貴州省貴陽市花溪第二中學(xué)九年級數(shù)學(xué)競賽講座 19第十九講 轉(zhuǎn)化靈活的圓中角
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貴州省貴陽市花溪第二中學(xué)九年級數(shù)學(xué)競賽講座 19第十九講 轉(zhuǎn)化靈活的圓中角
【例題求解】【例1】 如圖,直線AB與O相交于A,B再點,點O在AB上,點C在O上,且AOC40°,點E是直線AB上一個動點(與點O不重合),直線EC交O于另一點D,則使DE=DO的點正共有 個 思路點撥 在直線AB上使DE=DO的動點E與O有怎樣的位置關(guān)系?分點E在AB上(E在O內(nèi))、在BA或AB的延長線上(E點在O外)三種情況考慮,通過角度的計算,確定E點位置、存在的個數(shù)注: 弧是聯(lián)系與圓有關(guān)的角的中介,“由弧到角,由角看弧”是促使與圓有關(guān)的角相互轉(zhuǎn)化的基本方法 【例2】 如圖,已知ABC為等腰直角三形,D為斜邊BC的中點,經(jīng)過點A、D的O與邊AB、AC、BC分別相交于點E、F、M,對于如下五個結(jié)論:FMC=45°;AE+AFAB;2BM2=BF×BA;四邊形AEMF為矩形其中正確結(jié)論的個數(shù)是( ) A2個 B3個 C4個 D5個 思路點撥 充分運用與圓有關(guān)的角,尋找特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形,逐一驗證注:多重選擇單選化是近年出現(xiàn)的一種新題型,解這類問題,需把條件重組與整合,挖掘隱合條件,作深入的探究,方能作出小正確的選擇【例3】 如圖,已知四邊形ABCD外接O的半徑為5,對角線AC與BD的交點為E,且AB2=AE×AC,BD8,求ABD的面積思路點撥 由條件出發(fā),利用相似三角形、圓中角可推得A為弧BD中點,這是解本例的關(guān)鍵【例4】 如圖,已知AB是O的直徑,C是O上的一點,連結(jié)AC,過點C作直線CDAB于D(AD<DB),點E是AB上任意一點(點D、B除外),直線CE交O于點F,連結(jié)AF與直線CD交于點G (1)求證:AC2=AG×AF;(2)若點E是AD(點A除外)上任意一點,上述結(jié)論是否仍然成立?若成立請畫出圖形并給予證明;若不成立,請說明理由 思路點撥 (1)作出圓中常用輔助線證明ACGAFC; (2)判斷上述結(jié)論在E點運動的情況下是否成立,依題意準(zhǔn)確畫出圖形是關(guān)鍵注:構(gòu)造直徑上90°的圓周角,是解與圓相關(guān)問題的常用輔助線,這樣就為勾股定理的運用、相似三角形的判定創(chuàng)造了條件【例5】 如圖,圓內(nèi)接六邊形ABCDEF滿足AB=CD=EF,且對角線AD、BE、CF相交于一點Q,設(shè)AD與CF的交點為P 求證:(1);(2) 思路點撥 解本例的關(guān)鍵在于運用與圓相關(guān)的角,能發(fā)現(xiàn)多對相似三角形(1) 證明QDEACF;(2)易證,通過其他三角形相似并結(jié)合(1)把非常規(guī)問題的證明轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題的證明注:有些幾何問題雖然表面與圓無關(guān),但是若能發(fā)現(xiàn)隱含的圓,尤其是能發(fā)現(xiàn)共圓的四點,就能運用圓的豐富性質(zhì)為解題服務(wù),確定四點共圓的主要方法有: (1)利用圓的定義判定;(2)利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的逆命題判定學(xué)歷訓(xùn)練1一條弦把圓分成2:3兩部分,那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)為 2如圖,AB是O的直徑,C、D、E都是O上的一點,則1+2= 3如圖,AB是O的直徑,弦CDAB,F(xiàn)是CG的中點,延長AF交O于E,CF=2,AF=3,則EF的長為 4如圖,已知ABC內(nèi)接于O,AB+AC=12,ADBC于D,AD3,設(shè)O的半徑為,AB的長為,用的代數(shù)式表示,= 5如圖,ABCD是O的內(nèi)接四邊形,延長BC到E,已知BCD:ECD3:2,那么BOD等于( )A120° B136° C144° D150°6如圖,O中,弦ADBC,DA=DC,AOC=160°,則BOC等于( ) A20° B30° C40° D50°7如圖,BC為半圓O的直徑,A、D為半圓O上兩點,AB=,BC=2,則D的度數(shù)為( ) A60° B 120° C 135° D150° 8如圖,O的直徑AB垂直于弦CD,點P是弧AC上一點(點P不與A、C兩點重合),連結(jié)PC、PD、PA、AD,點E在AP的延長線上,PD與AB交于點F給出下列四個結(jié)論:CH2=AH×BH;AD=AC;AD2=DF×DP; EPC=APD,其中正確的個數(shù)是( ) A1 B2 C3 D4 9如圖,已知B正是ABC的外接圓O的直徑,CD是ABC的高 (1)求證:AC·BC=BE·CD;(2) 已知CD=6,AD=3,BD=8,求O的直徑BE的長 10如圖,已知AD是ABC外角EAC的平分線,交BC的延長線于點D,延長DA交ABC的外接圓于點F,連結(jié)FB,F(xiàn)C (1)求證:FB=FC;(2)求證:FB2=FAFD;(3)若AB是ABC的外接圓的直徑,EAC=120°,BC=6cm,求AD的長 11如圖,B、C是線段AD的兩個三等分點,P是以BC為直徑的圓周上的任意一點(B、C點除外),則tanAPB·tanCPD= 12如圖,在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,AB=AD,BAD=60°,AC=,則四邊形ABCD的面積為 13如圖,圓內(nèi)接四邊形ABCD中,A60°,B90°,AD=3,CD=2,則BC= 14如圖,AB是半圓的直徑,D是AC的中點,B=40°,則A等于( ) A60° B50° C80° D70° 15如圖,已知ABCD是一個以AD為直徑的圓內(nèi)接四邊形,AB=5,PC=4,分別延長AB和DC,它們相交于P,若APD=60°,則O的面積為( ) A25 B16 C15 D13 (2001年紹興市競賽題)16如圖,AD是RtABC的斜邊BC上的高,AB=AC,過A、D兩點的圓與AB、AC分別相交于點E、F,弦EF與AD相交于點G,則圖中與GDE相似的三角形的個數(shù)為( ) A5 B4 C3 D217如圖,已知四邊形ABCD外接圓O的半徑為2,對角線AC與BD的交點為E,AE=EC,AB=AE,且BD=,求四邊形ABCD的面積 18如圖,已知ABCD為O的內(nèi)接四邊形,E是BD上的一點,且有BAE=DAC 求證:(1)ABEACD;(2)ABDC+AD·B CAC·BD19如圖,已知P是O直徑AB延長線上的一點,直線PCD交O于C、D兩點,弦DFAB于點H,CF交AB于點E (1)求證:PA·PB=PO·PE;(2)若DECF,P=15°,O的半徑為2,求弦CF的長 20如圖,ABC內(nèi)接于O,BC=4,SABC=,B為銳角,且關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根,D是劣弧AC上任一點(點D不與點A、C重合),DE平分ADC,交O于點E,交AC于點F (1)求B的度數(shù); (2)求CE的長; (3)求證:DA、DC的長是方程的兩個實數(shù)根 參考答案