不積跬步無以至千里動點問題二次函數(shù)中等腰三角形存在性問題方法總結(jié)： 假設(shè)結(jié)論成立； 當所給條件中沒有說明哪條邊是等腰三角形的底、哪條是腰時，要對其進行分類討論，假設(shè)某兩條邊相等，等到三種情況； 設(shè)未知量，求邊長，在每種情況下，直接或間接設(shè)出所求點的坐標，并用所設(shè)點坐標表示出假設(shè)相等的兩條邊的長或第三邊的長； 計算求解，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)或利用勾股定理或相似三角形的性質(zhì)列等量關(guān)系式，根據(jù)等量關(guān)系式求解即可。典型例題：例1如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象交坐標軸于A（1，0），B（4，0），C（0，4）三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）是否存在點P，使POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由；（3）動點P運動到什么位置時，PBC面積最大，求出此時P點坐標和PBC的最大面積例2.如圖，拋物線y=+與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（1，0），C（0，2）（1）求拋物線的表達式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）點E時線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標例3如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(2，0)，B(0，6)兩點（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)該二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點C，連接BA，BC，求ABC的面積（3）在x軸上是否存在一點P，使ABP為等腰三角形，若存在，求出P的坐標，若不存在，說明理由.例4. （2014綿陽）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）的圖象過點M（2，），頂點坐標為N（1，），且與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點（1）求拋物線的解析式；（2）點P為拋物線對稱軸上的動點，當PBC為等腰三角形時，求點P的坐標；（3）在直線AC上是否存在一點Q，使QBM的周長最??？若存在，求出Q點坐標；若不存在，請說明理由例5. (2014年四川資陽)如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點為A（3，0），與y軸的交點為B（0，3），其頂點為C，對稱軸為x=1（1）求拋物線的解析式；（2）已知點M為y軸上的一個動點，當ABM為等腰三角形時，求點M的坐標；例6如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（3，3）、B（4，0）和原點OP為二次函數(shù)圖象上的一個動點，過點P作x軸的垂線，垂足為D（m，0），并與直線OA交于點C（1）求出二次函數(shù)的解析式；（2）當點P在直線OA的上方時，用含m的代數(shù)式表示線段PC的長，并求線段PC的最大值；（3）當m0時，探索是否存在點P，使得PCO為等腰三角形，如果存在，請直接寫出所有P的坐標；如果不存在，請說明理由例7（2014年浙江義烏12分）如圖，直角梯形ABCO的兩邊OA，OC在坐標軸的正半軸上，BCx軸，OA=OC=4，以直線x=1為對稱軸的拋物線過A，B，C三點.（1）求該拋物線線的函數(shù)解析式.（2）已知直線l的解析式為，它與x軸的交于點G，在梯形ABCO的一邊上取點P.當m=0時，如圖1，點P是拋物線對稱軸與BC的交點，過點P作PH直線l于點H，連結(jié)OP，試求OPH的面積.當時，過P點分別作x軸、直線l的垂線，垂足為點E，F(xiàn). 是否存在這樣的點P，使以P，E，F(xiàn)為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.例8如圖，拋物線與x軸交于點A，將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)1200至OB的位置.（1）點B在拋物線上;（2）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由例9如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+bx4（a0）的圖象與x軸交于A（2，0）、C（8，0）兩點，與y軸交于點B，其對稱軸與x軸交于點D（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，連結(jié)BC，在線段BC上是否存在點E，使得CDE為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，若點P（m，n）是該二次函數(shù)圖象上的一個動點（其中m0，n0），連結(jié)PB，PD，BD，求BDP面積的最大值及此時點P的坐標例10.如圖，拋物線經(jīng)過的三個頂點，已知軸，點在軸上，點在軸上，且（1）求拋物線的對稱軸；（2）求拋物線的解析式；（3）探究：若點是拋物線對稱軸上且在軸下方的動點，是否存在是等腰三角形若存在，求出所有符合條件的點坐標；不存在，請說明理由ACByx011例11.如圖11所示，在梯形ABCD中，已知ABCD， ADDB，AD=DC=CB，AB=4以AB所在直線為軸，過D且垂直于AB的直線為軸建立平面直角坐標系（1）求DAB的度數(shù)及A、D、C三點的坐標；（2）求過A、D、C三點的拋物線的解析式及其對稱軸L（3）若P是拋物線的對稱軸L上的點，那么使PDB為等腰三角形的點P有幾個?（不必求點P的坐標，只需說明理由）例12.如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.拋物線y=ax2+bx過A、C兩點. (1)直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式； (2)動點P從點A出發(fā)沿線段AB向終點B運動，同時點Q從點C出發(fā)，沿線段CD向終點D運動速度均為每秒1個單位長度，運動時間為t秒.過點P作PEAB交AC于點E 過點E作EFAD于點F，交拋物線于點G.當t為何值時，線段EG最長?連接EQ在點P、Q運動的過程中，判斷有幾個時刻使得CEQ是等腰三角形?請直接寫出相應(yīng)的t值. 12 / 12