中檔題保分練(一)11. (2018海淀區(qū)模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,2Sn= Sn-1+ 1(n2,n N*).(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 記bn=an(n N*),求匸亠的前n項(xiàng)和Tn.bnbn+11解析：(1)當(dāng) n = 2 時，由 2Sn = Sn-1 + 1 及 a1 = 2，得 2S2= S1 + 1,即 2a1 + 2a2=1a1 + 1,解得 a2 = 4.又由 2Sn = Sn-1+ 1, 可知 2Sn+1= Sn+ 1,1a2 1一得2an+1 = an,即卩an+1= 2an(n2),且n= 1時，石=適合上式，因此數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，故an = *(n N*).由(1)及 bn=an(n N )，可知 bn= logq 2 °= n,所以1bnbn+11 = 1 1 n n+ 1 n n+ 1故 Tn= bi+1b2b3+ +1bnbn+ 1G-3+G-亡卜11- n+ 1nn+ 12. (2018濱州模擬)在如圖所示的幾何體 ABCDEF中，底面ABCD為菱形，AB=2a,Z ABC= 120?, AC與BD相交于0點(diǎn)，四邊形BDEF為直角梯形，DE/BF, BD丄DE, DE = 2BF = 2 2a，平面 BDEF丄底面 ABCD.(1)證明：平面 AEF丄平面AFC;(2)求二面角E-AC-F的余弦值.解析：(1)證明：因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以AC丄BD ,又平面BDEF丄底面ABCD，平面BDEF G平面ABCD = BD ,因此AC丄平面BDEF，從而AC丄EF.又BD丄DE，所以DE丄平面ABCD,由 AB = 2a，DE = 2BF = 2 2a,/ABC= 120?,可知 AF = ：'4a2+ 2a2= 一6a, BD = 2a，EF= ；'4a2 + 2a2= , 6a, AE= :'4a2+ 8a2= 2 3a,2 2 2從而 AF + EF = AE , 故 EF 丄AF.又AF A AC = A,所以EF丄平面AFC.又EF?平面AEF,所以平面 AEF丄平面AFC.取EF中點(diǎn)G,由題可知 OG/DE，所以O(shè)G丄平面ABCD，又在菱形 ABCD 中，OA丄OB,所以分別以O(shè)A, OB, oG的方向?yàn)閤, y, z軸正方向建立空間直 角坐標(biāo)系O-xyz(如圖所示),則 O(0,0,0), AC 3a,0,0), C(- . 3a,0,0), E(0,- a,2 2a), F(0, a, 2a),所以 aE= (0, a,2 ,2a) ( ,3a,0,0) = ( ,3a, a,2,2a), AC= (- . 3a,0,0)-( , 3a,0,0)= (2 .3a,0,0) , EF= (0 , a , .2a) (0 , a,2,2a)= (0,2a , . 2a).由可知EF丄平面AFC ,所以平面AFC的法向量可取為EF = (0,2a , 2a). 設(shè)平面AEC的法向量為n = (x , y , z),n AE= 0, 3x y+ 2.2z= 0 ,則即n AC= 0 ,x= 0，y= 2屆，即 S令 z=2，得 y= 4,x= 0,所以 n = (0,4,.2),從而cos n,EFn EF _ 6a f 6 3a |nI |EF|故所求的二面角E-AC-F的余弦值為才.3, (2018綿陽模擬)某校為緩解高三學(xué)生的高考壓力，經(jīng)常舉行一些心理素質(zhì)綜合能力訓(xùn)練活動，經(jīng)過一段時間的訓(xùn)練后從該年級800名學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行測試，并將其成績分為 A、B、C、D、E五個等級，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如圖所 示(視頻率為概率)，根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，回答下列問題：(1) 試估算該校高三年級學(xué)生獲得成績?yōu)?B的人數(shù)；(2) 若等級A、B、C、D、E分別對應(yīng)100分、90分、80分、70分、60分，學(xué)校 要求平均分達(dá)90分以上為“考前心理穩(wěn)定整體過關(guān)”， 請問該校高三年級目前 學(xué)生的“考前心理穩(wěn)定整體”是否過關(guān)？