數(shù)如下：設(shè)備ABCD產(chǎn)品甲乙22124004已知各設(shè)備在計劃期內(nèi)有效臺時數(shù)分別為 12,8,16,12(1 臺設(shè)備工作 1 小時稱為 1 臺時)，該廠每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品可得到利潤 2 元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品可得到利潤 3 元 ，若要獲得最大利潤，則生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品的件數(shù)分別為_4,2設(shè)在計劃期內(nèi)生產(chǎn)甲產(chǎn)品 x 件，乙產(chǎn)品 y 件，則由題意得約束條件ïx0，y0，為ì2x2y12，ïx2y8，í4x16，4y12，îxN，yN，- 7 -ïx0，y0，即ìxy6，ïx2y8，íx4，y3，îxN，yN，作出可行域如圖陰影部分所示，目標函數(shù)ìïxy6，為 z2x3y，由圖可知當直線 z2x3y 經(jīng)過點 A時，z 有最大值，解íîïx2y8，得ïîy2，ìïx4，í即安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品 4 件，乙產(chǎn)品 2 件時，利潤最大4某工廠制造 A 種儀器 45 臺，B 種儀器 55 臺，現(xiàn)需用薄鋼板給每臺儀器配一個外殼已知鋼板有甲、乙兩種規(guī)格：甲種鋼板每張面積 2 m2，每張可作 A 種儀器外殼 3 個和 B 種儀器外殼 5個，乙種鋼板每張面積 3 m2，每張可作 A 種儀器外殼 6 個和 B 種儀器外殼 6 個，問甲、乙兩種鋼板各用多少張才能用料最省？(“用料最省”是指所用鋼板的總面積最小)【導(dǎo)學(xué)號：91432338】解設(shè)用甲種鋼板 x 張，乙種鋼板 y 張，ìïx，yN*，依題意í3x6y45，ïî5x6y55，鋼鐵總面積 z2x3y.作出可行域，如圖所示ìï3x6y45，由圖可知當直線 z2x3y 過點 P 時，z 最小由方程組íïî5x6y55，所以甲、乙兩種鋼板各用 5 張用料最省ìïx5，得íïîy5.- 8 -