規(guī)范答題示例 4空間角的計(jì)算問(wèn)題典例 4(15 分)(2017·浙江)如圖，已知四棱錐 PABCD，PAD 是以 AD 為斜邊的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E 為 PD 的中點(diǎn)(1)證明：CE平面 PAB；(2)求直線 CE 與平面 PBC 所成角的正弦值審題路線圖方法一(1) 取PA的中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)B  證明四邊形BCEF為平行四邊形  CEBF CE平面PAB所以 EFAD 且 EF  AD，又因?yàn)?#160;BCAD，BC  AD，規(guī) 范 解 答·分 步 得 分方法一(1)證明如圖，設(shè) PA 的中點(diǎn)為 F，連接 EF，F(xiàn)B.因?yàn)?#160;E，F(xiàn) 分別為 PD，PA 中點(diǎn)，1212所以 EFBC 且 EFBC，所以四邊形 BCEF 為平行四邊形，所以 CEBF.4 分因?yàn)?#160;BF平面 PAB，CE 平面 PAB，因此 CE平面 PAB.6 分構(gòu) 建 答 題 模 板第一步找平行：通過(guò)三角形中位線，找出線線平行進(jìn)而得到線面平行第二步找?jiàn)A角：通過(guò)作輔助線及線線、線面及面面之間的關(guān)系找到夾角第三步找關(guān)系：由圖形找出各線段之間的長(zhǎng)度關(guān)系，進(jìn)而求得夾角的1(2)解分別取 BC，AD 的中點(diǎn)為 M，N，連接 PN 交 EF 于點(diǎn) Q，連接 MQ.正弦值.在PBN 中，由 PNBN1，PB   3得 QH  ，在 RtMQH 中，QH  ，MQ   2，因?yàn)?#160;E，F(xiàn)，N 分別是 PD，PA，AD 的中點(diǎn)，所以 Q 為 EF 的中點(diǎn)，在平行四邊形 BCEF 中，MQCE.由PAD 為等腰直角三角形得 PNAD.由 DCAD，N 是 AD 的中點(diǎn)得 BNAD，又 PNBNN，PN，BN 平面 PBN，所以 AD平面 PBN.9 分由 BCAD 得 BC平面 PBN，又 BC 平面 PBC，那么平面 PBC平面 PBN.過(guò)點(diǎn) Q 作 PB 的垂線，垂足為 H，連接 MH.MH 是 MQ 在平面 PBC 上的投影，所以QMH 是直線 CE 與平面 PBC 所成的角.12 分設(shè) CD在PCD 中，由 PC2，CD1，PD 2得 CE 2，1414第四步得結(jié)論：得到所求夾角的正弦值.所以 sinQMH    2，8所以直線 CE 與平面 PBC 所成角的正弦值是28.15 分 以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求各點(diǎn)的坐標(biāo)  求平面PAB的法向量n和CE的坐標(biāo) CE·n0  得出結(jié)論(2) 求平面PBC的法向量m  利用sin  |cosCE，m|求線面角的正弦值審題路線圖方法二(1) 取AD中點(diǎn)為O，連接OB，OP  AD平面OPB2BC  ADOD，且 BCOD，規(guī) 范 解 答·分 步 得 分方法二(1)證明設(shè) AD 的中點(diǎn)為 O，連接 OB，OP.PAD 是以 AD 為斜邊的等腰直角三角形，OPAD.12四邊形 BCDO 為平行四邊形，又CDAD，OBAD，OPOBO，OP，OB平面 OPB，AD平面 OPB.2 分過(guò)點(diǎn) O 在平面 POB 內(nèi)作 OB 的垂線 OM，交 PB 于 M，以 O 為原點(diǎn)，OB 所在直線為 x 軸，OD 所在直線為 y 軸，OM 所在直線為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.4 分設(shè) CD1，則有 A(0，1,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)設(shè) P(x,0，z)(z>0)，由 PC2，OP1，構(gòu) 建 答 題 模 板第一步找垂直：找出(或作出)具有公共交點(diǎn)的三條兩兩垂直的直線第二步寫(xiě)坐標(biāo)：建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)第三步求向量：求直線的方向解得 x  ，z  .