【例題求解】【例1】 如圖，直線AB與O相交于A，B再點，點O在AB上，點C在O上，且AOC40°，點E是直線AB上一個動點(與點O不重合)，直線EC交O于另一點D，則使DE=DO的點正共有 個 思路點撥 在直線AB上使DE=DO的動點E與O有怎樣的位置關(guān)系?分點E在AB上(E在O內(nèi))、在BA或AB的延長線上(E點在O外)三種情況考慮，通過角度的計算，確定E點位置、存在的個數(shù)注： 弧是聯(lián)系與圓有關(guān)的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使與圓有關(guān)的角相互轉(zhuǎn)化的基本方法 【例2】 如圖，已知ABC為等腰直角三形，D為斜邊BC的中點，經(jīng)過點A、D的O與邊AB、AC、BC分別相交于點E、F、M，對于如下五個結(jié)論：FMC=45°；AE+AFAB；2BM2=BF×BA；四邊形AEMF為矩形其中正確結(jié)論的個數(shù)是( ) A2個 B3個 C4個 D5個 思路點撥 充分運用與圓有關(guān)的角，尋找特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形，逐一驗證注：多重選擇單選化是近年出現(xiàn)的一種新題型，解這類問題，需把條件重組與整合，挖掘隱合條件，作深入的探究，方能作出小正確的選擇【例3】 如圖，已知四邊形ABCD外接O的半徑為5，對角線AC與BD的交點為E，且AB2=AE×AC，BD8，求ABD的面積思路點撥 由條件出發(fā)，利用相似三角形、圓中角可推得A為弧BD中點，這是解本例的關(guān)鍵【例4】 如圖，已知AB是O的直徑，C是O上的一點，連結(jié)AC，過點C作直線CDAB于D(AD<DB)，點E是AB上任意一點(點D、B除外)，直線CE交O于點F，連結(jié)AF與直線CD交于點G (1)求證：AC2=AG×AF；(2)若點E是AD(點A除外)上任意一點，上述結(jié)論是否仍然成立?若成立請畫出圖形并給予證明；若不成立，請說明理由 思路點撥 (1)作出圓中常用輔助線證明ACGAFC； （2）判斷上述結(jié)論在E點運動的情況下是否成立，依題意準(zhǔn)確畫出圖形是關(guān)鍵注：構(gòu)造直徑上90°的圓周角，是解與圓相關(guān)問題的常用輔助線，這樣就為勾股定理的運用、相似三角形的判定創(chuàng)造了條件【例5】 如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF滿足AB=CD=EF，且對角線AD、BE、CF相交于一點Q，設(shè)AD與CF的交點為P 求證：（1）；(2) 思路點撥 解本例的關(guān)鍵在于運用與圓相關(guān)的角，能發(fā)現(xiàn)多對相似三角形(1) 證明QDEACF；(2)易證，通過其他三角形相似并結(jié)合(1)把非常規(guī)問題的證明轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題的證明注：有些幾何問題雖然表面與圓無關(guān)，但是若能發(fā)現(xiàn)隱含的圓，尤其是能發(fā)現(xiàn)共圓的四點，就能運用圓的豐富性質(zhì)為解題服務(wù)，確定四點共圓的主要方法有： (1)利用圓的定義判定；(2)利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的逆命題判定學(xué)歷訓(xùn)練1一條弦把圓分成2：3兩部分，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)為 2如圖，AB是O的直徑，C、D、E都是O上的一點，則1+2= 3如圖，AB是O的直徑，弦CDAB，F(xiàn)是CG的中點，延長AF交O于E，CF=2，AF=3，則EF的長為 4如圖，已知ABC內(nèi)接于O，AB+AC=12，ADBC于D，AD3，設(shè)O的半徑為，AB的長為，用的代數(shù)式表示，= 5如圖，ABCD是O的內(nèi)接四邊形，延長BC到E，已知BCD：ECD3：2，那么BOD等于( )A120° B136° C144° D150°6如圖，O中，弦ADBC，DA=DC，AOC=160°，則BOC等于( ) A20° B30° C40° D50°7如圖，BC為半圓O的直徑，A、D為半圓O上兩點，AB=，BC=2，則D的度數(shù)為( ) A60° B 120° C 135° D150° 8如圖，O的直徑AB垂直于弦CD，點P是弧AC上一點(點P不與A、C兩點重合)，連結(jié)PC、PD、PA、AD，點E在AP的延長線上，PD與AB交于點F給出下列四個結(jié)論：CH2=AH×BH；AD=AC；AD2=DF×DP； EPC=APD，其中正確的個數(shù)是( ) A1 B2 C3 D4 9如圖，已知B正是ABC的外接圓O的直徑，CD是ABC的高 (1)求證：AC·BC=BE·CD；(2) 已知CD=6，AD=3，BD=8，求O的直徑BE的長 10如圖，已知AD是ABC外角EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交ABC的外接圓于點F，連結(jié)FB，F(xiàn)C (1)求證：FB=FC；(2)求證：FB2=FAFD；(3)若AB是ABC的外接圓的直徑，EAC=120°，BC=6cm，求AD的長 11如圖，B、C是線段AD的兩個三等分點，P是以BC為直徑的圓周上的任意一點(B、C點除外)，則tanAPB·tanCPD= 12如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=60°，AC=，則四邊形ABCD的面積為 13如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，A60°，B90°，AD=3，CD=2，則BC= 14如圖，AB是半圓的直徑，D是AC的中點，B=40°，則A等于( ) A60° B50° C80° D70° 15如圖，已知ABCD是一個以AD為直徑的圓內(nèi)接四邊形，AB=5，PC=4，分別延長AB和DC，它們相交于P，若APD=60°，則O的面積為( ) A25 B16 C15 D13 (2001年紹興市競賽題)16如圖，AD是RtABC的斜邊BC上的高，AB=AC，過A、D兩點的圓與AB、AC分別相交于點E、F，弦EF與AD相交于點G，則圖中與GDE相似的三角形的個數(shù)為( ) A5 B4 C3 D217如圖，已知四邊形ABCD外接圓O的半徑為2，對角線AC與BD的交點為E，AE=EC，AB=AE，且BD=，求四邊形ABCD的面積 18如圖，已知ABCD為O的內(nèi)接四邊形，E是BD上的一點，且有BAE=DAC 求證：(1)ABEACD；(2)ABDC+AD·B CAC·BD19如圖，已知P是O直徑AB延長線上的一點，直線PCD交O于C、D兩點，弦DFAB于點H，CF交AB于點E (1)求證：PA·PB=PO·PE；(2)若DECF，P=15°，O的半徑為2，求弦CF的長 20如圖，ABC內(nèi)接于O，BC=4，SABC=，B為銳角，且關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，D是劣弧AC上任一點(點D不與點A、C重合)，DE平分ADC，交O于點E，交AC于點F (1)求B的度數(shù)； (2)求CE的長； (3)求證：DA、DC的長是方程的兩個實數(shù)根 參考答案