太原志成學(xué)校 藝術(shù)類理科數(shù)學(xué)講義- 第一講 數(shù)列定義及其性質(zhì)一、基本概念：1、通項(xiàng)公式：； 2、前項(xiàng)和：3、關(guān)系：二、性質(zhì)： 1、單調(diào)性：增數(shù)列：；減數(shù)列：；常數(shù)列：2、最值：3、前項(xiàng)積有最大值：三、幾種常見數(shù)列： 1、2、3、4、5、隨堂訓(xùn)練：1、已知數(shù)列通項(xiàng)公式是，那么這個數(shù)列是（ ）A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列 C.擺動數(shù)列 D.常數(shù)列 2、已知數(shù)列滿足，那么這個數(shù)列是（ ）A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列 C.擺動數(shù)列 D.常數(shù)列 3、已知數(shù)列通項(xiàng)公式是，若對任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）4、已知數(shù)列通項(xiàng)公式是是數(shù)列的前項(xiàng)積，即，當(dāng)取到最大值是，n的值為（ ）5、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值是（ ）11等差數(shù)列專題一、等差數(shù)列知識點(diǎn)回顧與技巧點(diǎn)撥1等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式若等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為ana1(n1)d(nm)dp.3等差中項(xiàng)如果三個數(shù)x，A，y組成等差數(shù)列，那么A叫做x和y的等差中項(xiàng)，如果A是x和y的等差中項(xiàng)，則A.4等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an為等差數(shù)列，且mnpq，則amanapaq(m，n，p，qN*)(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數(shù)列(4)數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差數(shù)列(5)S2n1(2n1)an.(6)若n為偶數(shù)，則S偶S奇； 若n為奇數(shù)，則S奇S偶a中(中間項(xiàng))5等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式若已知首項(xiàng)a1和末項(xiàng)an，則Sn，或等差數(shù)列an的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其前n項(xiàng)和公式為Snna1d.6等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Snn2n，數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件是SnAn2Bn(A，B為常數(shù))7最值問題在等差數(shù)列an中，a10，d0，則Sn存在最大值，若a10，d0，則Sn存在最小值一個推導(dǎo)利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sna1a2a3an，Snanan1a1，得：Sn.兩個技巧已知三個或四個數(shù)組成等差數(shù)列的一類問題，要善于設(shè)元(1)若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設(shè)為，a2d，ad，a，ad，a2d，.(2)若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設(shè)為，a3d，ad，ad，a3d，其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對稱設(shè)元四種方法等差數(shù)列的判斷方法(1)定義法：對于n2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證anan1為同一常數(shù)；(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an1anan2(n3，nN*)都成立；(3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證anpnq；(4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證SnAn2Bn.注：后兩種方法只能用來判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來證明等差數(shù)列基礎(chǔ)訓(xùn)練：（公式的運(yùn)用，定義的把握）1已知等差數(shù)列an中，a3=9，a9=3，則公差d的值為（）AB1CD12已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=2n+5，則此數(shù)列是（）A以7為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列B以7為首項(xiàng)，公差為5的等差數(shù)列C以5為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列D不是等差數(shù)列3在等差數(shù)列an中，a1=13，a3=12，若an=2，則n等于（）A23B24C25D264兩個數(shù)1與5的等差中項(xiàng)是（）A1B3C2D5（2005黑龍江）如果數(shù)列an是等差數(shù)列，則（）Aa1+a8a4+a5Ba1+a8=a4+a5Ca1+a8a4+a5Da1a8=a4a5考點(diǎn)1:等差數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和題型1：已知等差數(shù)列的某些項(xiàng)，求某項(xiàng)【解題思路】給項(xiàng)求項(xiàng)問題，先考慮利用等差數(shù)列的性質(zhì)，再考慮基本量法【例1】已知為等差數(shù)列，則 對應(yīng)練習(xí)：1、已知為等差數(shù)列，（互不相等），求.2、已知個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為，平方和為，求這個數(shù).題型2：已知前項(xiàng)和及其某項(xiàng)，求項(xiàng)數(shù).【解題思路】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出及，代入可求項(xiàng)數(shù)； 利用等差數(shù)列的前4項(xiàng)和及后4項(xiàng)和求出，代入可求項(xiàng)數(shù).【例2】已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，求對應(yīng)練習(xí)：3、若一個等差數(shù)列的前4項(xiàng)和為36，后4項(xiàng)和為124，且所有項(xiàng)的和為780，求這個數(shù)列的項(xiàng)數(shù).4、已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則 .題型3：求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【解題思路】（1）利用求出，把絕對值符號去掉轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題.（2）含絕對值符號的數(shù)列求和問題，要注意分類討論.【例3】已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，. （1） ； 求；求.練習(xí)：對應(yīng)練習(xí)：5、已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，求.考點(diǎn)2 ：證明數(shù)列是等差數(shù)列【名師指引】判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有：1、 定義法：（，是常數(shù)）是等差數(shù)列；2、中項(xiàng)法：()是等差數(shù)列；3、通項(xiàng)公式法：（是常數(shù)）是等差數(shù)列；4、項(xiàng)和公式法：（是常數(shù)，）是等差數(shù)列.【例4】已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，.求證：數(shù)列是等差數(shù)列.對應(yīng)練習(xí)：6、設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和， （1） 常數(shù)的值； （2） 證：數(shù)列是等差數(shù)列.考點(diǎn)3 :等差數(shù)列的性質(zhì)【解題思路】利用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)求解.【例5】1、已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則 ；2、知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則 .對應(yīng)練習(xí)：7、含個項(xiàng)的等差數(shù)列其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為（ ） 8.設(shè)、分別是等差數(shù)列、的前項(xiàng)和，則 . 考點(diǎn)4： 等差數(shù)列與其它知識的綜合【解題思路】1、利用與的關(guān)系式及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；2、求出后，判斷的單調(diào)性.【例6】已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，；數(shù)列滿足：，其前項(xiàng)和為1 數(shù)列、的通項(xiàng)公式； 設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使不等式對都成立的最大正整數(shù)的值.課后練習(xí)：1.(2010廣雅中學(xué))設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則A B C D2.在等差數(shù)列中，則 .3. 數(shù)列中，當(dāng)數(shù)列的前項(xiàng)和取得最小值時， . 4. 已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則其公差是 . 5.設(shè)數(shù)列中，則通項(xiàng) . 對應(yīng)練習(xí)：9.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，.1 數(shù)列的通項(xiàng)公式； 數(shù)列中是否存在正整數(shù)，使得不等式對任意不小于的正整數(shù)都成立？若存在，求最小的正整數(shù)，若不存在，說明理由