ìï(x1)21z24，得íïîx2z21，1      32     2向量或平面的法向量.第四步即 Pç  ，0，  ÷，E 為 PD 的中點(diǎn)，Eç  ，  ，  ÷.APç  ，1，  ÷，AB(1,1,0)，æ13öè22 øæ113öè424 ø設(shè)平面 PAB 的法向量為 n(x1，y1，z1)， æ13öè22 ø求夾角：計(jì)算向量的夾角第五步得結(jié)論：得到所求兩個(gè)平面所成的角或直線和平面所成的角.  x1y1    3ìïn·AP0， íïîn·AB0，ìï 1 z 0，即í 2 2 1ïîx y 0，1 1解得ìx1y1，íîz1 3y1，令 y1，得 n(1，1， 3).7 分3而CEç  ，  ，  ÷，CE·n0，BC(0,1,0)，BPç  ，0，  ÷，13ö æ5è424 ø又CE 平面 PAB，CE平面 PAB.10 分(2)解設(shè)平面 PBC 的法向量為 m(x2，y2，z2)，æ33öè22 øìïm·BC0，íïîm·BP0，ìïy20，即í 3    3îï2x2 2 z20，|CE·m|   2則 sin   |cosCE，m|        .|CE|m|令 x21，得 m(1,0， 3).13 分設(shè)直線 CE 與平面 PBC 所成的角為  ，8故直線 CE 與平面 PBC 所成角的正弦值為28.15 分評(píng)分細(xì)則(1)方法一第(1)問(wèn)中證明 CE平面 PAB 缺少條件扣 1 分，第(2)問(wèn)中證明 PNAD和 BNAD 各給 1 分(2)方法二中建系給 2 分，兩個(gè)法向量求出 1 個(gè)給 3 分，沒(méi)有最后結(jié)論扣 1 分，法向量取其他形式同樣給分跟蹤演練 4(2018·全國(guó))如圖，四邊形 ABCD 為正方形，E，F(xiàn) 分別為 AD，BC 的中點(diǎn)，以DF 為折痕把DFC 折起，使點(diǎn) C 到達(dá)點(diǎn) P 的位置，且 PFBF.(1)證明：平面 PEF平面 ABFD；(2)求 DP 與平面 ABFD 所成角的正弦值(1)證明由已知可得 BFPF，BFEF，PFEFF，PF，EF 平面 PEF，所以 BF平面 PEF.又 BF 平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD.(2)解方法一如圖，作 PHEF，垂足為 H.4以 H 為坐標(biāo)原點(diǎn)，HF的方向?yàn)?#160;y 軸正方向，|BF|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系所以 PH    3則 H(0,0,0)，Pç0，0，    3öæö÷，Dç1，  ，0÷，DPç1，  ，    3ö    æ÷，HPç0，0，    3ö又HP為平面 ABFD 的法向量，由(1)得，PH平面 ABFD.Hxyz.由(1)可得，DEPE.又 DP2，DE1，所以 PE 3.又 PF1，EF2，所以 PEPF.32 ，EH2.æ3è2 øè2ø æ3÷.è22 øè2 ø設(shè) DP 與平面 ABFD 所成的角為  ，則 sin   |HP·DP|  4|HP|DP|   3 334 .所以 DP 與平面 ABFD 所成角的正弦值為    34 .方法二過(guò)點(diǎn) P 作 PHEF，垂足為 H，連接 DH.設(shè) PD2a，則 PH    3即 DP 與平面 ABFD 所成角的正弦值為   3由(1)可得 PH平面 ABFD，所以PDH 即為 DP 與平面 ABFD 所成的角PH32 a，所以 sinPDHDP 4 ，4 .11056