為了解心理健康狀態(tài)穩(wěn)定學(xué)生的特點(diǎn)，現(xiàn)從 A、B兩種級別中，用分層抽樣的 方法抽取11個學(xué)生樣本，再從中任意選取 3個學(xué)生樣本分析，求這3個樣本為A級的個數(shù)E的分布列與數(shù)學(xué)期望.解析：（1）從條形圖中可知這100人中，有56名學(xué)生成績等級為B,所以可以估計(jì)該校學(xué)生獲得成績等級為B的概率為則該校高三年級學(xué)生獲得成績?yōu)?4B的人數(shù)約有800X 25 = 448.1這100名學(xué)生成績的平均分為100 X (32X 100+ 56X 90 + 7X 80 + 3X 70 +2X 60)= 91.3,因?yàn)?1.3>90,所以該校高三年級目前學(xué)生的 “考前心理穩(wěn)定整體”已過關(guān).（3）由題可知用分層抽樣的方法抽取11個學(xué)生樣本，其中A級4個，B級7個,從而任意選取3個，這3個為A級的個數(shù)E的可能值為0,1,2,3.則 P& 0)=箸=33, P& 1)=箸=55,P® 2)=詈=豊，P( = 3)=著=165.因此可得E的分布列為:a0123P7281443355551657,28 c 14 c 412則 e（ a=0x33+1X55+2X55+3X詼=石.4. 請?jiān)谙旅鎯深}中任選一題作答x= 3+ acos t（選修4 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：'L.y= 2+ asin t（t為參數(shù)，a>0）,在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中， 曲線 C2: p= 4sin 0.（1）試將曲線C1與C2化為直角坐標(biāo)系xOy中的普通方程，并指出兩曲線有公共 點(diǎn)時a的取值范圍；當(dāng)a= 3時，兩曲線相交于 A, B兩點(diǎn)，求AB|.x= 3+ acos t解析：曲線C仁，消去參數(shù)t可得普通方程為(x 3)2 + (y 2)2y= 2+ asin t=a2.曲線C2: p= 4sin 0,兩邊同乘p可得普通方程為x2 + (y 2)2= 4.把(y 2)乞4 x2代入曲線Ci的普通方程得：a2= (x 3)2 + 4 x2= 13 6x,而對C2有x2< x2+ (y 2)2= 4,即一2< x<2,所以 K a2< 25.故當(dāng)兩曲線有公共 點(diǎn)時，a的取值范圍為1,5.(2)當(dāng) a= 3 時，曲線 C仁(x 3)2 + (y2)2 = 9,兩曲線交點(diǎn)A, B所在直線方程為x= |22曲線x2 + (y 2)2= 4的圓心到直線x= 3的距離為d = 3,所以 |AB| = 24 9=(選修4 5:不等式選講)已知函數(shù)f(x)= |2x 1|+ |x+ 1|.(1)在下面給出的直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y= f(x)的圖象，并由圖象找出滿足不等式f(x) < 3的解集；14寸2ij1i-1 01-2(2)若函數(shù)y=f(x)的最小值記為m,設(shè)a, b R,且有a2+ b2= m,試證明：+b2+ 1T1K x< 2,3x, x v 1,解析：(1)因?yàn)?f(x) = |2x 1|+ |x+ 1|= X+ 2,13x, x>2.所以作出圖象如圖所示,并從圖可知滿足不等式f(x) w 3的解集為1,1.證明：由圖可知函數(shù)3223=2.所以a2+ b2=2，從而+ 1 + b2+ 1屋,從而4b2+ 1(a2+ 1) + (b2 +1)5 +1+ !24(a2+ 1川 2 匚百f 25 +八b2 + 1 4 a2+ 12 2 a + 1 b + 12 2b + 14(a + 1 )當(dāng)且僅當(dāng)_ 2時，等號成立,a + 1 b + 11 o 4即a2_舌，b2_4時，有最小值,所以石1 +¥ 號得證.a2 + 1 b2 + 17